2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（理科）
考生注意：
1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码
2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.不等式的解集是。
2.若复数（为虚数单位），则。
3.动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为。
4.行列式的值是。
5.圆的圆心到直线l:的距离。
6.随机变量的概率分布率由下图给出：
则随机变量的均值是
7.2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入。
8.对任意不等于1的正数a，函数f(x)=的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标是
9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（AB）==（结果用最简分数表示）
10．在行n列矩阵中，
记位于第行第列的数为。当时，。
11.将直线、（，）x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为，则。
12．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去,将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为
13。如图所示，直线x=2与双曲线的渐近线交于,两点，记，任取双曲线上的点P，若，则a、b满足的一个等式是
14.以集合U=的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
（1）a、b都要选出；
（2）对选出的任意两个子集A和B，必有，那么共有36种不同的选法。
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
15．“”是“”成立的（）
（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.
（C）充分条件.（D）既不充分也不必要条件.
16.直线l的参数方程是，则l的方向向量是可以是（）
(A)(1,2)(B)(2,1)(C)(-2,1)(D)(1,-2)
17.若是方程的解，则属于区间（）
(A)(,1)(B)(,)(C)(,)(D)(0,)
18.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能（）
（A）不能作出这样的三角形（B）作出一个锐角三角形
（C）作出一个直角三角形（D）作出一个钝角三角形
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
19.（本题满分12分）
已知，化简：
=0
20.(本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。
已知数列的前项和为，且，
（1）证明：是等比数列；
（2）求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由。
（2）=n=15取得最小值
21、（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该
最大值（结果精确到0.01平方米）;
（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线与所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）
（1）（0
(2)
22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。
若实数、、满足，则称比远离.
（1）若比1远离0，求的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离；
（3）已知函数的定义域.任取，等于和中远离0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.
23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
已知椭圆的方程为，点P的坐标为（-a，b）.
（1）若直角坐标平面上的点M、A(0,-b)，B(a，0)满足,求点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；
（3）对于椭圆上的点Q（acosθ，bsinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆上存在不同的两个交点、满足,写出求作点、的步骤，并求出使、存在的θ的取值范围.
2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
理科参考答案
一、填空题
1．((4,2)； 2．6(2i； 3．y2(8x； 4．0； 5．3； 6．8.2； 7．S←S(a；8．(0,(2)； 9．； 10．45； 11．1； 12．； 13．4ab(1； 14．36．
二、选择题
15．A； 16．C； 17．C； 18．D．
三、解答题
19．原式(lg(sinx(cosx)(lg(cosx(sinx)(lg(sinx(cosx)2(0．
20．(1)当n(1时，a1((14；当n≥2时，an(Sn(Sn(1((5an(5an(1(1，所以，又a1(1((15≠0，所以数列{an(1}是等比数列；(2)由(1)知：，得，从而(n(N)；解不等式Sn
21．(1)设圆柱形灯笼的母线长为l，则l(1.2(2r(0
22．(1)；(2)对任意两个不相等的正数a、b，有，，因为，所以，即a3(b3比a2b(ab2远离；(3)，性质：1(f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2(f(x)是周期函数，最小正周期，3(函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，k(Z，4(函数f(x)的值域为．
23．(1)；(2)由方程组，消y得方程，因为直线交椭圆于、两点，所以(>0，，设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，则，由方程组，消y得方程(k2(k1)x(p，又因为，所以，故E为CD的中点；(3)求作点P1、P2的步骤：1(求出PQ的中点，2(求出直线OE的斜率，3(由知E为CD的中点，根据(2)可得CD的斜率，4(从而得直线CD的方程：，5(将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，所以，化简得，，又0<(<(，即，所以，故(的取值范围是．
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