§2.4基本不等式及其应用(1)
教学目的：1、掌握两个基本不等式：（、）、（、为任意正数），并能用于解决一些简单问题.
2、理解两个基本不等式相应的几何解释.初步理解代换的数学方法.
3、在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化等辨证唯物主义观点.
4、利用基本不等式解决一些简单问题，如求最值或求取值范围的简单问题以及简单不等式的证明.
课型：新授课
课时计划：本课题共安排3课时
教学重点：两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用。
教学难点：基本不等式的应用。
教具使用：常规教育
教学过程：
引入课题
在客观世界中，有些量的大小关系是永远成立的。例如，、（）、三角形任意两边之和大于第三边、三角形任意两边之差小于第三边等等.
新课教学
1、基本不等式1
对于任意实数和，有，当且仅当时等号成立.
（1）基本不等式1的证明
证明：因为，所以.当时，.当时，.所以，当且仅当时，的等号成立.
（2）基本不等式1的几何解释
①解释1
边长为的正方形面积与边长为的正方形面积之和大于等于以、为邻边长的矩形面积的2倍（当且仅当时等号成立）.
已知正方形，分别在边、边上取点、，使得.分别过点、作、，垂足为、.和交于点.
由几何画板进行动态计算演示，得到阴影部分的面积剩余部分的面积，当且仅当点移至中点时等号成立.
②解释2
某届数学大会的会徽怎样的？
三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为：
如图所示，以、、分别表示勾、股、弦，那么，表示“弦图”中两块“朱实”的面积，表示“中黄实”的面积.于是，从图中可明显看出，四块“朱实”的面积加上一个“中黄实”的面积就等于以为边长的正方形“弦实”的面积，即
这就是勾股定理的一般表达式.
由图可知：
以为边长的正方形“弦实”的面积四块“朱实”的面积即，（当且仅当时等号成立）.
2、基本不等式2
观察下面这个几何图形.
已知半圆，是半圆上任一点，是直径.
过作，垂足为.
显然有线段的长度大于等于垂线段的长度.
设，，请用、来表示上述这个不等关系.（即，当且仅当时等号成立.）
基本不等式2对于任意正数、，有，当且仅当时等号成立.
我们把和分别叫做正数、的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
（1）基本不等式2的证明
证明：因为，所以.
当时，.当时，.
所以，当且仅当时，的等号成立.
另证：因为、为正数，所以、均存在.
由基本不等式1，得，当且仅当时等号成立.
即，当且仅当时等号成立.
（2）基本不等式2的扩充
对于任意非负数、，有，当且仅当时等号成立.
例1已知，求证：，并指出等号成立的条件.
证明：因为，所以、同号，并有，.
所以，.当且仅当，即时等号成立.
[说明]
1、体会代换的方法.2、用语言表述上述结论.3、思考：若，则代数式的取值范围是什么？（，当且仅当时等号成立.）
3、两个基本不等式的简单应用
（1）几何问题
例2在周长保持不变的条件下，何时矩形的面积最大？
猜想：由几何画板电脑演示得出.
解：设矩形的长、宽分别为、（、）且（定值），则同样周长的正方形的边长为.
矩形面积，正方形面积
由基本不等式2，得，又由不等式的性质得，即.
由题意，（定值），所以（定值）.当且仅当，即矩形为正方形时，矩形的面积最大.
[说明]
当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值.
例如，若时，有，当且仅当时等号成立.（事实上，由（），得，当且仅当时等号成立.）
三、课堂小结
四、作业布置
1、练习2.4（1）
2、思考题
（1）通过查阅资料，了解这两个基本不等式其它的几何解释.
（2）在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？
（3）整理一些基本不等式的常用变式并给出证明.
§2.4基本不等式及其应用(2)(3)
一、复习
基本不等式1对于任意实数和，有，当且仅当时等号成立.
基本不等式2对于任意正数、，有，当且仅当时等号成立.
我们把和分别叫做正数、的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
[说明]
复习过程中需强调三点：
1、两个基本不等式各自适用的范围.2、两个基本不等式各自等号成立的条件.3、两个基本不等式之间的联系.
二、新课讲授
（2）几何问题
根据上节课的讨论，我们知道在周长保持不变的条件下，当且仅当矩形相邻两边相等即为正方形时，其面积最大.很自然我们会考虑下面的问题.
例3在面积保持不变的条件下，何时矩形的周长最小？
解：设矩形的长、宽分别为、（、）且（定值），则同样面积的正方形的边长为.
矩形周长，正方形周长.
由基本不等式2，得，又由不等式的性质得，即.
由题意，（定值），所以（定值）.当且仅当，即矩形为正方形时，矩形的周长最小.
[说明]
当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值.
例如，若时，，当且仅当时等号成立.（一方面当时，有，当且仅当时等号成立.另一方面当时，有，即，当且仅当时等号成立.）
两个正数的和为定值，则它们的积有最大值；两个正数的积为定值，则它们的和有最小值.这两个结论常常用于求解最值问题.在具体应用时，要注意“一正、二定、三等号”.
（2）代数证明
例4求证：对于任意实数、、，有，当且仅当时等号成立.
证明：由基本不等式1，得
，，，
把上述三个式子的两边分别相加，得，即，当且仅当时等号成立.
另证：
.
即，当且仅当时等号成立.
例5均值不等式链
设、，则（调和均值几何均值算术均值平方均值），当且仅当时等号成立.
证明：（1）由、，得，当且仅当时等号成立.
（2），当且仅当时等号成立，已证.
（3）由
.
所以，当、时，有，当且仅当时等号成立.
综合（1）、（2）、（3）得，当、时，有，当且仅当时等号成立.
[说明]
事实上当、时，有：①，当且仅当时等号成立.
②.
证明：①由，当且仅当时等号成立.
②由
.
即，.
不等式等号成立当且仅当.
不等式等号成立当且仅当.
不等式等号成立当且仅当.
例6甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条路线行到B地。甲在前一半时间的行走速度为，后一半时间的行走速度为；乙用速度走完前半段路程，用速度走完后半段路程；问：谁先到达B地？
解：设A、B两地的距离为，甲、乙两人用时分别为、，则。
因此。
所以，当时，，甲、乙两人同时到达B地；当时，，甲先到B地。另解：设A、B两地的距离为，甲、乙两人用时分别为、，平均速度分别为、，则。
因而，当时，，甲、乙两人同时到达B地；当时，，甲先到B地。
三、课堂小结
略
四、作业布置
1、习题2.41、2、4、7
2、思考题:均值不等式链的几何解释。
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