2016年上海市普通高等学校秋季招生考试押题卷一.填空题(本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则
一律得零分.1、已知，且为的共轭复数，若(是虚数单位)，则=．2、在中，已知，则角的大小为.3、已知两条直线：，：．若的一个法
向量恰为的一个方向向量，则．4、已知集合，函数的定义域为集合，则=.5、某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学
生成绩如下：成绩人数401150602213708090则总体标准差的点估计值是.（精确到）6、若函数图像与函数的图像关
于直线对称，则＿＿＿＿＿＿＿＿.7、若，其中都是实数，是虚数单位，则=.8、（理）的二项展开式中，常数项的值是.（文）已知变量
满足约束条件，且目标函数的最小值是.AA1BACAC1B1第10题9、已知数列是公差为2的等差数列，则=．10、如图：已知三
棱柱的侧棱与底面边长都相等，过顶点作底面的垂线，若垂足为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为.11、5名学生报名参加两项社会实
践活动，每个学生都要报名且只报一项，那么每项活动都至少有两名学生报名的概率为___________.（结果用最简分数表示）12、考
察下列一组不等式：将上述不等式在左右两端视为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为．13
、在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截
线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论
是.14、若函数（）满足，且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为_______.选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，
每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中.每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是
否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.15、圆与圆的位置关系是()(A)相交(B)相离(
C)内切(D)外切16、已知无穷等比数列的前项和为，各项的和为，且，则其首项的取值范围是()(A)(B)
(C)(D)17、在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图像上有且仅有个整点，则称函数为阶整点函
数．有下列函数：①；②；③；④，其中是一阶整点函数的个数为（）（A）（B）（C）（D）18、已知正方形的面积为，平
行于轴，顶点、和分别在函数、和（其中）的图像上，则实数的值为()(A)(B)(C)(D)三、解答题：（本大题
共有5道题，满分78分），解答下列各题必须写出必要的步骤．19、（本题满分14分）(理)将边长为1的正三角形按如图所示的方式放置，
其中顶点与坐标原点重合.记边所在直线的倾斜角为，已知.（Ⅰ）试用表示的坐标（要求将结果化简为形如的形式）；（Ⅱ）定义：对于直角坐
标平面内的任意两点、，称为、两点间的“taxi距离”，并用符号表示.试求的最大值.（文）已知向量，，函数.(Ⅰ)求函数的最小正周
期；(Ⅱ)已知，，分别为内角，，的对边，其中为锐角，，，且，求，和的面积.20、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题7分，第2
小题7分如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，且．若点、分别在棱、上，且，，求证：平面；若点在线段上，且三棱锥的体积为，试
求线段的长．21.（本题满分16分）本题共2小题，第1小题8分，第2小题8分(理)已知是偶函数，当时，，当时，恒成立.（Ⅰ）若
,求的最小值;（Ⅱ）求的最小值；（Ⅲ）当时，是否存在，使得不等式对任意恒成立？若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由.
（文）已知函数.（1）当时，求函数的值域；（2）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.22、（本题满分16分）本题共3小题
，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分。设正数数列的前项和为，且对任意的，是和的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）在
集合，，且中，是否存在正整数，使得不等式对一切满足的正整数都成立？若存在，则这样的正整数共有多少个？并求出满足条件的最小正整数的值
；若不存在，请说明理由；（3）请构造一个与数列有关的数列，使得存在，并求出这个极限值．23、（本题满分18分）本题共3小题，第1小
题4分，第2小题6分，第3小题8分(理)已知等轴双曲线的两个焦点、在直线上，线段的中点是坐标原点，且双曲线经过点．若已知下列所给的
三个方程中有一个是等轴双曲线的方程：①；②；③．请确定哪个是等轴双曲线的方程，并求出此双曲线的实轴长；现要在等轴双曲线上选一处建一
座码头，向、两地转运货物．经测算，从到、从到修建公路的费用都是每单位长度万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？
如图，函数的图像也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分）（文）
已知椭圆的两个焦点分别为，，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点,设点，记
直线，的斜率分别为，，求证：为定值.参考答案1．2．3．34.5．6．7．8．9．110．
11．12、13、;14、C16、17、B18、19、略20、【解】（1）以点为坐标原点，为轴
正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系．……1分则，，，，，因为，，所以，，……3分则，，．……5分，，即垂直于平面中两条相
交直线，所以平面．……7分（2），可设，所以向量的坐标为，……8分平面的法向量为．点到平面的距离．……10分中，，，，所
以．……12分三棱锥的体积，所以．……13分此时向量的坐标为，，即线段的长为．……14分21、(理)（1）,在区间上
单调递增，即，所以，当时，因为函数为偶函数，所以当时，（2）若，则，所以函数在区间上单调递减，即所以，当时，，因为函数为偶函数
，所以当时，若，即，在区间上单调递增，即，所以，当时，因为若，即，当时，，所以若，即，当时，，所以综上所述，因为函数为偶函数，所以
当时，（3）当时，，．由（2）知，由，在上是减函数，故在上是减函数要使，只要即①设，则函数在上的最大值为．要使①式恒成立，
必须，即或．所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．（文）解：（1）…………………2分因为，所以，…………………4分故函数的值域
为…………………6分（2）由得令，因为，所以所以对一切的恒成立…………………8分当时，；…………………9分当时，恒成立，即………
…………11分因为，当且仅当，即时取等号…………………12分所以的最小值为…………………13分综上，…………………14分22、解
：（1）由题意得，①，当时，，解得，……（1分）当时，有②，①式减去②式得，于是，，，……（2分）因为，所以，所以数列是首
项为，公差为的等差数列，……（3分）所以的通项公式为（）．……（4分）（2）设存在满足条件的正整数，则，，，……（6分）又，，…，
，，，…，，所以，，…，均满足条件，它们组成首项为，公差为的等差数列．……（8分）设共有个满足条件的正整数，则，解得．……（10分
）所以，中满足条件的正整数存在，共有个，的最小值为．……（12分）（3）设，即，……（15分），则，其极限存在，且．……（18分）
注：（为非零常数），（为非零常数），（为非零常数，）等都能使存在．23、【解】（1）双曲线的焦点在轴上，所以①不是双曲线的方程……
1分双曲线不经过点，所以②不是双曲线的方程……2分所以③是等轴双曲线的方程……3分等轴双曲线的焦点、在直线上，所以双曲
线的顶点也在直线上，……4分联立方程，解得双曲线的两顶点坐标为，，所以双曲线的实轴长为……5分所求问题即为：在双曲线求一点
，使最小．首先，点应该选择在等轴双曲线的中第一象限的那一支上……6分等轴双曲线的的长轴长为，所以其焦距为又因为双曲线的两个焦点
、在直线上，线段的中点是原点，所以是的一个焦点，……7分设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的定义知：所以，要求的最小值，只需求的最
小值……8分直线的方程为，所以直线与双曲线在第一象限的交点为……9分所以码头应在建点处，才能使修建两条公路的总费用最低……10分（3）①，此双曲线是中心对称图形，对称中心是原点；……1分②渐近线是和．当时，当无限增大时，无限趋近于，与无限趋近；当无限增大时，无限趋近于．……2分③双曲线的对称轴是和．……3分④双曲线的顶点为，，实轴在直线上，实轴长为……4分⑤虚轴在直线，虚轴长为……5分⑥焦点坐标为，，焦距……6分5/14 |
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