浦东新区201学年度第一学期期末质量测高三数学2016.1
注意：1.答卷前，考生务必在上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚.
2.本试卷共有3道试题，满分150分，考试时间10分钟.
一、填空题（本大题共有1题，满分6分）只要求直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.
1．已知集合，则
2．已知向量平行，则
3．关于的一元二次方程组的系数矩阵
4．计算：
5．若复数满足（为虚数单位），则
6．的二项展开式中的第八项为
7．某船在海平面处测得灯塔在北偏东方向，与相距海里.船由向正北方向航行海里达到处，这时灯塔与船相距___________海里（精确到0.1海里）
8．已知，则
9．如图，已知正方体，，为棱的中点，则与平面所成的角为．（，）（结果用反三角表示）
10．已知函数的图像与的图像关于直线对称，令，则关于函数有下列命题：
①的图像关于原点对称；②的图像关于轴对称；
③的最大值为；④在区间上单调递增。
其中正确命题的序号为____②③_____（写出所有正确命题的序号）。
11．有一列向量：如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列。已知等差向量列，满足，，那么这列向量中模最小的向量的序号__或__。
12．已知则与图像交点的横坐标之和为__17___.
二、选择题本大题共有题，满分分每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得分，否则一律得零分.
1，那么下列不等式中不正确的是…………………………………（B）
14．设且，，是成立的…………………………（A）
充分非必要条件必要非充分条件
充要条件 既非充分又非必要条件
15．方程表示焦点在轴的椭圆，则实数的取值范围是…………（D）
16．甲、乙、丙、丁四人排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是…………（C）
17．直线与圆的位置关系是………………………（B）
相交相切 相离 不能确定
18．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为……………………………………………………（A）
4321
19．设函数满足，当时，，则……………………………………………………………………………………（A）
20．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于……………(D)
21．已知函数存在反函数，若函数过点，则函数恒过点…………………………………………………………………………………………（B）
22．一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为……………………………………………………………………………………………（C）
5080 90 100
23．符合以下性质的函数称为“函数”：①定义域为，②是奇函数，③（常数），④在上单调递增，⑤对任意一个小于的正数，至少存在一个自变量，使。下列四个函数中，，，中“函数”的个数为…………（D）
1个2个3个4个
24．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点，其中分别为点到两个顶点的向量.若将点到正六角星12个顶点的向量，都写成为的形式，则的最大值为（C）
34 5 6
三、解答题（本大题共有题，满分分）解答下列各题必须写出必要的步骤．交与点，，分别为的中点.
求证：平面．
证明：在中，因为分别为的中点，所以……………………………………………………………………………2分
又因为，所以由平行公理和等量代换知，，
所以四边形是平行四边形……………………………………………………4分
所以…………………………………………………………………………6分
又因为平面，所以平面…………………………………8分
26．（本题满分8分）
已知函数,将函数的图像向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，求函数的解析式，并写出它的单调递增区间．
解：由，将函数的图像向右平移个单位，得……2分
再把横坐标缩短到原的（纵坐标不变），得到。…………………4分
由，可得
所以的单调递增区间为………………………………8分
27．（本题满分8分，第1小题4分、第2小题4分）
已知两个向量
（1）若，求实数的值；
（2）求函数的值域。
解：（1）
经检验为所求的解；………………………………………………4分
（2）由条件知
所以值域为。………………………………………………………………8分
28．（本题满分10分，第1小题4分、第2小题6分)
已知数列的前项的和，
（1）求的通项公式；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
解:（1）
…………………………………………2分
当时也成立,
（2）
设
的最小值为,.
29．（本题满分14分，第1小题4分、第2小题5分、第3小题5分）
在平面直角坐标系中，对于点、直线，我们称为点到直线的方向距离。
（1）设椭圆上的任意一点到直线的方向距离分别为，求的取值范围。
（2）设点、到直线：的方向距离分别为、，试问是否存在实数，对任意的都有成立？若存在，求出的值；不存在，说明理由。
（3）已知直线：和椭圆：（），设椭圆的两个焦点到直线的方向距离分别为、满足，且直线与轴的交点为、与轴的交点为，试比较的长与的大小。
解答：（1）由点在椭圆上，所以
由题意、，于是………………2分
又得，即…………………………………………4分
（也可以先求出，再利用基本不等式易得）
（2）假设存在实数，满足题设，
由题意，
于是………………………………………………6分
对任意的都成立
只要即可，所以
故存在实数，，对任意的都有成立。……………………………9分
（学生通过联想，判断直线是椭圆的切线，又证明从而得到也给分）
（3）设的坐标分别为、，于是
、于是
又，即……………………………………………12分
所以
综上…………………………………………………………………………14分
30．（本题满分6分）
如图，点、，点在轴正半轴上，过线段的等分点作与垂直的射线，在上的动点使取得最大值的位置记作（）。是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数，点都在这条曲线上？说明理由。
解：存在一条双曲线，对任意的正整数，点都在这条双曲线上……1分
如图所示，，设，，则，，
，
所以
……………………3分
当一定时，为常数
所以此时取得最大值，……………5分
当且仅当时等号成立，
故，，在一条双曲线上。…………6分
31．(本题满分12分，第1小题3分、第2小题4分、第3小题5分)
定义符号函数.已知
（1）求关于的表达式，并求的最小值.
（2）当时，函数在上有唯一零点，求的取值范围.
（3）已知存在，使得对任意的恒成立，求的取值范围.
解：（1），
所以最小值为。…………………………………………………………3分
（2）当时，。当时，。
所以由。………………5分
令。在同一坐标系中分别作出这两个函数在上的图像。
由图像可得.…………………………………………7分
（3）当时，.由得，
所以且对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
从而只需求在的最大值和在的最小值，而且要满足。
在上单调递增，所以。
对于函数，时，.……10分
（i）
（ii）
（iii）
综上，。………………………………………………………………12分
32．(本题满分12分，第1小题4分、第2题第①问3分、第2题第②问5分)
已知两个无穷数列分别满足，，其中，设数列的前项和分别为，
（1）若数列都为递增数列，求数列的通项公式；
（2）若数列满足：存在唯一的正整数（），使得，称数列为“坠点数列”
①若数列为“5坠点数列”，求；
②若数列为“坠点数列”，数列为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由。
解答：
（1）数列都为递增数列，∴，，
∴，…………………………………………………………………………2分
；………………………………………………………………………4分
（2）①∵数列满足：存在唯一的正整数，使得，且，
∴数列必为，即前4项为首项为1，公差为2的等差数列，从第5项开始为首项5，公差为2的等差数列，……………………………………5分
故；………………………………………………………7分
②∵，即，
而数列为“坠点数列”且，∴数列中有且只有两个负项．
假设存在正整数，使得，显然，且为奇数，而中各项均为奇数，∴必为偶数．…………………………………………………………………………9分
i.当时，
当时，，故不存在，使得成立
ii.当时，
显然不存在，使得成立
iii．当时，
当时，才存在，使得成立
所以
当时，，构造：为，为
此时，，所以的最大值为。………………………………………12分
10/10
y
x
O
C
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