例1、已知：如图⊿ABC内接于⊙O，∠A的外角平分线交BC的延长线于D交⊙O于E，
求证：（1）AB·AC=AD·AE（2）AD=BD·CD－AB·AC
证明：（1）
（2）DA·DE=DC·DBDA(DA＋AE)=BC·DB
例2、已知：AE为⊿ABC的外接圆的直径．求证：tgB·tgC=
证明：作AF⊥BC于F，延长交圆于H，连EH
AE是⊙O直径∠H=90°=∠AFB
例3、已知：如图所示四边形ABCD内接于⊙O,AC⊥BDON⊥AB于N
M是CD的中点.求证：（1）EM=ON（2）Tan∠1·Tan∠2=
证明：（1）作直径AF，连BF、FC
（2）
例4、已知：如图，MN是⊙O的直径．DA⊥MN于A交⊙O于C,交ME于B
求证：
证明思路：先证⊿MAB∽⊿DAN
证明:MN是⊙O的直径
例5、如图AB是⊙O的直径，CG⊥AB于G，DF⊥AB于E，DE⊥CO于F，
求证：EF=CG
证明思路：D、E、O、F四点共圆，直径为OD，
例6、如图AC=AB，AB是直径，求证：AF=FD
证明：作DG∥CE
例7、如图⊿ABC是等边三角形内接于⊙O，P是上的一点
求证：（1）PA=PB+PC（2）PA=BC+PB·PC
证明思路：（1）在AP上截取AD=PC证⊿BDP是正⊿
证明：(1)在AP上截取AD=PC,连BP
证明(2)由上可知∶∠BPC=120°由余弦定理可得
BC=PB+PC-2PB·PCcos120°
例8、如图DE是弦BC的中垂线
求证：FD·FO=FA·FB
证明(1)∶
证明(2)∶
⊿DAF∽⊿BOFFD·FO=FA·FB
例9、如图9AB是⊙O直径,C是⊙O上的一点,连AC,过C点作CD⊥AB于D，交弦AF于点G,CF交AB于E.
求证∶AC=AG·AF
证明∶证法(1)∶延长CG交⊙O于H
证法(2)∶连结CB
例10、如图10⊿ABC的边上一点D,满足AB=3AD,点P在⊿ABC的外接圆上,∠ADC=∠C
求证∶(1)PA=AD·AB(2)求的值
证明∶证(1)连结BP
解(2)∶由上题可知
设AD=k则AB=3k
∴AP=AD·AB=3KAP=k
例11、如图11AM、AD是⊿ABC的中线和角平分线,⊿AMD的外接圆交AB于E,
交AC于F.求证∶BE=CF
证明∶
例12、如图12⊿ABC是等边三角形D在外接圆上,延长CD交AB延长线于E,
延长BD交AC延长线于F,求证∶(1)BC=BE·CF
证明∶
例13、如图13AB是⊙O的直径,弦CD交AB于F
求证∶(1)
(2)AC=BC=求∶BE
证明∶(1)
(2)解:∵
∴AB=3
∵CD是∠ACB的平分线∴=
∴∴则BE=
例14、如图14AB=ACBD是AC边上的中线,MD是∠ADB的平分线,
⊙AMD交BD于M,求证∶NB=2AM
证明∶
例15、如图15直角梯形ABCD,∠B=∠C=Rt∠AB=a,BC=b,CD=c,
AD是⊙O的直径.
求证∶tan∠BAE和tan∠BAF是方程ax－bx＋c=0的两根.
证明∶作OM⊥BC于MEM=MF则OM直角梯形ABCD的中位线
∴BM=MC∴BE=CF设CD交⊙O于N
连ANAD是⊙O的直径∴AN⊥CD
∴ABCN是矩形得AN∥BCCN=AB
∵CF·CE=CN·CD
∴CF·CE=AB·CD=ac
∵tan∠BAE=
tan∠BAF=
∴tan∠BAE＋tan∠BAF==
∴tan∠BAE和tan∠BAF是方程ax－bx＋c=0的两根.
郭祥云
2016年5月
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