2014年普通高等学校招生统一考试上海市
数学试题（文科）及参考答案
满分150分;考试时间120分钟．
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．函数的最小正周期是．
2．若复数，其中是虚数单位，则．
3．设常数，函数．若，则．
4．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．
5．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名6．若实数满足，则的最小值为若圆锥的侧面积是底面积的倍，则其母线与角的大小为（结果用反三角函数值表示）设无穷等比数列的公比为，若，则若，则满足的的取值范围是方程在区间上为强化安全意识，某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天恰好为连续天的概率是（结果用最简分数表示）已知曲线，直线若对于点，存在上的点和上的使得，则的取值范围为设，则”是且的（）
(A)充分条件 (B)必要条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件
已知互异的复数满足，集合，则（）
(A) (B)(C) (D)
17．如图，四个长为的正方体排成一个，是
一条，是，
则的不同值的个数为（）
(A) (B)(C) (D)
18．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，
则关于和的方程组的解的情况是（）
(A)无论如何，总是无解 (B)无论如何，总有唯一解
(C)存在，使之恰有两解 (D)存在，使之有无穷多解
19．（本题满分12分）
底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图，求的各边长及此三棱锥的体积．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
设常数，函数．
若，求函数的反函数；
根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米．设点在同一水平面上，从和看的仰角分别为．
（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，与铅垂方向有偏差．现在实测得，求的长（结果精确到0.01米）．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．
在平面直角坐标系中，对于直线和点，记
．若，则称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，
且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．
（1）求证；点被直线分隔；
（2）若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
（3）动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设点的轨迹为曲线．求的方程，并证明轴为曲线的分隔线．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
已知数列满足，，．
（1）若，求的取值范围；
（2）设是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比；
（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围．
参考答案
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）
1．2．3．4．5．
6．7．8．9．10．
11．12．13．14．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
15．16．17．18．
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）
19．（本题满分12分）
解：中，，，所以是中位线，故．
同理，，．所以是等边三角形，各边长均为．
设是的中心，则平面，所以，．
从而，．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
解：（1），所以，得或，且．
因此，所求反函数为，．
（2）当时，，故函数是偶函数；
当时，，，
，为奇函数且时，定义域为关于原点不对称，
故函数既不是奇函数，也不是偶函数．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
解：（1）．根据已知得，，，
所以，解得．因此，的长至多约为28.28米．
（2）在中，由已知，，，
由正弦定理得，解得．
在中，有余弦定理得，解得．所以，的长约为26.93米．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．
（1）证：，被直线分隔直线与曲线有解，即．
因为直线是曲线．
当时，对于直线，曲线上的点和满足，
即点和被分隔．故实数的取值范围是．
（3）证：设的坐标为，则曲线的方程为，即．
对任意的，不是上述方程的解，即轴与曲线没有公共点．
又曲线上的点和对于轴满足，即点和被轴分隔．
所以轴为曲线的分隔线．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
解：（1）由得，解得．所以的取值范围是．
（2）设的公比为．由，且，得．
因为，所以．从而，，解得．
时，的最小值为，时，．
（3）设数列的公差为．由，，．
①当时，，所以，即．
②当时，，符合条件．
③当时，，
所以，，
又，所以．
综上，的公差的取值范围为．
2014年全国普通高等学校招生统一考试
上海数学试卷（文史类）
考生注意：
1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。考试时间120分钟。
2、本考试分设试卷和答题纸。试卷包括试题与答题要求。作答必须涂（选择题）或写
（非选择题）在答题纸上。在试卷上作答一律不得分。
3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对
后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。
填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
函数
1【答案】
【解析】
若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=___________.
2【答案】6
【解析】
3.设常数a∈R，函数。若,则___________.
3【答案】3
【解析】
4.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.
4【答案】x=-2
【解析】
5.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名。为了了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样。若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为___________.
5【答案】70
【解析】按比例进行抽样，设高一高二共抽n个学生，则(1600+1200):800=n:20,解得n=70
6.若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.
6【答案】
【解析】
7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）。
7【答案】
【解析】
8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于______________.
8【答案】24
【解析】
9.设若是的最小值，的取值范围为__________.
9【答案】
【解析】
10.设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q=。
10【答案】
【解析】
11.若，则满足的取值范围是。
11【答案】
【解析】
12.方程在区间上的所有解的和等于。
12【答案】
【解析】
13.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结构用最简分数表示）。
13【答案】
【解析】
14.已知曲线C：，直线l：x=6。若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为。
14【答案】
【解析】
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
设,则“”是“”的（）
充分非必要条件（B）必要非充分条件
（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件
15【答案】B
【解析】
16已知互异的复数a,b满足ab≠0，集合{a,b}={,},则a+b=。
16【答案】D
【解析】
17.如图，四个边长为1的正方形排成一个正方形，AB是大正方形的一条边，是小正方形的其余的顶点，则的不同值的个数为（）
（A）7(B)5(C)3(D)1
17【答案】C
【解析】
18.已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）
无论k，如何，总是无解（B)无论k，如何，总有唯一解
（C）存在k，，使之恰有两解（D）存在k，，使之有无穷多解
18【答案】B
【解析】
三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
（本题满分12分）
底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积.
19【答案】4,4,4；
【解析】
（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分8分。
设常数，函数
若=4，求函数的反函数；
根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.
20【答案】
(1)
(2)
【解析】
(1)
(2)
（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.
设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得求的长（结果精确到0.01米）？
21【答案】(1) (2)
【解析】
(1)
(2)
22（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.
在平面直角坐标系xOy中，对于直线I：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η<0，则称点P1，P2被直线I分隔，若曲线C与直线I没有公共点，且曲线C上存在点P1，P2被直线I分隔，则称直线I为曲线C的一条分隔线。
（1）求证：点A（1，2），B（-1,0）被直线x+y-1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线。
22【答案】(1)省略(2) (3)
【解析】
(1)
(2)
(3)
（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
已知数列满足.
若，求的取值范围；
若是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比；
（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围.
23【答案】（1）（2） （3）
【解析】
（1）
（2）
（3）
5/18
|
|
