12.3椭圆的标准方程
一、教学目标
知识技能：
〈1〉掌握随圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程
〈2〉能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用定义法，待定系统法求随圆的标准方程。
二、过程方法：
〈1〉通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力。
〈2〉通过对椭圆标准方程的推导，是学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标解决几何问题的能力，情感态度和价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。
三、教学重点，难点分析
重点：椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式。
难点：椭圆标准方程的建立和推导。
关键：掌握建立坐标系统与根式化简的方法。
椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容，一是椭圆定义，二是椭圆的标准方程，椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中，先要学习的内容，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，对双曲线和抛物线的教学中巩固和应用，先讲椭圆也与圆的知识衔接自然，学好椭圆对学生学习圆锥曲线是非常重要的。
四、教学过程
五、教学过程设计
问题 设计意图 师生活动 1、我们在必修Ⅱ中，已学习圆的知识，请同学们用集合的观点叙述圆的定义。 在数学学习中，我们可以用类比方法由学习、熟悉的知识引入新的知识。 教师在黑板上，分别用圆规画圆；用线绳画圆。让学生观察、回答圆的定义。 问题 设计设计意图 师生活动 2、同学们，除了大家所熟悉的圆，还有另一种圆锥曲线----椭圆。请大家举例生活中椭圆的形象。
让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念。 学生思考、回答。如：地球运行轨道。圆锥、圆柱的斜截面。教师展示截面是椭圆的模型。 3、如何画椭圆的呢？ 培养学生观察能力，类比圆的画法，解决问题。 学生思考、试验。教师可提示采用线绳画。
〈1〉固定在两点F1、F2，
〈2〉细绳长用2a表示2a＞∣F1F2∣
〈3〉套上铅笔，拉动细绳移动笔尖。 4、通过画椭圆观察这条曲线上所有点满足的几何条件是什么？ 培养学生观察能力、归纳总结能力，为形成椭圆定交奠定基础。 分析画图过程中的“变”与“不变”的条件MF1，MF2都在变化，但∣MF1∣+∣MF2∣的长度保持不变。 问题 设计设计意图 师生活动 5、如何描述动点M所满足的几何条件。 整理试验，归纳抽象成数学问题。 把平面内与两个定点F1，F2，的距离之和等于常数（大于∣F1F2︳）的点的轨迹叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点；两点间的距离叫做椭圆的焦距（板书）。 6、如何用集合表示M点所满足的几何条件。 使学生能将文字语言转化为数学语言，为推导椭圆标准方程做铺垫。 学生回答：教师板书P=﹛M∣MF1∣+∣MF2∣=2a﹜ 7、我们怎样建立坐标系，求椭圆的标准方程呢？ 推导曲线方程时，建立坐标系要适当。 师生共同分析椭圆的特征（如：对称性），使方程比较简单；以线F1F2的中心为原心，以F1F2垂直平分线为Y轴，建立直角坐标系。 完成“建系”，设动点M（x，y）是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距为2c（C＞0），则F1（－C，0），F2（C，0），又设M与F1F2的距离和等于2a（板书） 问题 设计设计意图 师生活动 8、请同学们来表示M到F1F2的距离
∣MF1∣，∣MF2∣ 巩固已学过的两点距离公式，为推导标准方程做准备。
∣MF1∣=
∣MF2∣= 由P=﹛M∣MF1∣+∣MF2∣=2a﹜得+=2a 9、如何整理化简上式。 学习巩固根式化简，两边平方。 找两位同学板演，其余同学自己完成，化简到：
10、观察下图，找出表示a、c、的线段
Y 确定a、b、c的几何定义及其关系 通过观察y轴是F1F2的中垂线，P到F1F2的距离相等，OF1，OF2被y轴平分，所以： X ∣PF1∣=∣PF2∣=a,
∣OF1∣=∣OF2∣=c,
∣P0∣= 由∣P0∣=，令b=,b2=a2-c2，即：代入得椭圆形标准方程：
根据上图知：a﹥b﹥0
问题 设计设计意图 师生活动 11、对于椭圆形标准方程(a﹥b﹥0)的特点是什么？还有什么结论。
适时总结归纳，区分焦点在X轴与Y轴的不同。
学生讨论，教师板书。
<1>(a﹥b﹥0)的焦点在X轴上；
<2>a-b=c（结论） 12、P38思考
Y
F2
M
X
F1
推导焦点在Y轴上的椭圆标准方程 学生已有推导焦点在x轴上的椭圆标准方程的经验，教师通过以下几点引导，由学生完成〈1〉设出动点，焦点坐标，注：特别教师焦头烂额坐标，应在y轴上〈2〉列出相等关系（定义）〈3〉化简整理，得椭圆的另一标准方程
13、椭圆的另一个标准方程（a﹥b﹥c）有什么特点，有什么结论？ 对比上一个焦点在x轴上的椭圆标准方程
〈1〉交点在y轴上
〈2〉a2-b2=c2（结论） 问题 设计设计意图 师生活动 例1P38
求标准方程 区别焦点不同，选择设不同的方程，会用定义来求椭圆标准方程，或用待定系数法来求椭圆标志方程 由学生独立思考，发表各自的想法，教师适时引导，强调要注意的问题，及时总结：
〈1〉确定要设的椭圆标准方程
〈2〉要求椭圆标准方程，即要求a，b
〈3〉恰当列出含a，b，c的方程
〈4〉相等关系a2-b2=c2 练习：写出适合下列条件的椭圆方程
〈1〉a=4，b=1，焦点在x轴上。
〈2〉a=4，c=，焦点在y轴上。
〈3〉a+b=10，c=2
分析：以上练习较简单，其目的为了巩固求椭圆标准方程，及区别焦点在x轴上和焦点在y轴上的椭圆标准方程 小结：以提问形式
〈1〉椭圆是怎样的点的轨迹？〈2〉椭圆的标准方程是怎样的？ 〈3〉椭圆的两个标准方程有什么区别？ 布置作业：
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小结与布置作业
例题及练习
回忆圆的定义，及画法
根据条件，建立椭圆的标准方程
类比画出椭圆，引出椭圆定义
F1OF2
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