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机械工程是以图1.1中的四大力学作为基础的一门学科，而作为机械工程师，材料力学是一定会接触的一门科学，所以我的读书笔记将从材料力学开始，和大家一起慢慢来学习我们工程师所要掌握的力学知识。 图1.1 机械工程力学分支 材料力学是以设计出安全可靠的结构所需的基础学问，在有关于机械、建筑甚至于服装设计上都是材料力学的应用对象，同时材料力学也是通向高等力学的最基础学科。 材料力学的目的：制作合理安全可靠的结构！ PART 1：弹性体的力学 这个部分主要让大家回忆下力学的一些基本问题，同时理解力和力矩平衡方程、结构受力变形的基本问题，为之后章节的应力应变等打一个基础。 材料力学和理论力学最大的不同，前者是研究弹性体或者称之为变形体，而后者是研究刚体。我们在初中高中的时候学的力学告诉大家，物体受力可能会发生运动，那是在研究刚体问题，但是到了材料力学的阶段，受力还会发生一件事情就是变形。我们把这种实际在物体和部件表面上的力称之为外力或者载荷。 力是向量，力的三要素为大小、方向、作用点，图1.2中可以简单让大家清楚力的方向作用点不同，物体变形就不完全不一样，这个内容估计绝大多数读者都清楚。
力和力矩平衡方程 多数工程人员对于这个部分还是能够理解的，但是我们还是来用一个如图1.3的典型问题看一下二维状态下的受力模型。 图1.3 二维模型 图1.3中物体受到P1、P2、P3三个力，二维平面肯定存在X、Y两个方向，所以大家首先不要忘记了受力平衡存在于两个方向：
力的平衡在以上两个内容中就完成了，接下来就是力矩平衡，二维状态下力矩平衡只有一个等式，因为力矩是一个平面的量，到了三维状态下就变成了3个方向，这个在后面很快就会说到。 P1、P2、P3相对于支撑位置形成三个力臂，力臂长度分别为L1、L2、L3，同时P1、P2、P3产生的力矩方向在平面内是顺时针方向，那此时为了保证ΣM=0，支撑位置的反力矩自然等于M=-（P1·L1+P2·L2+P3·L3）。 到以上这点，都是之前一些基本问题的回忆，首先要强调，一个结构的平衡同时包含受力平衡和力矩平衡。有人说这些东西很简单我都会，我也相信很多人都会，但是很多人都不会用，在受力分析的时候，不论你是理论计算也好数值仿真也罢，如果说要提取反力或者反力矩，只能在我们的支撑位置，也就是固定的位置，其他地方是没有反力或者反力矩可以提取的，这点请大家千万记住！ 补充说明一个问题：之前我们图1.3是在二维的情况下，所以力的平衡是X和Y方向，力矩平衡是在XY平面上，平衡方程共3个，但是如果到了三维状态，力的平衡就是X、Y和Z三个方向，而力矩的平衡是XY、YZ和XZ三个平面内，所以平衡方程就变成了6个！这个就引发了一个新的有意思的名词，自由度的概念。很多人对这个名词并不陌生，但是却很少有人会去真正理解自由度的概念来源！
受力变形 我和很多机械工程师做设计交流的时候，经常听到很多人问这样一个问题：我要设计一个产品，保证这个产品不发生变形或者我要加载1000N的力这个产品会不会发生变形，所以针对这个问题有必要强调下：任何物体受力之后都会发生变形，只是肉眼可见不可见的问题，比如金属、橡胶、塑料等等，只要受力一定发生变形！ 图1.4 结构的变形 图1.4中是结构最基本的4种变形形式，压缩变形对应的是压缩力，拉伸变形对应的是拉伸力，弯曲变形对应的是弯矩和剪力，扭转变形对应扭矩。 我们首先通过前三个变形来说两种结构件中非常重要的知识点—梁和桁架：
图1.6 梁结构受力 以上两类结构件的区分在我学习材料力学和理论力学初期一直困扰我，所以专门记录下来，我相信也有和我一样困扰很久的人。 相对于轴向拉压，弯曲所产生的变形和略显复杂。我们把图1.6的梁结构放大，如图1.7的状态，在图1.7上有个假象界面，我们把它切开，在切开平面就会出现图1.8的剪力和弯矩：
图1.8 假想界面载荷 接下来我们就针对图1.7进行详细的解释说明，首先我们来看下弯矩的问题：
在梁承受图1.6载荷的过程中，由于力在两端支点形成了力矩，这时候通过假象平面将梁切开后，根据受力平衡，假象切出来的两个小物体各自受力和力矩必须平衡，再结合之前说的力矩平衡方程，假象平面内自然有一对大小相当，方向相反的力矩。
图1.10 剪力图 接下来我们说说图1.8中的剪力问题。 图1.10为剪力图，这里需要说明的是这个矩形代表的是一个非常小的一个区域，我们称之为微元（这个概念数学力的极限法的思想，在力学上运用也非常广泛，以后要说到的流体力学对这个概念就有非常严格的定义），从这个图1.10基本也能够看明白，如果无数个图1.10的微元能够慢慢还原成图4的梁。关于剪力的部分在之后很多内容都会进一步说到，目前只要大家了解这个概念就可以了。 接下来说第四种变形情况：扭转。其实第四种变形情况在我们机械产品中是非常常见的，最典型的结构就是传动轴，在这里在说明下，轴在机械中最主要的作用就是传递扭矩。 在前面的内容我们基本简单了解了压缩、拉伸、弯曲和扭转四种基本的变形形式，以上是第一章节关于物体变形的例子，所以可以这么想其实材料力学就是在研究这四种变形。接下来要补充说明一个非常重要的概念。 材料力学的三大基本假设 连续性假设：组成固体的物质不留空隙的充满了整个体积；线弹性假设：物体内各点处的性质处处相同，分布均匀，微观各向异性，宏观各向同性；小变形假设：物体变形后的几何形状及尺寸的改变与其总尺寸相比是很微小的，可以略去不考虑。 这三个假设是材料力学计算的根本，超出这三大基本假设范围的计算就不属于材料力学研究范畴或者说高于材料力学的研究范畴了。 第一个假设很好理解，简单来说就是我们不考虑材料内部缺陷分布不均的情况，至于第二个我们将在以后章节中进行讲解，我们这里先讲解小变形假设（有限元学习者也同样要注意这个知识的学习）。我们通过图1.11来讲解材料力学关于变形的问题：
图1.11 类似悬臂梁的例子 从图1.11可以看出，铰链底部的扭簧会产生一个抵抗变形的扭矩，这个扭矩为kθ（这个就是扭簧的计算公式，扭转刚度乘以扭转角度，这种都是很简单的数学公式，不要有恐惧心理），那最终我们也知道扭簧的扭矩是等于杆端作用力P产生的力矩，所以得到下式： M=P·Lcosθ=kθ 到了这一步，接下来就是关键问题了，P和θ角的函数关系通过方程式变化变成下式： P=kθ/(Lcosθ) 随着θ的变化，P的数值会发生不断的变化，也就是说，如果图1每转过一个角度，P的大小都在发生改变。但是在θ非常小的情况下，P的载荷值几乎不发生变化，但是当θ到达一定程度时，P的变化速率就会加快，我们可以制作出图1.12的变化曲线，横坐标是θ，纵坐标是P的变化： 大家也可以动手计算下，当θ=5°的时候，P的差别仅为0.4%，而当θ=30°的时候，P的差别就达到了13.4%。我知道很多人看到这里已经晕了，没关系，大家根据自己的水平理解这段内容，接下来我就做一个总结，相信大家都能理解。 其实变形问题就如同这个θ的转角问题，当转角不大的时候，角度对P的影响几乎没有，这个时候我们完全可以忽略转角对P的影响，这种时候我们就称之为小变形问题，所以材料力学假设就是建立在忽略转角的基础之上的。这时候大家就知道，如果变形量过大，仍旧使用材料力学的相关公式去解决变形受力问题，基本上误差会非常大。那相对应的，当转角很大的时候，我们把这种变形叫做大变形问题，这类问题以后有机会我们再去涉及，在这里就不做介绍。 但是这个地方我还要强调一个问题：我们如何界定大变形小变形问题呢？应试教育让我们形成了追求唯一答案的习惯，但是非常不幸，不仅这个问题，很多力学问题的实际工程判定并没有绝对的答案，这些都是由工程师根据实际的误差变动范围来进行判断的，比如有些问题我允许误差在5%范围内变化，但是有些高精度的设计必须在1%的范围内变化，那这种情况下大小变形的界定位置自然是完全不同了。所以如何去独立判定设计结果，还是需要工程师自身的功底，很多时候非项目参与人士一般都无法帮你解决这个问题。 以上是第一章节的内容，主要让大家了解下关于材料力学的一些最基本最浅显的内容。接下来一章我们将学习变形所产生的应力问题。 PART 2 应力 应力概念的学习是非常重要的，个人认为是材料力学最重要的一个概念。
图2.1 受力平衡 在材料力学之前所学的力学，图2.1在受力状态下是保持平衡状态，利用的力学原理也是牛顿运动方程。但是通过第一章节的学习我们清楚的知道，以前的力学是研究刚体的，如果这个静止的物体是橡胶制品，我们通过生活经验都知道，这个物体除了虽然保持静止，但是会被拉长，这个就是我们之前所说的物体拉伸状态。所以材料力学和牛顿运动定律是没有冲突的，受力平衡依然成立，但是考虑了变形的因素。 接下来我们进入正题，我们按照图2.2在利用一个假象平面把物体切成两部分，这时候我们看到在假象平面上必然有两个力N1和N2让各自的物体保持平衡，在材料力学里，这组力称之为“内力”。
图2.2 假象平面 接下来我们简单来看下结构内部各个力的关系：首先因为物体保持静止状态，所以外力两段的P必然是相等的。各自平衡自然有P=N1=N2，所以N1、N2是一对大小相等方向相反的力（千万注意，这组里不是作用力和反作用力的关系！这个不了解有忘记的直接百度。）
图2.3 载荷关系 理解了内力我们这里就能明白物体平衡的问题，在这里我想说一个额外的事，这段话我也写在自己的笔记本上：很多概念就比如我们今天所说的内力，这个概念对我们去理解受力平衡可能一点关系都没有，或者生活上的经验足够让我们对这个东西有模糊的概念，即使不知道在很多时候并不影响我们做设计或者展开工作！这点上我是非常认同的。但是我们很多工程师肯定遇到过这么一种情况，当你想把自己的想法告诉别人或者别人在和你讨论一些问题的时候，由于概念的模糊、思路的不清晰，总是无法准确传递自己的真实想法，所以我个人觉得，很多细节有时候看上去不是重要，可能越起到关键作用，机械设计本来也是一门讲求细节的学问，所以良好的习惯决定了事情的成败，也许内力这个概念真的不重要，我搞了那么久的力学分析也没见得用过这个概念，但是一旦习惯养成了，你的本能就会关注细节，这才是最重要的事。 接下来我们转回正题，我们来说一个大家都知道的概念：压强。
图2.4 压强的表示形式 这个时候我们把图2.4左边公式的力改为内力，公式依然成立，但是这个时候压强P这个概念就变了，就变成了我们今天要说的最重要的概念：应力！
图2.5 应力的表达形式 所以从图2.5可以知道内力产生的压强就叫做应力。那应力到底是做什么的，它的意义才是我们最重要的概念。 首先我们知道材料有一个材料强度的概念，比如屈服强度、断裂强度，这个是材料本身的属性，这些强度都是应力，所以应力是描述结构强度的度量。如果我们在实际设计的产品计算出来的应力值超过了我们的屈服强度，那结构就有失效的风险，如果结构超过了断裂强度，那基本结构没用几次肯定就坏了，在当今的机械设计，为了保证结构能够满足一定的疲劳要求，我们不会简单使用屈服强度或者断裂强度去判定结构，因为这不符合设计理念。这里我们不得不提到一个许用应力的概念，经常有人会问某某材料的许用应力是多少。这句话本身是错误的，那问题在于错在哪里？这里我们就要说说什么是许用应力： 许用应力=材料屈服强度/安全系数 通过上面这个公式我们知道许用应力是和材料屈服强度以及安全系数相关，材料屈服强度是一个恒定值，但是同一种材料加工成不同的产品安全系数是不一样的，所以许用应力自然也就不同。因此许用应力是根据企业实际要求确定的值，而不是材料的本身属性！ 接下来我们来说说应力的分类，这部分的图非常多，很多关键内容只能通过图来表达。大家在看很多力学书籍的时候会看到各种应力的名词，但是不管什么样的应力，它的叫法如何发生改变，最后都分解成图1的两种基本应力：正应力和剪应力。
图2.6 应力的分类 我们首先来了解下正应力，正应力就是垂直于截面的应力分量，用符号σ表示，正应力根据载荷方向的不同又分为拉应力和压应力，如图2.6所示的情况。同时注意图2.7中已经明确标注，压缩应力是有负号的，所以在材料力学当中一定要记住，拉应力为正，压应力为负！（这就是我们常说的拉为正，压为负的概念）。
图2.7 拉应力和压应力 接下来我们来讨论下剪应力，在第1章图1.10中，弯曲变形我们谈到关于剪力的问题，当时只是简单涉及了一点内容，现在我们来仔细说说剪应力的问题，以及涉及到的一些很基础但是非常重要的东西：
图2.8 剪力变形 图2.8中的矩形其实我们称之为单元体，它的边长其实是一个无穷小量，它的思想其实和微积分是完全一致的，所以在这里大家要清楚，用这种类似于微积分思想方法研究力学问题是非常常见的一种手段，以后我们一定也会遇到，如果说到这里大家对这个内容有兴趣，可以自行查阅书籍了解，暂时这个概念对目前的学习不会产生太大的影响。 至于剪切应力的算法完全可以使用应力公式的，如图2.9所示，剪应力符号用τ表示，同时剪应力的方向是平行于假象平面。所以从2.7和2.9的对比可以看出，剪应力和正应力的区别主要是因为载荷P的方向一个是平行于假象面，一个垂直于假象面。这时候我们可能就有这样一个问题，如果载荷既不垂直于假象面又不平行于假象面，那该怎么处理？
图2.9 剪应力公式
图2.10 假象平面角度变化 我们之前讨论的都是图2.10中编号为1的这种垂直切开的平面，但是如果按照编号2或者编号3这样形成了一定的角度，就是我们所提到的不垂直也不平行的情况。
图2.11 截面内力 首先注意，不论你怎么切这个平面，因为受力平衡的关系，截面上的力的大小和方向永远是不会发生改变的，于是根据应力=内力/面积这个公式，随着角度的改变，面积也会发生改变，所以出现了一个很有意思的现象，随着假象平面角度发生变化，应力跟着发生了变化，如图2.11中文字标注为应力的这个箭头。更进一步我们知道，随着角度越大，横截面积越大，应力自然就越小。很多人可能看懂了之前这个东西，但是不明白这个东西有什么实际意义。在目前，我们可能体会不会太深，但是能够表示出来的一点就是，不同的截面其实代表着不同的方向，如果我们在实际复杂模型中因为建立模型的坐标系或者假象截面不一致，同一个名词下的应力值是完全不同的（比如一位工程师在X方向的应力在另外一个工程师那边对应的是Y方向的应力，这些都是有可能的），这点对于我们后面研究各种应力都会有很多直接的影响。
图2.12 应力分解 同时图2.12根据之前所介绍的内容，任何一个应力都能分解成正应力和剪应力两种，且随着角度的改变，两种应力的变化规律如图2.13所示。
图2.13 应力变化规律 在实际工程中，我们其实也经常看到正应力和剪应力，尤其在设计的时候我们经常去评价正应力和剪应力的强度问题。一般的金属材料的正应力和剪应力都有一个上限值，超过了就会出现结构破坏，所以当类似图2.12的应力分解，不论是正应力超出材料极限值或者剪应力超出极限值都是不允许的。这就是应力在工程中比较简单的应用。 补充说明一个重要的事：之前我们所说的应力都是用应力=内力/面积，其实这个等式是一个平均的概念，他所代表的是在该面积内，整个截面所受的平均应力大小。这就和我们实际受力的压强类似，但是我们知道，其实一个物体在这个截面上的应力并不一定是均匀分布，或者说绝大多数情况都是不均匀分布，整个平面的最大应力一定是大于我们所算出来的平均应力值，那这就会有一个问题，如果平均应力不超过我们规定的材料应力值但是实际的最大应力超出了呢？
图2.14 不均匀分布 图2.14中这个应力分布由于P的位置不在结构的轴线上，因此产生了应力分布不均的状态，这种结构如何计算？首先大家不用担心，这种问题在实际的产品设计标准中一定是有经验系数或者经验公式去对应的，以防一些极端问题的出现，对于我们来说我们套用现成的公式就可以了，不需要去自己想办法再计算，这也从另一个侧面说明了很多经验公式设计公式其实是在理论的基础之上增加一些经验系数，而且我认为多数有效的经验都已经变成了标准，所以增加经验的一种很有效的方法就是看标准。 到这里第二章的内容就全部完成，我们基本了解了应力的基本分类和基本公式。接下来的章节将是真正的重点和难点。
PRAT 3 变形和应变 之前的笔记都在说应力的问题，但是应力其实不是用来描述材料变形程度的度量，我举个例子，我有两根尺寸完全相同的圆柱体，但是一根是橡胶材质，一根是合金钢材质，毫无疑问，橡胶材质可以变形更大，但是橡胶材质的应力肯定不可能超过合金钢材质。因此应力其实和变形程度的大小没有必然的联系！为了描述变形程度大小的问题，我们提出一个新的概念：应变。 应变描述的是一个物体变形程度，但是它不同于变形这个概念。我还是举一个例子来说明：两个金属棒，一根10mm长，一根20mm长。10mm的受力伸长1mm，20mm的受力伸长1.5mm，此时绝对变形量（也就是我们常说的变形的概念）肯定是后者1.5mm的更加大一点，但是应变却不一样了，应变是一个相对的概念：
图3.1 应变计算公式 图3.1为应变的计算公式，根据这个公式10mm金属棒的平均应变是10%，而20mm金属棒的平均应变是7.5%。这样我们就能比较不同形状物体变形程度的问题。这时候大家也要注意一个事，应变计算的分子分母单位相同，所以最终出来的应变是一个无单位的量，也就是我们说的无量纲量。
图3.2 应变分类 应变的分类是和应力完全一模一样，在之后的材料关系中我们会进一步说到应力和应变的关系。接下来我们先强调下应力和应变的一个概念性问题：应力描述的是结构的强度，即结构抵抗破坏的能力，而应变描述的是结构的刚度，即抵抗变形的能力，这两者是完全不一样的。 在我们实际的结构设计中，这两者都是我们关注的重点。但是非常不幸的是，我们多数工程师在设计的时候基本只考虑强度问题，却很少去关注刚度问题。其实刚度问题在我们身边的设计中经常遇到，很多时候我们在设计产品的时候考虑刚度问题要高于强度问题，比如传动精度问题，定位精度问题，加工机床这些都是刚度设计的典型，这时候其实由于刚度要求高，所以材料在强度设计上一般都是过剩。所以我们在机械设计当中其实考虑强度还是考虑刚度是有一个优先的问题。我经常会翻查一些产品的设计标准，尤其钢结构你会发现他们在设计的时候很多时候是用刚度计算来做设计的主要原则。
图3.3 金属棒的变形 接下来我们继续回到金属棒的变形上来，根据我们的生活经验知道，金属棒被拉长必然会变细，因此它的应变存在于两个方向，一个是轴向，一个是径向，如图3.4的纵向应变和横向应变，至于应变计算公式完全可以套用图3.1的公式得到，这时候一个重要的材料力学中的概念就出现了：泊松比，是指材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向正应变的绝对值的比值，泊松比是反映材料横向变形的弹性常数，一般用字母ν表示，所以根据泊松比的概念描述，它也是一个没有量纲的量。
泊松比也是材料的一个基本参数，和材料的大小和形状无关，泊松比有以下几个基本的特点：
我们机械行业最常用的材料就是金属和橡胶，偶尔还有塑料产品，塑料这种人工制品根据实际工程应用要求的不同，基本上所有的参数都有很大的变化，没法用经验性的语言描述，只能在实际遇到的过程中想办法测试查找参数。 这里稍微补充说明下剪应变的计算方法，图3.5已经是非常熟悉的一张图了，从剪力到剪应力到现在的剪应变，都是这张图，我们来看看剪应变是怎么计算的。我们规定剪应变γ= AA′/ AB，细心的会发现，其实AA′/ AB=tgθ，这个时候有个非常重要的计算变形，很多工程师在这里肯定已经忘记，在前几章节我们讲到过小变形问题，材料力学都是基于小变形假设这个问题，所以虽然图形表现夸张了一点，但是我们始终是小变形模型，所以当θ很小的时候，在高数中是可以推导出tgθ≈θ，所以最终剪应变γ=θ。
图3.5 剪应变 到这里我们以上的关于应力应变的基本概念问题全部都讲解完成，我们在这里稍微重新对之前的问题整理一下： 力的基本分类：拉压、剪切、扭转和弯曲； 应力分类：正应力（σ）和剪切应力（τ），正应力就是拉压所产生的应力； 应变分类：正应变（ε）和剪切应变（γ），正应变就是拉压所产生的应变。 以上的4个字母非常重要，基本上所有和力学相关的教材或者标准上出现这4个字母基本就代表这四个概念，所以以后工程师看到这四个字母千万不要有恐惧的不良反应，其实就代表这四个概念。这时候我们很多工程师肯定也会有疑问，力的基本分类里面的扭转和弯曲问题呢？所以接下来就让大家看下扭转也好，弯曲也好变形的本质到底是什么。
扭转变形和剪应变的关系：
图3.6 扭转示意图 假设扭矩MT作用于圆杆，圆杆发生了扭转变形（一般力学中M代表的都是扭矩）。从图中可以看出原本AB和CD这两个虚线段，因为MT的扭转发生了偏移，变成了AB′和CD′，，同样在圆面上形成了一个角度∠BO B′，这个角度就是扭转角。
图3.7 扭转简化图 图3.7就是通过图3.6转化过来的简化图，从这张图上可以马上看出，这张图就是图1剪应变的示意图么，于是∠DC D′（∠BAB′）就是剪应变的角度。接下来在讲解新的内容前要说明一个问题，图3.6和图3.7中以B′D′这条线段为例，在图3.6中是一条圆弧，在图3.7中是平行四边形的一条边，注意，在这两张图中，两条线段的长度是相等的，也就是弧长等于这条直线段！于是很多人就想不明白，我们工程师最擅长的就是看各种视图，这种视图怎么转变过来尺寸都是会变化的，为什么这里是相等的。很简单，这个内容其实在之前的读书笔记当中已经说到过，材料力学研究的是小变形，虽然你看到的这些东西肉眼看起来都很大，实际上都是非常微小的尺寸，在很小的一段圆弧上，我们是可以近似认为直线和圆弧相等。于是就有了接下来的推导内容：
图3.8 扭转的计算推导1 图3.8中可以直接得到线段DD′的长度是等于rφ（φ代表弧度，圆弧的计算就是弧度乘以半径），那再将这个结果放到图3.5中进行剪应变的计算就会得到：
图3.9 扭转的计算推导2 于是马上可以得出，剪应变γ=rφ/L，通过这个公式大家可以看出，在圆心处，半径r=0，所以剪应变也为0，随着半径的增大，剪应变慢慢增加，这个就是剪应变在圆柱扭转问题上的一个基本应用，所以通过这段的解释说明，我们知道一个受扭转为主的结构体，剪应变（剪应力）是一个非常重要的关注量，因为他的失效很可能就是由剪应变（剪应力）所产生。
弯曲变形和正应变的关系：
图3.10 弯曲示意图 图3.10所示，假设弯矩MB作用于长为L，直径为D的圆杆，圆杆发生弯曲从ABCD变为A′B′C′D′。
图3.11 弯曲变形示意图 将图3.10的A′B′C′D′局部选取一个位置进行放大，如图3.11所示。圆杆的上部分伸长，下部分缩短！也就是图1中AC伸长为A′C′，BD缩短为B′D′。
这个时候我们仔细思考，从伸长的A′C′到缩短的B′D′，这个过程中中间必然有一层面长度是不发生变化的，这层面叫做中性面（也有书上叫做中立面），如图3.12中的MN变为圆弧M′N′长度未发生变化。注意这个面未必处于AB的中点！中性面在很多地方会频繁使用。弯曲最重要的应用之一就是钣金折弯，钣金折弯就有中性面位置的设置问题，K因子就是中性面位置的相关系数。所以钣金折弯其实是材料力学中弯曲的应用问题。所以要搞清楚钣金折弯问题，不仅仅是经验，材料力学弯曲的计算问题也是很重要的。
图3.13 应变计算 接下来我们来看看让人头痛但是比较重要的计算，通过图3.13我们基本上知道这个计算就是弧长=半径×弧度来表示圆弧，于是图3.13中假设有一个位置的圆弧E′F′=（R+y）θ，中性面的长度M′N′=Rθ，如图3.14所示.
图3.14 变形前后尺寸变化量 同时回忆下应变的计算公式，应变=长度变化量/原始长度，所以： 应变ε=（E′F′- M′N′）/M′N′=[(R+y)θ- Rθ]/ Rθ=y/R 上式就是完全变形的计算公式。到这里我们最基本的应力和应变问题都已经全部说完，仔细回忆之前的内容其实我们都在反复说拉压变形问题和剪切问题，其实材料力学最基础的问题就是这两个问题，之后所有的变形都是这两种变形问题的组合而已。
PRAT 4 材料的强度和力学性能 其实这个问题已经在之前的笔记中有提起过，这里我们将进一步进行讲解。我们首先回忆下之前说的强度和刚度的问题，强度是材料抵抗破坏的能力，即应力问题；而刚度是材料抵抗变形的能力，即应变问题。我们再想想弹簧的胡克定律，力=变形量×弹簧刚度，于是结合之前所说的内容，我们得到下面这张图：
图4.1 基本对应关系 所以弹簧中所讲的胡克定律只是最基本的应用，真正的胡克定律是描述应力和应变关系的定律。这时候我们再回想之前所讲的正应力和正应变，剪应力和剪应变，和胡克定律的结合我们分别能够分别得到两种应力关系和应变关系的等式： 正应力σ=杨氏模量E×正应变ε 剪应力τ=剪切模量G×剪应变γ 上两个式子就是应力应变关系式，这里我们出现了两个新的名词杨氏模量和剪切模量。我们首先解释下。 应力和应变的关系我们可以统一写成应力=弹性模量×应变，这个弹性模量是一类统称，当应力应变是剪的时候我们就成为剪切模量，当为正应力应变的时候就是杨氏模量，还有其他如体积模量、弯曲模量等等很多。因为杨氏模量是弹性模量中应用最为广泛的一种，所以 在实际使用经常将弹性模量等同于杨氏模量，但是我们一定要清楚这两者是有范围上的区别的。模量代表的就是材料的刚度，模量越大的材料抵抗变形的能力就越强，比如橡胶的弹性模量就很小，而合金钢的弹性模量就很大，所以相同的力，橡胶的变形就会远远大于合金钢。接下来我们就具体说说杨氏模量。 我们知道平时我们对材料做的最多的实验就是试棒拉伸实验，几乎所有工程师在学校里就做过这个实验，这个实验做出来的弹性模量就是杨氏模量。这个实验的实验方法我们这里就不展开讲解了，相关信息可以参考国家标准GB／T228.1-2010。
图4.2拉伸实验的示意图 通过这个实验，我们可以得到一张非常重要的材料拉伸性能曲线图：
图4.3 材料拉伸曲线 图4.3中横坐标为应变，纵坐标为应力，A点到B点这个阶段我们称之为弹性区，这个阶段满足我们之前所说的胡克定律，这个B点之后到D点破坏的阶段，我们称之为塑性区，这个阶段胡克定律就失效了。同时注意，AB段的斜率就是我们所说的杨氏模量。对于这个问题我们用一个很形象的例子说明：弹簧。我们知道弹簧在一定伸长范围内，如果我们把力撤除，弹簧就会恢复原始的样子，但是如果我一旦力过大，弹簧就回不去了。这两者的区别就在于弹簧的弹性区域和塑性区域。当材料在弹性区域内变形，力撤除后会恢复原始形状，在塑性区域内变形，力撤除后不会恢复原始形状。所以很多时候我们在设计产品的时候，是不允许结构的应力到达塑性区，也就是图中的B点屈服应力，就是这个原因。但是塑性在生产阶段的运用还是非常广泛的，比如钣金件的折弯，就是必须让材料达到塑性阶段，像车身机箱外壳这些产品就是这方面的应用。 根据需要再回忆下之前说的许用应力的设计问题，其实对于我们工程师来说，图4.3中屈服之后的材料段基本上是不研究的，材料力学也是不研究这个阶段，这个阶段根据需要会在弹塑性力学当中学习，只是本人认为这个方向我们工程师也没有去了解必要。
第五章应力计算 这个部分是整个材料力学最难也是最需要注意的地方，但是对于我们工程师来说很多时候掌握了前面的部分之后，依据现在强大的工具手册和电脑软件很多工作尤其是复杂的计算问题让电脑代替也不失为一种好的选择，所以我接下来的笔记中也不会整理非常复杂的计算内容，关键是几个典型的结构以及必要的概念要和大家介绍。
图5.1 杆件的拉伸 我们首先回忆下，杆件的拉伸正应力和正应变的计算方法： 正应力σ=P/s=P/πr2 正应变ε=λ/L 等式中的λ为杆件的实际伸长量同时在之前的章节中我们也知道正应力和正应变的关系： 正应力σ=杨氏模量E×正应变ε 在实际的设计当中，材料的实际屈服应力将是正应力的衡量指标，也就是说一旦材料定了，σ就是唯一确定的量，而这三个式子中一般只有r和λ是我们需要求得的量。所以我们将材料屈服强度的具体数值，以及结构设计的载荷得到，我们就能得到图5.1杆件圆截面半径r的具体值，此时我们再把这些数值都放进正应力σ=杨氏模量E×正应变ε这个等式中，我们就能很快求出λ这个数值。 我以一个例子给大家说明下：以图5.1的产品形状，假设我们使用的材料是Q235，杨氏模量为200000Mpa，产品安全系数为1.2，设计的长度为1m，（1）在10000N的载荷下材料安全；（2）在10000N的载荷情况下保证结构的变形量小于0.5mm 实际最基本的设计要求无非就是保证以下两个问题：（1）强度安全或者（2）刚度安全，所以如果是（1），那只要借用第一个公式来进行计算即可： 235/1.2=10000/πr2，得到r=4mm 但是如果是按照（2）的要求，那这时候我们必须用变形要求去反推r的值，同时还要验证这个时候的r应力是否满足强度的要求： 根据ε=λ/L，得到ε=0.0005；σ= E×ε，得到σ=100 Mpa，小于安全系数下的195 Mpa，所以强度符合要求。于是此时的σ=P/s=P/πr2，得到r=5.65mm，这里实际计算四舍五入应该是5.64mm，但是我个人认为在这个时候的设计四舍五入这个应该不符合设计要求，必须都是往前进，因为如果舍去之后实际的安全系数变成了1.19-1.2之间的一个值，这样其实安全系数是变小，所以实际设计考虑本人都是只要有尾数，无论多少，都是入的。 这是一个最基本的例子，这时候很多人在实际设计当中会说，标准要求安全系数1.2，那我放到1.3或者1.4等等，这个现象在我们的实际设计中非常普遍。这件事我有必要说明，其实安全系数1.2这个值理论上是考虑了当前社会的平均材料生产水平、加工水平、制造水平以及该产品的安装水平制定出来的一个数值，在不同的时期，这个数值肯定会有一定的变化，所以理论上标准制定的这个安全系数已经把这些问题都考虑了。但是中国国内的大多数标准的制定并不是按照我们自身的实际情况来做的，很多标准都是直接翻译欧美等西方国家的标准，所以这时候出现一个问题，欧美等国的制造业水平远远高于我们，所以他们的安全系数未必适合我们国家的实际国情，这就会对我们设计人员造成很大的影响。所以很多时候我们会根据实际的经验再去适当调整标准的安全系数。
图5.2 内力分布不均匀 之前说的是最简单的情况，实际由于结构形状的复杂，往往在一个截面上的受力都会按照图5.2这样不均匀分布，那势必造成局部应力比较大的情况，这个时候，虽然平均应力是满足安全系数要求，但是不能保证局部应力也保证要求。这时候如果是要通过理论推导一点点计算那就复杂了，然而事实上根本不需要，前辈们早就把产品理论计算的经验系数统计出来并写在计算公式里，你只要按照相关的工程要求乘以一个安全系数就完全不用担心应力有什么问题，所以其实我觉得太复杂的力学计算练习题没时间的工程师也不需要去学习，了解了基础能看懂标准上的计算公式就够了。之前是最简单的应力应变计算问题，接下来我们针对扭转和弯曲来说明应力计算问题。
杆件的扭转问题 之前在应变问题的分析的时候我们知道，扭转所产生的应变其实就是剪应变，所以当杆件发生扭转变形的时候，在截面上所产生的扭转应力即为剪应力（扭转应力的本质实为剪应力）。
图5.3 扭转变形 我们首先通过图5.3从剪应力τ=剪切模量G×剪应变γ和γ= rφ/L这两个公式出发来考察下剪应力计算公式： 剪应力τ= Grφ/L 通过计算公式我们看出，随着r的增加，扭转应力越大，即扭转应力随着距离圆心越远，应力越大，应力分布如图5.4所示。
图5.4 扭转应力分布 但是这个公式里面还有一个问题就是φ角的计算，实际设计中，我们不可能直接知道φ角的大小，而是知道图5.3中MT的大小，所以如何通过MT计算出结构的应力大小才是关键。所以接下来我们就一步一步推导MT和τ的关系：
图5.5 微元受到的力 非常不幸，我们这里将不得不面对微积分问题，所以我会用最简单的术语去描述。微元的概念在之前已经提到过，这里就不再重复，我们直接使用。微元的面积为dA，所以任意微元圆面上的载荷dF=τdA，因为τ= Grφ/L，所以dF= Grφ/LdA，此时的力矩就为rdF，如图5.6所示，同时φ/L我们引进一个新的名词：扭转率用ω表示，所以等式最终变为： rdF= Gr2ωdA 接下来我们将用积分将整个截面的微力矩相加。
图5.6 微力矩
图5.7的积分就是截面A的扭矩积分公式，由于Gω和面积A的函数是无关的量，所以可以提取出来：
图5.8 最终推导的计算公式 如果到这一步你突然觉得之前所有的一切都没有看懂，没关系！之前所说的都是整个扭转应力的推导问题，只要理解其大致的含义即可，不需要完全记住，作为工程师，你只要记住下面三件事情：
同样的，在弯曲的推导过程中一样会出现一个类似的参数和等式： σ= MB y/ I 具体的推导过程为了不让大家感到厌烦，就不再叙述。但是同样的，首先弯曲应力通过之前章节的弯曲变形我们知道，弯曲问题其实就是拉压问题的衍生，所计算出的应力和应变均为正应力正应变；其次I为截面惯性矩，各种截面形状的I值被收录在各种工具手册和标准手册里，工程师通过查表套用计算公式即可。
图5.9 弯曲应力和扭转应力公式对比 将这两个公式放在一起对比就能看出，其实两种应力的最终计算形式是完全一致！所以发现这些规律会非常方便大家记住这些计算公式。强调下截面惯性矩和极惯性矩的最大区别，大家在之后的学习中自己注意。截面惯性矩是针对一个中性面的计算，用于弯曲计算；而截面极惯性矩是根据某一中心点的计算，在扭转问题中使用。所以我们工程师在这个概念原则上是要牢牢记住的，但是目前由于网络资源的发达，很多知识并不一定要记在脑子里，只需要在印象中知道有这么两个东西以及他们的区别，实际应用的时候借助网络重新巩固也是很好的一种方法。
总结 这份读书笔记并不能代替材料力学的系统学习，但是能够帮助学习者更具体地去理解材料力学的实际意义，在学习材料力学之前能有一个形象的认识和理解，这样再去看我们目前市面上比较生涩的教材会很有帮助。这份笔记中还有像摩尔圆问题、主应力计算问题、力矩图这些比较难的问题都没有涉及到，还是需要学习者去翻开书本进一步学习。
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