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闵行区201学年第学期年级
数学试卷
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．
1.用列举法将方程的解集表示为．
【答案】
【解析】
试题分析：原方程为，即，或，又∵，∴.
考点：对数方程.
2.若复数满足（其中为虚数单位），则．
【解析】
试题分析：由题意得，.
考点：复数的运算.
3.双曲线
【答案】
【解析】
试题分析：双曲线的两条渐近线为，斜率为，倾斜角分别为，它们的夹角为.
考点：双曲线的渐近线.
4.若，且，则．
【解析】
试题分析：解1：因为，.
解2：由已知，.
解3：同2，.
考点：半角公式，二倍角公式。
5.二项式的展开式中，项的系数为.
【答案】
【解析】
试题分析：展开式的通项为，令，则，所以的系数为.
考点：二项式定理.
6.已知等比数列满足，则．
【解析】
试题分析：由已知，，首项，所以
.或者，.
考点：等比数列的前项和，数列的极限.
7.如果实数满足线性约束条件，则的最小值等于．
【解析】
试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），再作直线，上下平移直线，当过点时，取得最小值.
考点：简单的线性规划.
8.空间一线段AB，若其主视图、左视图、俯视图的长度均为，则线段AB的长度为.
【答案】
考点：三视图.
9.出条件：①，②，③，④．函数，对任意，使成立的条件序号是
【答案】④
【解析】
试题分析：函数是偶函数，当时，是增函数，因此在上是减函数，故由①②③都不能得出，只有④由，而对偶函数来讲有，因此有.
考点：函数的奇偶性，单调性.
10.已知数列满足，则使成立的正整数的一个值为．
【答案】2015（或填大于2015的任一整数）
【解析】
试题分析：由已知，所以数列是等差数列，且公差为1，所以，，则由得，
，∵，且，∴，答案是2015或大于2015的任一整数.
考点：数列的通项公式.
11.斜率为的直线与焦点在轴上的椭圆交于不同的两点、.若点、在轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为.
【答案】
【解析】
试题分析：由题意两点关于原点对称，设，则有，于是有，即，把点坐标代入椭圆方程有，又代入上式解得（舍去），，焦距为.
考点：椭圆的几何性质.
12.函数在区间内无零点，则实数的范围是..
【答案】
【解析】
试题分析：可变形为，由题意函数与在上无交点，的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为，在上为减函数，，，当时，在上是减函数，且，此时和在上有交点，不合题意；当时，在上是增函数，要使得和在上无交点，则有，，所以的取值范围是.
考点：函数的零点，函数图象的交点，函数的单调性.
13.已知点是半径为的上的动点，线段是的直径.则的取值范围为．
【答案】
【解析】
试题分析：连接延长交圆于点，则，则
，由于，在圆上，所以当与同向（或反向）时，取得最大值4（最小值），所以.
考点：向量的数量积.
14.已知函数，，若对任意的，均有，则实数的取值范围是．
【解析】
试题分析：由题意，当时，，，当时，，而，因此，同理当时，，，是减函数，当时，，当时，，，所以，.
考点：函数的最值，不等式恒成立问题.
二．选择题（
15.如果，那么下列不等式成立的是()
(A).(B).(C).(D).
【答案】B
【解析】
试题分析：对于选择题，可举例说明命题是错误的，如当，满足，但此时均不正确，由排除法只能选B.事实上由，正确.
考点：不等式的基本性质.
16.从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单，要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有()
(A)14种种种D)120种
【答案】D
【解析】
试题分析：可先选一个合唱节目排在节目单的最后，然后再从剩下的5个节目中选3个排在前面，因此共有种编排方法.
考点：排列组合的综合应用.
17.函数的定义域为，值域为，则的最大值是()
(A).(B).(C). (D).
【答案】B
考点：正弦函数的值域.
18.如图，已知直线平面，垂足为，在中，，点是边上的动点.该三角形在空间按以下条件作自由移动：(1)，(2).则的最大值为
()
.(B).(C).(D).
【答案】C
【解析】
试题分析：，首先，若点不共面，过直线作平面垂直于直线，垂足为，则，而当共面时，，故在点确定时，当共面时最大，此时设，则，在中，，，故最大值为，选C.
考点：向量的加减法，立体几何中的最值，余弦定理，三角函数的最值.
三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19.(本题满分12分)如图，已知圆锥的底面半径为，点Q为半圆弧的中点，点为母线的中点．若与所成角为，求此圆锥的面积．
.
【解析】
试题分析：本题关键是求得母线的长度，我们要把已知异面直线和所成的角找出来，为此取中点，则，为异面直线和所成的角，且，由已知可得，从而，，则母线，侧面积可求.
试题解析：取OA的中点M,连接PM,又点P为母线的中点
，故为与所成角．
在中，，，………………4分
由点Q为半圆弧的中点，
在中，
故，所以，．
所以，………10分
．
考点：圆锥的表面积.
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．
设三角形的内角所对的边长分别是，且．
不是钝角三角形，求：(1)角的范围；(2)的取值范围．
；(2).
【解析】
试题分析：（1）条件不是钝角三角形就是说它的内角最大为直角，即，，再由已知得，因此可得角的范围是；（2）由正弦定理
，可知当时，，当时，，由此得，综合起来就是.
试题解析：（1）因为，………………………2分
由得：…………………………4分
（2）………………………6分
（）………10分
当时，
当时，…………………………12分
所以.……………………14分
考点：（1）三角形的形状与内角和；（2）正弦定理，三角函数的值域.
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．
某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．
个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；
（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．
，（）；（2）．
试题分析：本题属于函数的应用，目的就是列出函数解析式，然后利用函数式解决问题，列式时所需的等量关系一般题中已经给出，也可能是常识性的知识，已知中有时，，由此可求得，本题等量关系是油库内储油量等于进货量＋年初储量－区域内用量－区域外的需求量，即，（）；（2）按要求就是，即恒成立，转化为恒成立，由此就能求得．
，所以2分
，（）．
（２）因为，
所以恒成立………………………8分
恒成立………………………10分
设，则：
恒成立，
由恒成立得
（时取等号）………………………12分
恒成立得（时取等号）
所以．
考点：函数的应用题.
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1)小题满分分，第小题满分分第小题满分分．
和（），把它们的公共点的轨迹记为曲线,若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足：．
求曲线的方程；
若的坐标为，求直线和轴的交点的坐标；
证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标．
【答案】(1)；（2）；（3）证明见解析，定点.
【解析】
试题分析：本题解析几何问题，考查学生的运算求解能力，考查逻辑推理能力，（1）两圆交点到两圆心的距离之和为4，而这两圆心的距离为，因此动点的轨迹是椭圆，由椭圆定义知，则，由此得椭圆方程；（2）由条件，知道,，=,
,得直线:,代入椭圆方程可解得点坐标为,直线方程为:,由此可得交点；（3）可看作是直线与椭圆的位置关系问题，解决它的方法一般是设直线的方程为（需另外讨论斜率不存在时的情形），代入椭圆方程整理得，设，则有，，由已知条件，得，即
，把代入整理：
，（有公因式m-1）继续化简得：，或（舍），这说明直线过定点，当然也可先用特殊值法求出定点，由椭圆的对称性知若有定点，则定点必在轴上，取一条直线，则直线的方程为，
解方程组得点，，此时直线恒经过轴上的点，下面只要证明过的直线与椭圆相交于两点，满足即可.
试题解析：（1）设两动圆的公共点为Q，则有：．由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，．所以曲线的方程是：．…4分
（2）由条件，知道,，=,
,得直线:,………………………6分
解方程组可得,……………………………8分
,直线:,
所以交点．……………………………10分
（3）证法一：由题意可知：，设，,
当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：过定点………………………12分
当的斜率存在时，设直线：，联立方程组：
，把②代入①有：……………14分
③，④，
因为，所以有，
，把③④代入整理：
，（有公因式m-1）继续化简得：
，或（舍），
综合斜率不存在的情况，直线恒过定点．………………………16分
证法二：（先猜后证）由题意可知：，设，,
如果直线恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在轴上，设为；
取特殊直线，则直线的方程为，
解方程组得点，同理得点，
此时直线恒经过轴上的点（只要猜出定点的坐标给2分）……12分
下边证明点满足条件
当的斜率不存在时，直线方程为：，
点的坐标为，满足条件；………………………14分
当的斜率存在时，设直线：，联立方程组：
，把②代入①得：
③，④，
所以
………………………16分
考点：（1）椭圆的定义求椭圆方程；（2）直线与椭圆的位置关系.
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1)小题满分分，小题满分分，第小题满分分．
的前项和为，且对任意正整数，都有．
（1）求数列的通项公式；
（2）如果等比数列共有项，其首项与公比均为，在数列的每相邻两项与之间插入个后，得到一个新的数列．求数列中所有项的和；
（3）如果存在，使不等式成立，求实数的范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
试题分析：本题是数列问题，考查分析问题，解决问题的能力，考查逻辑推理能力，属于难题，（1）考查数列的前项与项之间的关系，利用，可把已知化简得，即数列是等差数列，通项易得；（2）主要要弄清数列中的项数，，在数列的每相邻两项与之间插入个后，这些项的和为，因此在求数列的和时，我们按的奇偶性进行分类讨论，当时，数列共有项，其所有项的和为……8分
；
（3）由得
记的最小值，的最大值，则有，因为，当取等号，所以取不到，当时，的最小值为，（）递减，的最大值为，
故实数的范围应为．
试题解析：（1）当时，由得…………1分
当时，由，得
因数列的各项均为正数，所以………………………………3分
所以数列是首相与公差均为等差数列
所以数列的通项公式为．………………………………4分
（2）数列的通项公式为…………………………5分
数列中一共有项，其所有项的和为
……8分
……………………………11分
（3）由得
……………………………13分
记
，当取等号，所以取不到
当时，的最小值为
（）递减，的最大值为…………15分
所以如果存在，使不等式成立
实数应满足，即实数的范围应为．………………………18分
考点：（1）已知数列前项和与项的关系，求通项公式，等差数列的通项公式；（2）数列的和；（3）不等式恒成立问题.
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B
l
C
N
P
O
P
S
A
Q
O
B
M
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