§1.5充分条件、心要条件（1）
课型：新授课
课时计划：本课题共安排2课时
教学目的：（1）初步学习充分条件与必要条件的判别；
（2）掌握充要条件的意义；
教学重点：充分条件、必要条件的判断；
教学难点：充分条件、必要条件的判断方法。
教具使用：常规教学。
教学过程：
一、概念引入
早在战国时期，《墨经》中就有这样一段话“有之则必然，无之则未必不然，是为大故”“无之则必不然，有之则未必然，是为小故”。
今天，在日常生活中，常听人说：“这充分说明……”，“没有这个必要”等，在数学中，也讲“充分”和“必要”，这节课，我们就来学习教材第一章第五节——充分条件与必要条件。
二、概念形成
首先请同学们判断下列命题的真假
(1)若两三角形全等，则两三角形的面积相等。
(2)若三角形有两个内角相等，则这个三角形是等腰三角形。
(3)若某个整数能够被4整除,则这个整数必是偶数。
(4)若ab=0，则a=0。
解答：命题（2）、（3）、（4）为真。命题（4）为假；
2、请同学用推断符号“(”写出上述命题。
解答：（1）两三角形全等(两三角形的面积相等。
（2）三角形有两个内角相等(三角形是等腰三角形。
（3）某个整数能够被4整除(则这个整数必是偶数；
（4）ab=0(a=0。
3、充分条件与必要条件
继续结合上述实例说明什么是充分条件、什么是必要条件。
若某个整数能够被4整除(则这个整数必是偶数中，我们称“某个整数能够被4整除”是“这个整数必是偶数”的充分条件，可以解释为：只要“某个整数能够被4整除”成立，“这个整数必是偶数”就一定成立；而称“这个整数必是偶数”是“某个整数能够被4整除”的必要条件，可以解释成如果“某个整数能够被4整除”成立，就必须要“这个整数必是偶数”成立
充分条件：一般地，用α、β分别表示两件事，如果α这件事成立，可以推出β这件事也成立，即α?β，那么α叫做β的充分条件。[说明]：①可以解释为：为了使β成立，具备条件α就足够了。②可进一步解释为：有它即行，无它也未必不行。③结合实例解释为：x=0是xy=0的充分条件，xy=0不一定要x=0.）
必要条件：如果β?α，那么α叫做β的必要条件。
[说明]：①可以解释为若β?α，则α叫做β的必要条件，β是α的充分条件。②无它不行，有它也不一定行③结合实例解释为：如xy=0是x=0的必要条件，若xy≠0，则一定有x≠0；若xy=0也不一定有x=0。
回答上述问题（1）、（2）中的条件关系。
（1）中：“两三角形全等”是“两三角形的面积相等”的充分条件；“两三角形的面积相等”是“两三角形全等”的必要条件。
（2）中：“三角形有两个内角相等”是“三角形是等腰三角形”的充分条件；“三角形是等腰三角形”是“三角形有两个内角相等”的必要条件。
4、拓广引申
把命题：“若某个整数能够被4整除,则这个整数必是偶数”中的条件与结论分别记作α与β，那么，原命题与逆命题的真假同α与β之间有什么关系呢？
关系可分为四类：
（1）充分不必要条件，即α?β,而β?α;
(2)必要不充分条件，即α?β,而β?α;
(3)既充分又必要条件，即α?β，又有β?α;
(4)既不充分也不必要条件，即α?β，又有β?α。
三、典型例题（概念运用）
例1：（1）已知四边形ABCD是凸四边形，那么“AC=BD”是“四边形ABCD是矩形”的什么条件？为什么？（课本例题p22例4）
（2）是的什么条件。
（3）“a+b>2”是“a>1,b>1”什么条件。
解：（1）“AC=BD”是“四边形ABCD是矩形”的必要不充分条件。
（2）充分不必要条件。
（3）必要不充分条件。
[说明]①如果把命题条件与结论分别记作α与β，则既要对“α?β”进行判断，又要对“β?α”进行判断。②要否定条件的充分性、必要性，则只需举一反例即可。
例2：判断下列电路图中p与q的充要关系。其中p：开关闭合；q：
灯亮。（补充例题）
[说明]①图中含有两个开关时，p表示其中一个闭合，另一个情况不确定。②加强学科之间的横向沟通，通过图示，深化概念认识。
例3、探讨下列生活中名言名句的充要关系。（补充例题）
（1）头发长，见识短。（2）骄兵必败。
（3）有志者事竟成。（4）春回大地，万物复苏。
（5）不入虎穴、焉得虎子（6）四肢发达，头脑简单
[说明]通过本例，充分调动学生生活经验，使得抽象概念形象化。从而激发学生学习热情。
四、巩固练习
1、课本P/20——练习1.5（1）
2：填表（补充）
p q p是q的
什么条件 q是p的
什么条件 ? ? ? ? 两个角相等 两个角是对顶角 ? ? ? ? ? ? 内错角相等 两直线平行 ? ? 四边形对角线相等 四边形是平行边形 a=b ac=bc ? ? [说明]通过练习，及时巩固所学新知，反馈教学效果。
五、课堂小结
1、本节课主要研究的内容：
推断符号(，?
充分条件的意义命题充分性、必要性的判断。
必要条件的意义
充分条件、必要条件判别步骤：
①认清条件和结论。
②考察pq和qp的真假。
3、充分条件、必要条件判别技巧：
①可先简化命题。
②否定一个命题只要举出一个反例即可。
③将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
六、课后作业
书面作业：课本P/22习题1.5——1，2，3。
§1.5充分条件、心要条件（2）
一、复习引入
问：一个命题条件的充分性和必要性可分为四类，有哪四类？
答：充分不必要条件；必要不充分条件；既充分又必要条件；既不充分也不必要条件。
练习：判断下列各命题条件的充分性和必要性
(1)若x>0则x2>0（充分不必要条件）。
(2)若两个角相等，则两个角是对顶角。（必要不充分条件）。
(3)若三角形的三条边相等，则三角形的三个角相等。(充分必要条件)
(4)若x是4的倍数，则x是6的倍数（既不充分又不必要条件）
（5）若a，b为实数，，则。(充分必要条件)
二、概念形成
1、结合问题进行说明：命题（3）中：因为三角形的三条边相等(三角形的三个角相等，所以“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充分条件；又因为三角形的三个角相等(三角形的三条边相等，所以“三角形的三条边相等”又是“三角形的三个角相等”的必要条件。因此“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”既充分又必要的条件。
2、充要条件定义
一般地，如果既有α?β，又有β?α，就记作：α?β（“?”叫做等价符号），那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件，我们称为α是β的充分而且必要条件，简称充要条件。
[说明]①可以解释为α?β，α与β互为充要条件。②可以进一步解释为：有它必行，无它必不行。③可以结合实例解释为：如|x|=|y|与x2=y2互为充要条件，即若|x|=|y|，则一定有x2=y2；若|x|≠|y|，则一定有x2≠y2。
三、概念运用与深化（例题解析）
例1：指出下列各组命题中，α是β的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）？（补充例题）
（1）α：(x-2)(x-3)=0；β：x-2=0.
（2）α：同位角相等；β：两直线平行。
（3）α：x=3；β：x2=9。
（4）α：四边形的对角线相等；β：四边形是平形四边形。
解：（1）因x-2=0((x-2)(x-3)=0,而:(x-2)(x-3)=0?x-2=0.
所以α是β的必要而不充分条件。
（2）因同位角相等?两直线平行，所以α是β的充要条件。
（3）因x=3(x2=9,而x2=9?x=3，所以α是β的充分而不必要条件。
（4）因四边形的对角线相等?四边形是平行四边形，又四边形是平四边形?四边形的对角线相等。所以α是β的既不充分也不必要条件。
[说明]①可组织学生通过讨论解答各题。②等价关系与推出关系一样具有可传递性，充要条件间的关系即等价关系，可通过多次等价关系传递性得证，这也是证明充要条件问题的一种基本方法。
例2：已知实系数一元二次方程（），“”是“方程有两个相等的实数根”的什么条件？为什么？（课本例题P21例5）
解：方程变形为.
∵∴
∴“”是“方程有两个相等的实数根”的充分条件。
反过来，方程有两个相等的实数根，那么根据方程根与系数关系得
∴
∴“”是“方程有两个相等的实数根”的必要条件。
综上所述“”是“方程有两个相等的实数根”的充要条件。
[说明]充分性证明：条件?结论；必要性证明：结论?条件。
四、巩固练习
课本P/22——练习1.5（2）1，2
补充练习
1、判断下列各命题条件是否是充要条件：
(1)x是6的倍数，则x是2的倍数。（充分不必要条件）
(2)x是2的倍数，则x是6的倍数。（必要不充分条件）
(3)x既是2的倍数也是3的倍数，则x是6的倍数。(充要条件)
(4)x是4的倍数，则x是6的倍数。（既不充分又不必要条件）
2、完成下列表格
α β α是β的什么条件 ab≠0 a≠0 (x+1)(y-2)=0 x=-1或y=2 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等实根 △=b2-4ac>0 x=1或x=-3 x2+2x-3=0 a2-b2=0 a=0 m是4的倍数 m是2的倍数 五、课堂小结
内容小结
本节课的主要内容是“充要条件”的判定方法，即如果α?β，又有β?α，则α是β的充要条件。
方法小结
如何判断充要条件
判别步骤：
①认清条件和结论。
②考察p?q和q?p的真假。
判别技巧：
①可先简化命题。
②否定一个命题只要举出一个反例即可。
③将命题转化为等价的逆否命题后再判断。
六、课后作业
1、书面作业：习题1.5----4,5,6,7,8,9
2、完成下列表格
α β α是β的什么条件 n是自然数 n是整数 x>5 x>3 m、n是奇数 m+n是偶数 a>b a2>b2 3、思考题：设集合M={x|x>2},P={x|x<3},则“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的什么条件？（“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件）
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