８．2（2）向量的数量积（2）
一、教学目标设计
1．深刻领会向量的数量积的概念和运算性质、向量的夹角公式及其内涵、两向量垂直的充要条件；
2．掌握求向量的长度、求两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法；
3．初步运用向量的方法解决一些简单的几何问题，领略向量的数量积的数学价值；
4．通过对问题的分析研究，体会数学思考的过程．
二、教学重点及难点
重点：向量的数量积的运算性质、向量的夹角公式、向量垂直的条件及其应用；
难点：向量的夹角公式的应用.三、教学用具准备
直尺，投影仪
四、教学过程设计
一．情景引入：
1．复习回顾
(1)两个非零向量的夹角的概念：
对于两个非零向量，如果以为起点，作，那么射线的夹角叫做向量与向量的夹角，其中．
(2)平面向量数量积（内积）的定义：
如果两个非零向量的夹角为（），那么我们把叫做向量与向量的数量积，记做，即．并规定与任何向量的数量积为0．
(3)“投影”的概念：
定义：叫做向量在方向上的投影．
投影也是一个数量，不是向量；当(为锐角时投影为正值；当(为钝角时投影为负值；当(为直角时投影为0；当(=0(时投影为；当(=180(时投影为．
(4)向量的数量积的几何意义：
数量积等于的长度与在方向上投影|的乘积．
(5)向量的数量积的运算性质：
对于，有
（1）当且仅当时，＝
（2）
（3）
（4）
２．分析思考：
(1)类比实数的运算性质，向量的数量积结合律是否成立？
学生通过讨论，回答：一般不成立
(2)如果一个物体在大小为２牛顿的力的作用下所做的功的方向与运动方向的夹角是否为？
分析：设该物体在力的作用下产生位移，所做的功，的夹角为，则由知
二．学习新课:
1.向量的夹角公式:
在学习了向量数量积的定义之后，我们很容易推导出两个非零向量的夹角满足
因此,当时,,反之,当时,.考虑到可与任何向量垂直,所以可得：
两个向量垂直的充要条件是．
２.例题分析
例1：化简:．(课本P66例2)
解:
=
=
=
例2:已知,且与的夹角为,求．(课本P66例3)
解:
所以
例3：已知,垂直,求的值．(课本P66例4)
解：因为垂直，所以
化简得
即
由已知，可得
解得．
所以，当时，垂直．
例4：已知、都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角．
解：由①
②
两式相减：
代入①或②得：
设、的夹角为(，则
∴(=60(
３.问题拓展
例5．利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角．
证明：设AB是⊙O直径，半径为r
设,则;,则
则
，即∠ACB是直角．
三．巩固练习
1已知,(1)若∥,求；
(2)若与的夹角为60°，求；
(3)若与垂直，求与的夹角．
2已知,向量与的位置关系为（）
A．平行B．垂直C．夹角为D．不平行也不垂直
3已知,与之间的夹角为，则向量的模为（）
A．2B．2C．6D．12
4已知与是非零向量，则是与垂直的（）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
四．课堂小结
1．向量的数量积及其运算性质；
２．两向量的夹角公式；
３．两个向量垂直的充要条件；
4．求向量的模、两个向量的夹角、判断两个向量垂直的技能和方法．
五．作业布置
练习8.2(1)P67T2、T3、T4；P35T3、T4
思考题
1已知向量与的夹角为，,则|+|·|-|=．
2已知+=2-8,-=-8+16,其中、是直角坐标系中轴、轴正方向上的单位向量，那么=．
3已知⊥、与、的夹角均为60°，且则＝______．
4对于两个非零向量与，求使最小时的t值，并求此时与的夹角．
5求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和
教学设计说明及反思
本节课是在上节课学习了向量的数量积的概念、向量的数量积的运算性质之后．再一次抛出物理模型问题，学生通过交流、分析．讨论，解决问题．进一步推而广之，由数量积的定义，通过变形十分容易的导出向量的夹角公式．并推出了两向量垂直的充要条件．之后，通过例题分析，学生体验了运用向量的数量积的定义和运算性质求向量的模、向量的夹角、以及研究一些简单几何问题的过程．学生获取了知识、掌握了方法、提高了技能、训练了能力．
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