2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷
高三数学文科试卷2016.1
填空题：(本题满分56分，每小题4分)
1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的标准方程是________________．
2．方程的解是________________．
3．设，则数列的各项和为________________．
4．函数________________．
5．若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为________________．
6．若函数的零点个数为4，则实数的取值范围为________________．
7．若，且，则的最小值是________________．
8．若三条直线和相交于一点，则行列式
的值为________________．
9．在中，边，，则角的取值范围是________________．
10．已知四面体的外接球球心棱，，则两点在四面体的外接球上的球面距离是________________展开后各项系数的和等于________________．
12．已知函数的定义域为，值域为，则这样的集合最多有_____．个
13．正四面体的四个面上分别写有数字0,1,2,3把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字之和恰好是9的概率为________________．
14．设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则=________________．
选择题：（本题满分20分，每小题5分）
15．已知向量与不平行，且，则下列结论中正确的是-----------------------（）
A．向量与垂直B．向量与垂直
C．向量与垂直D．向量与平行
16．设为实数，则“”是“”的-----------------------------（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
17．设、均是实数，是虚数单位，复数的实部大于，虚部不小于，则复数在复平面上的点集用阴影表示为下图中的---------------------------------------（）
18．设函数的定义域为，若对于任意、，当时，恒有
，则称点为函数图像的对称中心．研究函数
的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到
的值为---------------（）
A．B．C．D．
解答题：（本大题共题，满分分）中，且.
求证并求三棱锥的体积．
20．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）
已知函数．
（1）化简函数的表达式，并求函数的最小正周期；
（2）若点是图象的对称中心，且，求点的坐标．
21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）
已知实数满足且．
（1）求实数的取值范围；
（2）求的最大值和最小值，并求此时的值．
22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分）
数列满足，且（）．
（1）求；
（2）求数列的通项公式；
（3）令，求数列的最大值与最小值．
23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中曲线BC是抛物线的一部分；且CD恰好等于圆E的半径.假定拟建体育馆的高（单位：米，下同）．
（1）若、，求、的长度；
（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求的取值范围；
（3）若求AD的最大值．
2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷
数学学科（文科）参考答案及评分标准2016.1
填空题：(本题满分56分，每小题4分)
1．2．3．4．5．6．7．168．19．
10．11．2812．913．14．
二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）
15．A16．D17．A18．C
解答题：（本大题共题，满分分），,所以平面,所以.又.所以平面.故.--------6分
在中，,所以.----8分
又在中，,所以.---10分
又因为平面,所以.----------12分
20．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）
解：（1）
，所以的最小正周期.----6分
（2）由，令，
得，∴，----------------------10分
由，得或，---------------------------12分
因此点的坐标为或.---------------------------------14分
21．（本题满分16分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）
解：（1）由，得
即，-----------------------------------6分
（2）因为
，---------------------------10分
当，即时，--------------------------------------------------12分
当或，即或时，．---------------------------14分
22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题7分）
解：（1）.------------------------------------------------------3分
（2）设数列的前项和为，则
，得即-----------------------------------6分
从第二项起成等比数列，又，所以--9分
（3），
由，
得，
所以当时，，
当时，-----------------------------------------------------------------------14分
但，
综上所述，，．---------------------------------------16分
23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
解（1）因为圆E的半径为
所以---------------------------------------------------------------------------------------1分
在中令得
在圆中令得
所以.-------------------------4分
（2）由圆E的半径为得
在中令得
----------------------------------------------------------------7分
由题意知，对恒成立，所以恒成立.
当即时，取得最小值10，故解得----10分
（3）当时，
又圆E的方程为令得所以从而-------------------------------------------------13分
下求的最大值.
方法一：令则
其中是锐角，且从而当时，AD取得最大值--------------------------------18分
方法二：令则题意相当于：已知求的最大值.
当直线与圆弧相切时，取得最大值
答：当米时，AD的最大值为米.--------------------------------------------------18分
8/8
|
|
