这是一道初中数学复习教学的极好题型,内容有浅有深，有数形结合各种变化。说明∶其中许多变化与另文【一道价值很高的平几题】有关，在此不再细述，请另查看。
已知∶如图锐角三角形ABC的三条高AD、CE、BF交于H
M、N、P是三边的中点，O是外心，∠ABC=60°∶(1)DE=
证明(1)有多种方法，作如下简证方法1、连MN
方法2、⊿BDE∽⊿BAC
方法3、⊿EHD∽⊿AHCDE=
方法4、∠EDP=∠EDA＋∠=∠ADF＋∠=∠ADF＋∠=60°EP=DP∴⊿PED是正三角形DE=DP=
方法5、∠BAD=30°AC是⊿EAD外接圆的直径
由正弦定理∶DE=
(2)DE=MN(见方法1)
(3)BH=BO(如附图3BD=AB=BN∠OBN=∠OAN=∠DAC=∠FBCRt⊿BON≌Rt⊿BOHBH=BO)
(4)(如附图3先证:□BGCHOP==BH)
(5)BO⊥ED(如附图4EBDH共圆∠BED=∠BHD
∠NBO=∠HBD∠BKE=∠BDHBKE)
(6)AD平分∠EDF(垂足三角形性质)
(7)HD·HA=HE·HC(AEDC共圆)
(8)PD是⊿BDE外接圆切线(∠EDP=∠ABC见方法4)
(9)四边形MPND是等腰梯形(MN==PDNP∥MD)
(10)BH·BF＋CH·CE=BC(BH·BF=BD·BCCH·CE=CB·DC相加即得)
(11)∠NPD=∠ACB(均等于∠PDC)
(12)BD·DC=ED·DF(⊿EDC∽⊿BDF)
(13)⊿BDE和⊿ABC间切圆半径之比为定值()
(14)⊿AHC和⊿ABC)
(15)设BE交BF于G则EF·GD=GE·DF(由6知HD是∠GDF平分线)
(16)若AD=BC则HM＋HD=MC(如下附图6)
⊿BDH∽⊿ADC
=
HM＋HD=MC
(17)若AC为定边,求垂心H的轨迹
(以AC为边,所含圆周角为120°的两段弧,除A、C两点)
(18)若AC为定边,求内心I的轨迹
(以AC为边,所含圆周角为120°的两段弧,除A、C两点)
(19)设BA=2，BC=,求①AC的长②∠C的度数
①
∴AC=
②∵∴∠C=60°
(20)⊿BDE和⊿ABC的外接圆面积之比为1∶4
(21)若AB＋AC=4问AB何值时,⊿ABC的面积最大?
故当AB=4时,⊿ABC的面积最大。
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