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一、专题攻略 解平行四边形的存在性问题一般分3个步骤： 1、寻找分类标准；2、画出图形；3、计算 【第一类】“3+1”型，即已知三个定点，探寻平行四边形的第四个定点，符合条件的通常有3个。 形如： 方法一：利用中点公式计算（计算量中等） 原理：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 方法二：求两平行线的交点（此法计算量较大） 原理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 方法三：利用点的平移（适合于图形较为直观，计算量很小） 原理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 【第二类】“2+2型：即已知两个定点，探寻其它两个顶点。 我们通常把确定的两个定点连成线段，将此线段作为平行四边形的边和对角线分类讨论（两种情况）。 （一）形成平行四边形 ①作为边时，平移线段 原理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 计算：通过作高，充分利用平行且相等的线段构造直角三角形全等； ②为对角线时，取其中点，将线段所在直线绕中点旋转 原理：对角线互相平分的四边形是平行四边形 计算：充分利用互相平分的性质，即可运用中点坐标公式求解。 （二）形成“矩形”、“菱形”、“正方形” 首先要考虑找一个动点（有限制条件的：如“点M在x轴上”）来与已知的两个定点分别构成“直角三角形”、“等腰三角形”、“等腰直角三角形”，再利用“中心对称性”旋转180°，用中点公式寻求第二个动点；或用“轴对称性”，将图形翻转，通过平移、对称来求第二个动点。 综上所述：第二类题型比较复杂，难点在于画出图像（往往会漏解），在计算难度也有不小的提升！ 二、经典例题 【第一类】“3+1“型 例1 在平面直角坐标系中，点A（1,0）、B（4,0），点C在y轴的正半轴上，且OB=2OC. （1）求直线BC的解析式； （2）在平面直角坐标系内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形. （请思考用多种方法确定M的位置，并用多种方法计算） 【第二类】“2+2“型 例2 如图， （1）求m、k的值； （2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式. 例3 已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P由B点出发沿BA方向向A点匀速运动，速度为1单位/秒；同时点Q由A点出发沿AC方向向C点匀速运动，速度为2单位/秒，连接PQ．设运动时间为t秒（0≤t≤2），解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BC？ （2）设△APQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式； （3）如图2，连接PC，并把△PCQ沿QC翻折得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使得四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，请说明理由． |
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