§3.2函数关系的建立
教学目的：1．能利用几何图形的性质建立两个变量间的函数关系；
2．通过函数关系的建立，巩固函数的概念。
课型：新授课
课时计划：本课题共安排3课时
教学重点：建立实际问题中两个变量间的函数关系。
教学难点：将实际问题转化为数学形式的问题。
教具使用：常规教育
教学过程：
复习与回顾
上一节课，我们学习了函数的概念。
函数的三要素是什么？
（1）解析式（2）定义域（3）值域
表示函数有哪几种方式？
（1）列表法（2）图象法（3）解析式
今天我们就着重研究，如何用解析式来表示一个函数。
二新课引入
如图，一个边长为a、b（b
分析：审题，把文字语言转化为数学语言。找出题目中几个量之间的关系。
我们要求指定的函数关系式，首先要把相关的量用题设中给出的变量表示出来
解：因为阴影部分中左上角的面积S1=x2，阴影部分中右下角的面积S2=(a－x)(b－x)，所以阴影部分面积S=S1+S2=x2＋(a－x)(b－x)
（每一个确定的x，都有唯一确定的y与它对应，这个解析式完成了吗？一个完整的函数还包括定义域，这里的x和y都具有实际意义。我们可以来观察一下，x的取值范围。）
因此，所求函数为S=2x2－(a+b)x+ab,x∈[0,b]
一个周长为12cm的等腰三角形
(1)设它的腰长为y（cm）,底边长为x（cm）,请写出y关于x的函数解析式。
yyxx
xy
解：已知等腰三角形的腰长为y，底边为x
（建立等量关系）12=2y+x
(把y表示成x的函数)y=－+6
（我们可以来观察一下，x的取值范围）
y=－+6>0,x>0,2y>x所以
（小结）所以所求函数是y=－+6，
（2）设它的腰长为x（cm）,底边长为y（cm）,请写出y关于x的函数解析式。
（请同学按上题的步骤，写出函数解析式）
已知等腰三角形的腰长为y，底边为x
（确立等量关系）12=2x+y
(把y表示成x的函数)y=12－2x
（我们可以来观察一下，x的取值范围）
y=12－2x>0,x>0,2x>y=12－2x
所以
所以所求函数是y=12－2x，
（小结：这道例题是通过三角形周长的关系，建立函数关系，它的基本思路是怎样的？）
函数关系建立的步骤：
分析题意，分析实际问题中，变量之间的关系；
建立等量关系，建立变量x、y之间的等式；
整理出解析式，等式变形得出y=f（x）；
求定义域D，由实际意义列出关于x的不等式（组）
2.巩固
例3．在底边BC=60,高AD=40的△ABC中作内接矩形MNPQ。设矩形的面积为S，
MN=x。写出S与此时x的函数关系。
解：因为MN∥BC，所以,
即所以
于是
考虑实际意义，定义域为0
所以所求函数是,x∈(0,60)
归纳强调:1)建立函数式,2)确立定义域要函数式意义,又要考虑应用题的实际背景.解：P在BC上时，即时，AB=1，BP=x-1，∴由勾股定理AP2=AB2+BP2.
y2=12+(x-1)2(这里我们求出了x,y的等式，但这是一个函数吗？函数必须满足每个给定的x，都有唯一确定的y与之对应。但这里给定一个x，有两个y与它对应。所以我们在找到等量关系后，必须进一步解出函数关系式。考虑到y表示距离，是大于0的)
y=求定义域
所以所求关系式为y=，x∈[1，2]
（如果把“当P在BC上时”的条件去掉，这道题目就要分情况讨论，这是我们下节课所要研究的，这道题就作为今天的预习作业,请大家课后思考一下）
巩固练习
如图,有一圆柱形的无盖杯子,它的内
表面积是，试用解析式将杯子的容积
表示成底面内半径的函数.
1.思考与分析：
（1）内表面积=侧面面积+底面面积=底面的周长高+底面面积.
（2）圆柱体积=底面积高.
解：设杯子的高为，根据题意，得
，，于是
=.根据实际意义,自变量且,即.因此所求函数是()[说明]
(1)对有一定难度的的实际问题,当难以找到变量的直接关系;先列出问题中的等量关系,通过中间变量,可以使问题变得简单.
(2)建立函数关系包含函数的定义域,学生往往忽略了函数的定义域,本题中,学生容易理解,对于,可以根据,因为,所以;它的几何意义是.
例2.新世纪花园要建造一个直径为16米的圆形喷水池，计划在池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，要求喷出的水柱在离池中心3米的地方达到最高，高度为4米，还要在池中心的上方设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，问这个装饰物的高度应如何设计.
[说明]与高度之间的抛物线的函数关系.
把截面直径为40厘米的半圆形木料，锯成矩形木料，设矩形的一边长是厘米，将矩形的面积表示成边长的函数.
答：.
2、建造一个容积为，深为的长方体的游泳池（无盖），池璧造价为元,池底造价为元,把总造价元表示成底的一边长（）底面造价+侧面造价=底面积+侧面积
（2）.
四小结
今天我们讨论了如何利用几何图形的性质来建立函数关系，即解出因变量y关于自变量x的函数解析式，一般流程是：
分析题意----建立等量关系-----解出函数解析式-----求出定义域
注意：（1）等式不等同于函数解析式
（2）求定义域时还必须考虑实际意义
五作业
P．58、61习题3.2（1）（2）1、2、3
4
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