学习与探索解题分析：
1．定义集合运算：A⊙B=｛z︳z=xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为多少？
解：当x＝0时，z＝0，当x＝1，y＝2时，z＝6，当x＝1，y＝3时，z＝12，故所有元素之和为18
2．对于任意的两个实数对和，规定：，
当且仅当；运算“”为：
；运算“”为：，设，若，则
解：由得,
所以
3．如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”．已知常数≥0，≥0，给出下列命题：
①若＝＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点
有且仅有1个；
②若＝0，且＋≠0，则“距离坐标”为
（，）的点有且仅有2个；
③若≠0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个．
上述命题中，正确命题的个数是那些？（写出所有的序号）
解：
正确，此点为点；
②正确，注意到为常数，由中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为（或）；
③正确，四个交点为与直线相距为的两条平行线和与直线相距为的两条平行线的交点；
4．为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为什么？
解：由题意得：
则，解密得到的明文为,记函数的最小值是
解：由，故
，其图象如右，
则。
6．对于直角坐标平面内的任意两点A(x,y)、B(x，y)，定义它们之间的一种“距离”：
‖AB‖=︱x－x︱+︱y－y︱.
给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.
其中真命题的个数为那些？（写出所有的序号）
解：①若点C在线段AB上，则
③在中，
>=∴命题①成立，而命题②在中，若则中元素的个数记做，设都为有限集合，给出下列命题：
①的充要条件是；
②的必要条件是；
③的充分条件是；（此处PPT有误）
④的充要条件是；
其中真命题的序号是
解：①(集合A与集合B没有公共元素，正确
②(集合A中的元素都是集合B中的元素，正确
③(集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素，因此A中元素的个数有可能多于B中元素的个数，错误
④(集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，错误
8．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是满足：（1）对任意的都有(2)存在都有则称G关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算：
G＝｛非负整数｝，为整数的加法。
G＝｛偶数｝，为整数的乘法。
G＝｛平面向量｝，为平面向量的加法。
G＝｛二次三项式｝，为多项式的加法。
G＝｛虚数｝，为复数的乘法。
其中G关于运算为“融洽集”的是________。（写出所有“融洽集”的序号）
解：①,满足任意，都有，且令，有，所以①符合要求；
②,若存在，则，矛盾，∴②不符合要求；
③,取，满足要求，∴③符合要求；
④，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所以④不符合要求；
⑤，两个虚数相乘得到的可能是实数，∴⑤不符合要求，
这样关于运算为“融洽集”的有①③。
10．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列4321的逆序数.
（Ⅰ）求a4、a5，并写出an的表达式；
（Ⅱ）令，证明，n=1,2,….
解（Ⅰ）由已知得，
.
（Ⅱ）因为，
所以.
又因为，
所以
=.
综上，.
11．在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.
（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（Ⅱ）若“绝对差数列”中，，数列满足，，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
（Ⅰ）解：,（答案不惟一）
（Ⅱ）解：因为在绝对差数列中,.所以自第20项开始，该数列是,,
即自第20项开始。每三个相邻的项周期地取值3，0，3.所以当时，的极限
不存在.
当时,,所以
12．如图，连结△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连结的△A1B1C1各边中点得到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，这一系列三角形趋向于一个点M，已知A(0,0),B(3,0),C(2,2)，则点M的坐标是.
解：如图，连结的各边中点得到一个新的又连结的各边中点得到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：，，，，这一系列三角形趋向于一个点M。已知则点M的坐标是
13.已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
[解]（1）.……4分
（2），……8分
，
当时，.……12分
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.……14分
研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.……16分
研究的结论可以是：由，
依次类推可得
当时，的取值范围为等.
14.已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数．
（1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；
（2）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数＝＋（是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
解：（1）函数y=x+(x>0)的最小值是2则2=6,∴b=log29.
(2)设0
当y1,函数y=在[,+∞)上是增函数；
当0
又y=是偶函数于是该函数在(－∞,－]上是减函数,在[－,0)上是增函数(3)可以把函数推广为y=(常数a>0),其中n是正整数.
当n是奇数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数,
在(－∞,－]上是增函数,在[－,0)上是减函数当n是偶数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数,
在(－∞,－]上是减函数,在[－,0)上是增函数F(x)=+
=
因此F(x)在[,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数.
所以当x=或x=2时F(x)取得最大值()n+()n；
当x=1时F(x)取得最小值2n+1
1
O
M（，）
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