联盟荐文|平行线中正三角形展开

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本文从一道自招填空题的拓展延伸，逐渐展开，将一个问题慢慢拓展，大家可以感受到数学的精妙与神奇。非常感谢yyl老师的点拨与指导。

问题的提出

这是交大附中若干年前的一道自招题：

分析

这道题分两种情况：

看到第二种情况，我们想到了1988年上海市初中数学竞赛的一道填空题：

拓展一

分析

我们先来看大多数同学的思路：代数法列方程

这个方程解一下还是有点计算量的，那有没有其他方法呢？当然有！

我们将距离改为a和b，然后用几何旋转法试试：

拓展二

分析

几何方法，计算量几乎可以忽略！

再看看这类题的变种：

拓展二变式

分析

还有别的类似的题型吗？有的。

拓展三

分析

如图：

加的形式搞定，减的形式呢，会不会是圆心在三角形外部呢？

如图：

这种情况教给大家试试吧！

拓展二的变式与拓展三的方法如此接近，会否有什么联系？我们来研究一下看看！

想象一下：拓展三中的同心圆的圆心如果无穷远，三个同心圆变为三条平行线。不就成了拓展二变式的形式了吗？

我们可以通过计算来证实这一观点：

学过极限的朋友可以将运算过程写写，证明一下！

如果三角形是一般三角形呢？各个量之间又会有什么关系？

一般情况

这个公式可由之前拓展一的代数方法证明，大家可以动手试试。

几种特殊情况

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