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浦东新区201学年度第一学期期末质量测高三数学2015.1
注意：1.答卷前，考生务必在上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚.
2.本试卷共有3道试题，满分150分，考试时间10分钟.
一、填空题（本大题共有1题，满分6分）只要求直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.
的解为.
2．已知复数满足（为虚数单位），则.
3．关于的方程表示圆，则实数的取值范围是.
4．函数最大值.
5．若，则实数的取值范围是.
6．已知一个关于的二元线性方程组的增广矩阵是，则=.
7．双曲线的两条渐近线的夹角为.
8．已知是函数的反函数，且，则实数.
9．二项式的展开式中，含项系数为.
10．定义在上的偶函数，在上单调递增，则不等式的解是.
11．如图，已知平面，，，,、分别是、的中点.则异面直线与所成角的大小为.
12．若直线的方程为（不同时为零），则下列命题正确的是.
（1）以方程的解为坐标的点都在直线上；
（2）方程可以表示平面坐标系中的任意一条直线；
（3）直线的一个法向量为；
（4）直线的倾斜角为.
二、选择题本大题共有题，满分分每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得分，否则一律得零分.
1，且，则椭圆的标准方程为（）
14．用1，2，3，4、5组成没有重复数字的三位数，其中是奇数的概率为（）
15．下列四个命题中，为真命题的是若，则若，则
若，则若，则84 78 81 96
17．等差数列的前项和为，若，的值为（）
10 20 25 30
18．“直线垂直于的边，”是“直线垂直于的边”的（）
充分非必要条件 必要非充分条件
充要条件 既非充分也非必要条件
19．函数的零点个数为（）
0 1 2 3
20．某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前五个交易日，平均每天上涨5%，后五个交易日内，平均每天下跌4.9%.则股民的股票赢亏情况(不计其它成本，精确到元)（）
赚723元 赚145元亏145元 亏723元
21．已知数列的通项公式，则
（）
22．如果函数在区间上是增函数，而函数在区间上是减函数，那么称函数是区间上“缓增函数”，区间叫做“缓增区间”.若函数是区间上“缓增函数”，则“缓增区间”为（）
23．设为两个非零向量的夹角，已知对任意实数，的最小值为2，则（）
若确定，则唯一确定若确定，则唯一确定
若确定，则唯一确定若确定，则唯一确定
24．已知是关于的方程的两个实数根，则经过两点，的直线与椭圆公共点的个数是（）
21 0 不确定
三、解答题（本大题共有题，满分分）解答下列各题必须写出必要的步骤．已知函数的定义域为集合，集合.若，求实数的取值范围.
26．（本题满分8分）
如图所示，圆锥的底面圆半径，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，求此圆锥的体积．
27．（本题满分8分）
已知直线与抛物线交于、两点（为抛物线的焦点，为坐标原点），若，求的垂直平分线的方程.
28．（本题满分12分，第1小题6分、第2小题6分)
在中，角、、所对的边分别为、、，且，的平分线为，若
（1）当时，求的值；
(2)当时，求实数的取值范围.
29．（本题满分13分，第1小题6分、第2小题7分）
在数列，中，,,,（）.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设为数列的前项的和，若对任意，都有，求实数的取值范围.
30．（本题满分8分）
某风景区有空中景点及平坦的地面上景点．已知与地面所成角的大小为，点在地面上的射影为，如图.请在地面上选定点，使得达到最大值.
31．(本题满分10分，第1小题4分、第2小题6分)
设函数（）.
（1）设且，试比较与的大小；
（2）现给出如下3个结论，请你分别指出其正确性，并说明理由.
①对任意都有成立；
②对任意都有成立；
③若关于的不等式在有解，则的取值范围是.
32．(本题满分12分，第1小题5分、第2小题7分)
已知的三个顶点，，.
（1）动点在三角形的内部或边界上，且点到三边的距离依次成等差数列，求点的轨迹方程；
（2）若，直线将分割为面积相等的两部分的取值范围浦东新区201学年度第一学期期末质量测高三数学一、填空题（本大题共有1题，满分6分）只要求直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.
；2．；3．；4．2；5．；6．6；7．；
8．；9．24；10．；11．（）；12．（1）、（2）、（3）.
二、选择题本大题共有题，满分分每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得分，否则一律得零分.
1；14．；15．；16．；17．；18．；
19．；20．；21．；22．；23．；24．.
三、解答题（本大题共有题，满分分）解答下列各题必须写出必要的步骤．，……………………………………………………………………3分
因为，所以，.…………………………………6分
即.………………………………………………………………………7分
26．（本题满分8分）
解：因为，所以弧长为，……………………………………………2分
又因为，则有，所以．……………………4分
在中，.，…………………6分
所以圆锥的体积．………………………………………8分
27．（本题满分8分）
解：的方程为：.由得，
所以，……………………………………………………………………3分
由，可求得.………………………………………………………5分
所以，中点.…………………………………………………6分
所以的垂直平分线的方程为：.………………………………8分
28．（本题满分12分，第1小题6分、第2小题6分)
解：（1）由又得………2分
…………………………………………………………………4分
……………………………………………6分
（2）由得；…………………………………8分
又=，…………………10分
所以，.……………………………………………12分
29．（本题满分13分，第1小题6分、第2小题7分）
解：（1）因为，，，
即数列是首项为2，公比为的等比数列，
所以.…………………………………………………………3分
，，，
所以，当时，，即.…………………………6分
（2）由得，，
，，
因为，所以.………………………8分
当为奇数时，随的增大而增大，
且，，；………………………10分
当为偶数时，随的增大而减小，
且，，.
综上，.…………………………………………………………………13分
30．（本题满分8分）
解：因为与地面所成的角的大小为，垂直于地面，是地面上的直线，
所以.
∵…………………………………………………………2分
∴
……………………………4分
……………6分
当时，达到最大值，
此时点在延长线上，处.……………………………………8分
31．(满分10分，第1小题4分、第2小题6分)
解：（1）方法一（作商比较）：
显然，，
于是.………1分
因为.……………………………2分
又.……3分
所以.
即.…………………………………………4分
方法二（作差比较）：
因为.…………………………………1分
又.……2分
.
即.………………………………………………………………4分
（2）结论①正确，因..
.………………………………6分
结论②错误，举反例:设.（利用计算器）等………………………………8分（，
，均可）.
结论③正确，由知在区间上是减函数.
所以，又，
所以的值域为.
要使不等式在有解，只要即可.………………………10分
32．(满分12分，第1小题5分、第2小题7分)
解：（1）法1：设点的坐标为，则由题意可知：
，由于，，，…2分
所以，…………………………………………………4分
化简可得：（）……………………………………5分
法2：设点到三边的距离分别为，其中，.所以………4分
于是点的轨迹方程为（）……………………5分
（2）由题意知道，
情况（1）.
直线：，过定点，此时图像如右下：
由平面几何知识可知，直线过三角形的重心，
从而.………………………………………………7分
情况（2）.此时图像如右下：令得，故直线与两边分别相交，设其交点分别为，则直线与三角形两边的两个交点坐标、应该满足方程组：.
因此，、是一元二次方程：的两个根.
即,
由韦达定理得：而小三角形与原三角形面积比为，即.
所以，，亦即.
再代入条件，解得，
从而得到.……………………………………………………………11分
综合上述（1）（2）得：.……………………………………………12分
解法2：由题意知道
情况（1）.
直线的方程为：，过定点，
由平面几何知识可知，直线应该过三角形的重心，
从而.……………………………………………………………………7分
情况（2）.
设直线：分别与边，
边的交点分别为点，
通过解方程组可得：，，又点，
∴=，同样可以推出.
亦即，再代入条件，解得，
从而得到.………………………………………………………11分
综合上述（1）（2）得：.………………………………………12分
解法3：
情况（1）.
直线的方程为：，过定点，
由平面几何知识可知，直线过三角形的重心，
从而.………………………………………………………………………7分
情况（2）.
令，得，故直线与两边分别相交，
设其交点分别为，当不断减小时，为保持小三角形面积总为原来的一半，则也不断减小.
当时，与相似，由面积之比等于相似比的平方.
可知，所以，
综上可知.…………………………………………………………12分
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