12.2.1圆的标准方程
教学内容分析
本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程的推导、掌握.进一步理解曲线方程的意义.
本节的难点是圆的标准方程的推导、圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用.
教学目标设计
在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程.进一步提高用解析法研究几何问题的能力；加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强用数学的意识.
教学重点及难点
圆的标准方程的推导;圆的一般方程及其代数特征.
教学过程设计
创设情境（启迪思维）
问题一：已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？
[引导]画图建系
[学生活动]：尝试写出曲线的方程（对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习）
解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝16（y≥0）将x＝2.7代入，得．
即在离隧道中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道。
圆的标准方程
问题1：已知一定圆C的半径为，求此圆的方程.
分析：设M是圆上任意一点，根据圆的定义，可知点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合P={M||MC|=r}
如左图，以圆心C原点建立平面直角坐标系，设圆上任意一点，
因为，所以整理得：（1）
这里边我们要注意点M的坐标与方程(1)的关系：
由方程（1）的推导过程可知，若点M在圆上，则M的坐标满足方程(1)；
反之，若点的坐标是方程(1)的解，即，则有，即，可知点在圆上.
综上可知，圆C的方程是.
[说明]求圆的方程应需考察以下两个方面：首先应建立一个合适的平面直角坐标系（若没有给出直角坐标系）；其次，所得方程是否为轨迹（圆）方程，可由曲线方程的定义验证.
问题2：若设一定圆C的圆心在半径为，求此圆的方程.
设圆上任意一点，因为，
所以，
整理后得：.
同问题1，可以验证方程是圆心在半径为的圆的方程.
可以看到只要知道了圆心坐标和半径，就可以得出其相应的圆方程.我们称方程是圆心为，半径为的圆的标准方程.
[说明]由圆的标准方程知它含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆。特别地，若圆心为原点，此时，圆的标准方程为
（二）例题
例1．根据圆的方程写出圆心和半径
（1）；（2）；（3）.
[说明]本题要求学生熟练掌握配方法来求圆的几何量：圆心及半径.
例2．写出下列各圆的方程:
（1）圆心在，半径为；（2）经过点，圆心．
（3）直径的两个端点为A（3，-2）和B（-1，6）
（4）求以C（-1，2）为圆心，并且和直线2x-3y-5=0相切的圆的方程.
[说明]本例体现了求圆方程的方法之一：找出圆心和半径.
例3．下图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB＝12m，半径r=29m，求圆弧AB的方程(精确到0.001m)．
解、课本P38例题
求以为圆心，且与直线相切的圆的方程
分析：关键是求半径，而由直线和圆相切知半径即为圆心到直线的距离。
解：设圆的半径为r∵圆与直线相切
∴圆心到直线距离
∴圆的标准方程为：
例5．已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线方程。
分析：求直线方程，已知了一个点，还需求一个点或斜率，此题求斜率好，因为有直线互相垂直，斜率有关系。或者用轨迹法，根据题目条件列出一关系式。
解：法一、如图，设切线斜率为，半径OM的斜率为，
∴∵∴
∴切线方程为，整理得
当点M在坐标上时，上述方程同样适用。
法二、设P(x,y)是切线上任意一点，则
即
整理得即切线方程为:
法三、设P(x,y)是切线上任意一点，则
∴即
整理得∴切线方程为：
2.过圆上一点的切线方程在圆上，过M的切线方程为
当在圆上，过M的圆的切线方程为（自己推导）
作业
写出下列各圆的标准方程
圆心在原点，半径是3；
圆心为点（3，4），半径是；
经过点P（5，1），圆心为点（8，-3）。
答：（1）（2）
（3）。先用两点距离公式求圆的半径，或设圆的标准方程为，用待定系数解。
说出下列圆的圆心坐标和半径长（让学生口答）：
（1）答：圆心（3，-2），半径为2
（2）答：圆心（-4，），半径为
（3）答：圆心（0，-1），半径为4
求以为圆心，且与直线相切的圆的方程
分析：关键是求半径，而由直线和圆相切知半径即为圆心到直线的距离。
解：设圆的半径为r∵圆与直线相切
∴圆心到直线距离
∴圆的标准方程为：
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