|
|
| 共轭虚时间是洛伦兹变换的逻辑要求 |
|
|
|
|
第1页
四维时空中共轭虚时间是洛伦兹变换内在逻辑的推论邓晓明2014年7月2日engineerdxm@sina.com摘要：在四维时空中，证明了共轭虚时间cti?或t~ci?是洛伦兹变换内在逻辑的一个推论。1??i是不可随意去掉的符号，洛伦兹变换是复欧氏空间中的变换；给出了，更为一般的不变量，时空间隔矢量的定义。用其可构成复欧氏矢量空间；论证了狭义相对性原理本身蕴含“光速不变原理”；对以ct或t~c为时间轴的Minkowski时空图及其相关概念进行了质疑。
关键词：洛伦兹变换；狭义相对论；相对性原理；闵可夫斯基空间；时空间隔；四维时空中国分类号：O412.1引言作为“四维时空”时间维的“虚时间”概念ti，首次出现在M.Palagyi于1901年提出的一个带有哲学色彩的模型[1]当中。之后，H.Poincare（庞加莱）在他那与爱因斯坦有优先权之争的论文中（收稿日期1905年7月23日，发表日期1906年1月），阐述了洛伦兹变换的群特征，指出2222(ct)zyx???是不变量，并首次将带有光速c的“虚时间”cti作为第四维[2]。接着，H.Minkowski（闵可夫斯基1907年）发展了H.Poincare的初衷，也把cti
作为第四维[3][4]，进一步考察洛伦兹变换，对四维时空几何作出了定性和定量分析，明确了两个惯性系之间，坐标变换的不变量是两事件的时空间隔，进一步阐明了狭义相对论时空观的本质特征。需要强调的是，H.Minkowski引入ct或cti的目的[3][4]，是为了保持与欧氏几何在形式上的相似性，以获得“实伪欧时空”或“复欧氏时空”。受此影响，目前正统观点，如P.G.Bergmann（柏格曼）[5]、C.Moller[6]、刘辽等[7]大多数学者，认为在洛伦兹变换中，引入虚时间cti仅仅是（为了协调时间和空间在量纲上取得一致的）一种数学技巧。郑庆璋等[8]认为应该去掉i这个“伪装”，采用实时间，以便在教学上与广义相对论衔接。部分“反相”学者甚至认为，cti的引入，是为了在类光间隔方程中迎合22tc?这一项，而生拼硬凑出
来的“伪量”。本文将证明，在四维时空中，虚时间并不是人为引入的，共轭虚时间cti?的存在，是
第2页
洛伦兹变换的内在逻辑所导致的一个推论。如果这一命题成立，1??i将不再是可有可无的数学符号，而具有了某种实质的物理内涵，这种影响或许将是深刻的。本文也对由此而引出的相关问题进行了初步探讨。此外，本文尝试性地给出了，仅仅根据狭义相对性原理及所默认的时空均匀性与正交性假设，推出洛伦兹变换的方法。狭义相对性原理中蕴含“光速不变原理”。光速不变的实验事实仅仅是对狭义相对性原理的验证之一。1证明：在四维时空中共轭虚时间cti?是洛伦兹变换的一个推论由于狭义相对论的数学结构及物理结论早已深入人心，笔者自认为该命题值得重视，故
给出了三套证明方案。1.1证明方案一自从H.Minkowski于1907年及1908年发表两篇奠基性论文[3][4]起、到现行的教科书（如[5][6][7][8]）及相关文献，都在任意两个四维Minkowski坐标系O及O~（坐标原点重合）中引入ct及t~c或cti及t~ci作为时间坐标。这里t及t~为时间，c为光速，1??i。一个事件对应一组数ct),(xμ及)t~c,x~(μ或ct),(xμi及)t~c,x~(μi。其中μx及μx~为空间坐标，1,2,3μ?。由于狭义相对论的数学框架要与广义相对论衔接，多数文献或教科书中，仅将
与每一个事件相对应的具有实数性质的全体数组的集合}ct),x{(μ或)}t~c,x~{(μ称为四维时空连续统，狭义相对论意义上，就是Minkowski时空。我们姑且称c或ci为“时空当量”。现有文献和教科书对一实一虚的c及ci不加区分，1??i可以随意取舍，显示了人为构造的随意性。对于一个严格的逻辑体系来说，不应存在这种瑕疵。考虑一般性，设“时空当量”为任意常数k，对其属于什么数集及具体为何值都不做人为的约定。为协调与空间坐标量纲的一致性，仅规定其具有速度的量纲。如将时间坐标记为ktx4?或t~kx~4?(1)
则可将“Minkowski时空”写为})x{(μ或)}x~{(μ，此时41,2,3,μ?。需要注意的是，加引号的“Minkowski时空”仅仅是借用上述习惯术语。在此，对其空间性质没有做任何先验的约定。没有通过在抽象的仿射空间中，为迎合洛伦兹变换形式上的需要，人为定义内积来规
第3页
定空间的度量性质。四维物理时空本身就是某种度量空间，根据时空的均匀性及正交性假设，我们可以选取任何一组标准正交基矢μe或μ~e（41,2,3,μ?）构成坐标系O或O~来描述物理规律。设存在这样两个事件，在O系或O~系分别记为，事件1：)0,0,0,0(o或)0,0,0,0(~o；事件2：)p(xμ或)x~p(μ，41,2,3,μ?。该两事件的间隔矢量可分别用μe或μ~e线性表出μμxes?(2)μμ~x~~es?(3)
其时空间隔为υμμυ2xxgs,????ss(4)υμμυ2x~x~g~s~~,~????ss(5)1,2,3,4υμ,?。如果站在狭义相对论的立场上看，牛顿额外所给出的约束似乎并不自然，如3维空间距离不变inv)x~()x~()x~()(x)(x)(x232221232221??????；1维时间间隔不变t~t?，由此导致时空割裂。这两项假设带有主观认定的嫌疑。如果描述任意时空间隔的坐标分量不受此
约束，则更具有一般性。如果“Minkowski坐标系”O及O~所对应的惯性系分别记为S及S~，相对S及S~静止的观察者分别记为A及B，(4)及(5)式可理解为，观察者A及B针对同一个物理事实，即两事件的时空间隔，在各自的四维直线坐标系中所写出的方程。根据狭义相对性原理，O系与O~系平权，描述同一物理规律的方程形式相同。由于该时空间隔是同一个客观物理事实，则有??ss,=??ss~,~，即时空间隔不变。由(4)及(5)式得υμμυ22xxgs~s??=υμμυx~x~g~(6)???????υμ0υμ1g~g
μυμυ(7)显然，(7)式为欧氏空间直线坐标系下的度规张量。此时，(6)式可展为（下文2s~将略去）24232221242322212)x~()x~()x~()x~()(x)(x)(x)(xs????????(8)
第4页
如果考虑通用的简化条件，即惯性系S~以匀速v相对S沿1x轴正向运动，两系在0t?，0t~?时坐标原点重合，则(8)式可简化为24212421)x~()x~()(x)(x???(9)为方便，不妨采用1+1维的形式来讨论，设坐标变换矩阵为???????????????????414441141141xxaaaax~x~(10)变换矩阵中的元素待定。将(10)式的4141111xaxax~??及4441414xaxax~??代入(9)式，并比较等式两边的系数得???????????0aaaa1)(a)(a1)(a)(a
44411411244214241211(11)考察(10)式，令0x~1?，得0xaxa414111??(12)其几何意义为，O~系的时间轴（直线方程）在O系中的表达。参见(1)式，由于点kt)xvt,(x41??在该直线上，将其代入(12)式得0kava1411??(13)(11)与(13)两式联立解得
2211/kv11a???；2214/kv1kva???；2241/kv1kva???；2244/kv11a???。考虑变换不改变坐标的正向，(10)式可写为??????????????????????????????????????412222222241xx/kv11/kv1kv/kv1kv/kv11x~x~(14)为了确定“时空当量”k，我们需进一步考察(9)式。如果该两事件刚好是由光信号联接的（如发射和接收），根据光速不变原理，我们可以分别写出惯性系S及S~立场上的光的波阵面方程
第5页
2232221(ct))(x)(x)(x???(15)2232221)t~(c)x~()x~()x~(???(16)考虑1+1维情形，该波阵面方程可写为：ctx1??及t~cx~1??，如果仅考虑光波沿坐标轴的正向传播，则为ctx1?及t~cx~1?(17)将(1)及(17)式代入(9)式，整理后得)tt~(c)tt~(k222222????(18)
(18)式是“光速不变原理”及“狭义相对性原理”的一个推论。由于s与s~是同一个矢量（只是描述的坐标系O及O~不同）。参见(14)式，如果0v?，s与s~彼此相对应的坐标分量不等1x?1x~，4x?4x~，参照(1)式，则有t~t?。因0tt~22??，可将)tt~(22?在等式两边消去得22ck??或cki??(19)将(19)式的cki?及cki??，分别代入(14)得??????????????????????????????????????
412222222241xx/cv11/cv1cv/cv1cv/cv11x~x~ii，（cki?时）(20)??????????????????????????????????????412222222241xx/cv11/cv1cv/cv1cv/cv11x~x~ii，（cki??时）(21)如果将(19)式代入(1)式，至此，我们证明了虚时间cti?或t~ci?的存在是洛伦兹变换的一个自然推论。(20)及(21)式变换矩阵中的元素互为共轭。其物理意义为时间反射或镜像对称。因为任何假设对时间都没有方向性约束。笔者认为，这种现象，与牛顿力学的时间反射类似，源于
在宇宙某时空点的微小邻域内，数学对时空均匀性假设的忠实反映。由于进化因素的存在，大尺度时空的对称性不再成立，时间反射或许不是真实的物理存在。而是某种微小时空邻域内的极限表达。因此我们暂时忽略对(21)式的讨论。
第6页
参见(7)式，由度规的欧氏性质及坐标分量，如ctx4i?或t~cx~4i?，中含有虚数，我们可以断定“Minkowski时空”是且只能是复欧氏时空。考察(20)式，如果令0x~1?，0x~4?，我们可分别得到O~系时间轴及空间轴直线方程在O系中的表达式：0xcvx41??i及0xxcv41???i。设两者的斜率分别为：vcxxψtg14ii??(22)cvxxωtg14ii??(23)
由(22)及(23)式有0ω)ψcos(??ii，进而得2πωψ??ii。仅由(23)式可得22/cv1cvωsin??ii(24)22/cv11ωcos??i(25)将(24)及(25)式与(20)式比较得????????????????????4141xxωcosωsinωsinωcosx~x~iiii(26)
由(26)式可见，洛伦兹变换的本质是复欧氏空间中的“转动”，与（实）欧氏空间中的转动在数学形式上完全相同，但本质上不同，因为ωi是虚角。当然洛伦兹变换还有其它的表述形式，如通过虚角三角函数与实角双曲函数的关系shωωsinii?及chωωcos?i，又可将其写为：????????????????????4141xxchωshωshωchωx~x~ii(27)但在此1??i是不能人为随意舍去的。洛伦兹变换最常见的经典形式，即洛伦兹及爱因斯坦等当年所给出的形式，在此可通过
将(19)式中cki?代入(1)式，并将(1)式代入(20)式而得到：???????????????????????????????????????tx/cv11/cv1cv/cv1v/cv11t~x~12222222221(28)
第7页
1.2证明方案二我们不妨从另外一个角度，即从经典形式(28)式出发，来给出证明。为方便，仅考虑通用的简化条件及1+1维的情况。设“时空当量”同(1)式，并将kxt4?及kx~t~4?代入(28)式，整理后得???????????????????????????????????????4122222222241xx/cv11/cv1ckv/cv1kv/cv11x~x~(29)
参见(29)式，分别令0x~1?及0x~4?，得O~系时间轴及空间轴在O系中的直线方程分别为：0xkvx41??及0xxckv412???。如将其斜率分别记为vkxxtgψ14??(30)214ckvxxtgω??(31)
参见图1，将与O系及O~系相对应的任意两组基矢记为1γ，4γ及1γ~，4~γ。设这两组基矢的变换为411γγγ1411bb~??(32)41γγγ44144bb~??(33)其中11b，41b，14b，44b为待定系数。
第8页
站在观察者A的角度，基矢的点积有如下关系：2~~~111γγγ?；2444~~~γγγ?；ω)cos(ψ~~~~44??γγγγ11；2111γγγ?；2444γγγ?；04?γγ1；cosω~~11γγγγ11?；sinω~~44γγγγ11?；cosψ~~4411γγγγ?；sinψ~~4444γγγγ?。用1γ及4γ分别点乘(32)及(33)式，并将上述关系代入，由11γγ~得：cosω~b111γγ1?；由41~γγ得：ωsin~b4114γγ?；由14~γγ得：cosψ~b1441γγ?；由44~γγ得：ψsin~b4444γγ?。将这些待定系数代入(32)及(33)式，整理后得sinωcosω~~
44γγγγγγ1111??(34)sinψcosψ~~4444γγγγγγ11??(35)由(34)及(35)式可以看出，这是O系及O~系单位基矢的变换。如令111γγe?，444γγe?及111γγe~~~?，444γγe~~~?，则O系及O~系单位基矢的变换矩阵可写为???????????????????4141eeeesinψcosψsinωcosω~~(36)
根据时空的均匀性假设，两事件的时空间隔矢量可分别写为线性形式41eeop41xx??(37)41eepo~x~~x~~~41??(38)不用事先约定Minkowski空间的度量性质。由于仿射空间是更一般的空间，所以Minkowski空间的坐标变换也满足一般的逆变规则。参见(36)式，其基底变换矩阵为???????sinψcosψsinωcosωA，其转置逆阵为????????????????????ω)sin(ψcosωω)sin(ψsinωω)sin(ψcosψω)sin(ψsinψ)(1TA。
坐标变换为
第9页
???????????????????????????????????????4141xxω)sin(ψcosωω)sin(ψsinωω)sin(ψcosψω)sin(ψsinψx~x~(39)将(30)式及(31)式分别代入(39)式得???????????????????????????????????????????41222222222222242222441xx)vk(cvkcvcvkv)vk(cvkcvvcvkcx~x~(40)由于(29)式与(40)式是同一个变换，其变换矩阵中对应元素应该相等，解之得22ck??，即cki??。我们知道，复三角函数与实三角函数所涉及的公式形式相同，虚角运算关系也
满足以上各相关公式的推导，故该命题得证。如将cki?代入(29)式或(40)式，就可得到(20)式。1.3证明方案三----兼证狭义相对性原理本身蕴含“光速不变原理”参见(1)式，将kxt4?及kx~t~4?代入(14)式得??????????????????????????????????????tx/kv11/kv1kv/kv1v/kv11t~x~12222222221(41)
显然，(41)式为仅根据狭义相对性原理所得到的某种变换。注意到22xx~?，33xx~?，并对其及(41)式微分得2211/kv1vdtdxx~d???；22dxx~d?；33dxx~d?；22221/kv1kdtkvdxt~d???。用t~d分别除前三式，并设dtdxuμμ?；t~dx~du~μμ?，其中1,2,3μ?。得速度变换2111v/ku1vuu~???(42)212222v/ku1/kv1uu~???(43)
212233v/ku1/kv1uu~???(44)
第10页
(42)，(43)及(44)式为该变换下的速度合成公式。用其可描述任意粒子在S及S~系的速度矢量u及u~分量的变换。u及u~的模分别为232221)(u)(u)(u???u(45)232221)u~()u~()u~(~???u(46)如果某自由实验粒子在0t?，0t~?时开始测量，参见(42)，(43)及(44)式，并注意由(41)式可得22221/kv1ktkvxt~???22221/kv1ktktuv???，将t~u~x~μμ?（1,2,3μ?）及t~kx~4?代入(8)
式右边242322212)x~()x~()x~()x~(s~????，整理后得2232221)t~(k)t~u~()t~u~()t~u~(???2232221(kt)t)(ut)(ut)(u????(47)因为242322212)(x)(x)(x)(xs????2232221(kt)t)(ut)(ut)(u????，故由该实验粒子联接的两事件（如发射，中靶）的时空间隔满足(8)式，即22s~s?。由于实验粒子选择的任意性，时空间隔不变，即(8)式普遍成立。将(45)及(46)式代入(47)式，整理后可写出(8)式的另一种形式222222222tktt~kt~~s????uu(48)
将(42)，(43)及(44)式代入(46)式，并注意(45)式可改写为2322212)(u)(u)(u???u，得2~u2212221221)v/ku(1)/kv)(1)(u(v)(u??????u(49)考察(48)式，该式是仅满足狭义相对性原理的(8)式的另外一种形式，蕴含了u及u~取值的任意情况，其中uu~?也属于它的解集。如果设λ~??uu，解(49)式，得22λk??即λki??(50)当然，(50)式也可参照(18)式的方法通过(48)式而直接得到。不难验证，(18)式是(48)式的一个特例。由于时间的单方向性，只能取λki?。将其代入(41)式得???????????????????????????????????????tx/λv11/λv1λv/λv1vλ/v11t~x~
12222222221(51)(51)式同样限定速度的上限为λv?。比较(28)式，由目前的物理实验我们知道，能够同时满
第11页
足(45)及(46)式的λ为光速c。因此我们说狭义相对性原理本身蕴含了“光速不变原理”。而光速不变的实验事实仅仅是对狭义相对性原理的实验验证之一。因此，(14)及(41)式本身就是洛伦兹变换的另外一种表达形式，(51)式就是洛伦兹变换。显然(50)式也是本文命题的第三种证明方法。严格意义上讲，狭义相对性原理及所默认的时空均匀性及正交性假设是洛伦兹变换的逻辑前提。2相关问题的初步探讨上文已经证明，如果考虑四维时空几何，狭义相对论的理论内核---洛伦兹变换，在本
质上离不开1??i。如果这一命题成立，将会带来令人兴奋且值得深入思考的问题。下面就笔者能力所及的一些问题做一些粗浅的探讨。2.1“复Minkowski时空”不是真正意义上的物理时空传统观点认为虚单位i的引入是随意的。通过前面的讨论，我们知道，如果考虑四维时空，1??i是不可随意去掉的，因此“Minkowski时空”是且只能是复欧氏时空，即复Minkowski时空。如果用ctx4i?或t~cx~4i?作为时间轴，将存在如下不容忽视的困难。我们知道，虚数集可以定义为有序集，但虚数域则是无序域。有序集反映在虚时间ctx4i?（或t~cx~4i?）概念上，可以定义“过去”和“将来”的“时刻”序列，但由于00c0ctx
4????ii是实数，严格意义上说，不能定义“现在”时刻；无序域则决定了ctx4i?（或t~cx~4i?）不能比较“时间”间隔的大小。证明如下：设实数12tt?，若12ctctii?，两边同时乘以c/i得，12tt???，即12tt?。与题设矛盾。显然，Minkowski虚时间不符合客观物理时间的基本属性。复Minkowski时空概念不是真正意义上的物理时空概念。2.2对现有文献及教科书中“时空间隔”概念的讨论现有文献及教科书都以矢量内积所形成的二次型定义时空间隔，即Minkowski线元。
但在操作中这个过程是倒置的，即由结果来端度，并人为构造前提。如，首先由光速不变原理写出光的波阵面方程，参见(15)及(16)式，然后通过移项得：0(ct))(x)(x)(x2232221????及0)t~(c)x~()x~()x~(2232221????。
第12页
据此构造不变量（当然也有文献和教科书不给出任何前提和推理，直接定义下两式）inv(ct))(x)(x)(xs22322212?????(52)inv)t~(c)x~()x~()x~(s~22322212?????(53)人为规定时间分量4xct?及4x~t~c?，得24232221)(x)(x)(x)(x?????ss或νμμν2xxηs???ss（1,2,3,4νμ,?）(54)其中μνη为Minkowski度规。由于度规矩阵主对角线元素存在异号1?，故称其为“伪欧时空”。因为分量都为实数也称其为“实Minkowski时空”。
有的，为了使(52)及(53)式具有欧氏度规，人为规定2422)(xct)((ct)???i及2422)x~()t~c()t~(c???i。或者将光的波阵面方程(15)及(16)式移项成另外形式，如0)(x)(x)(x(ct)s23222122?????及0)x~()x~()x~()t~(cs~23222122?????。据此构造不变量inv)(x)(x)(x(ct)s23222122?????及inv)x~()x~()x~()t~(cs~23222122?????此时人为规定2422)(xct)((ct)????i及2422)x~()t~c()t~(c????i（有的甚至人为规定时间分
量为实数，三个空间分量为虚数），最终写成24232221)(x)(x)(x)(x?????ss或24232221)(x)(x)(x)(x???????ss，统一表达为νμμν2xxgs???ss（1,2,3,4νμ,?）(55)这里的μνg为欧氏度规，对其的要求是其矩阵主对角线元素同号，或者都为1?或者都为1?。由于分量含有虚数，故也称其为“复Minkowski时空”或“复欧氏时空”。显然现行的主流观点都是围绕光速不变原理，即(15)及(16)式在做文章。所以不管人为规定的是什么“时空”，只要在(54)式νμμν2xxηs?及(55)式νμμν2xxgs?这个层次上，最
终与(15)及(16)式，以及相关结论没有矛盾，就是其逻辑底线。直白地说，(54)与(55)式的“逻辑”前提是人为拼凑出来的。笔者对其的质疑主要包括如下方面：2.2.1参见(52)及(53)式，通过对光的波阵面方程进行移项，然后仅仅根据这么一个特例，
第13页
inv00??，就推断不变量22s~s?适用于一般情况。显然，这种由特殊到一般的归纳不能作为数学推理的逻辑前提。如果仅仅是为教学的需要，这种思路的展现也是不严格的。参见(6)及(8)式，时空间隔不变是由狭义相对性原理所决定的。参见(48)，(49)及(50)式的相关推导过程，光的波阵面方程仅仅作为解集之一，确切地说，是一个特解，而满足(6)，(8)或(48)式的；2.2.2参见(52)，(53)及(54)式，人为规定时间分量为：4xct?及4x~t~c?，无疑，这是一种主观构造。显然(15)及(16)式中“ct”及“t~c”的物理意义是某一波阵面在真空中行进的空间距离。参见(17)式，在洛伦兹变换通用的简化条件下，光信号联接的两事件，应该是ctx1?
及t~cx~1?，而不是ctx4?及t~cx~4?。4x及4x~的取值，是本文所给出的证明ctktx4i??及t~ct~kx~4i??；2.2.3参见(54)及(55)式，νμμν2xxηs?及νμμν2xxgs?，是在不违背(15)及(16)式的前提下，人为随意选择和构造的两组不同的基矢及与其相匹配的分量所定义的二次形式的间隔，即Minkowski线元。虽然两者在模方这个层面上是等价的，但在（底层）间隔矢量s的概念上是含糊不清，模棱两可的。显然，作为一个严格的逻辑体系，这种状况是不适宜的。由于时空间隔矢量s是时空几何重要的基础概念，其概念必须明确且唯一。2.3时空间隔矢量s的定义
如果将(1)式代入(2)或(3)式，并比较(19)式，我们可以明确给出时空间隔矢量的定义：4μμctxeesi??(56)或者4μμ~t~c~x~~eesi??(57)其中1,2,3μ?；),(4μee或)~,~(4μee为四维欧氏空间中的正交单位基矢；ct),(xμi或)t~c,x~(μi为三实（空间），一虚（时间）的坐标分量。因此称其为复欧氏空间。由于时空间隔矢量s本身就是一个客观存在，与惯性系的选择无关，所以有ss~?。比
较(56)及(57)式，有4μμ~t~c~x~eei?4μμctxeei??。根据洛伦兹变换的简化条件22xx~?，33xx~?，与这两个分量相对应的单位基矢有关系22//~ee，33//~ee，在等式两边消去22xe，22~x~e及33xe，33~x~e，则可写成1+1维的形式：411~t~c~x~eei?411ctxeei??。用1~e及4~e分
第14页
别点乘该式两端得411111~ct~xx~eeeei??及44141~ct~xt~ceeeeii??。将其写成矩阵形式???????????????????ctx~~~~t~cx~1441441111iieeeeeeee，参见(1)及(19)式，或可写成???????????????????414414411141xx~~~~x~x~eeeeeeee。参见，(22)至(25)式，有2211/cv11ωcos~???iee；2241/cv1cvωsin~???iiee；2214/cv1cvωsin~?????iiee；2244/cv11ωcos~???iee。
将其代入上述矩阵，则得(20)式。可见ss~?这个底层不变量满足洛伦兹变换。实际上，我们也可以此为前提推出洛伦兹变换。显然，时空间隔矢量ss~?是：不但有大小（模方），而且有方向的更为根本的物理实体---不变量。这个方向性尤为重要，空间的方向可以是随机的，但时间的方向永远是由过去指向未来。参见(56)及(57)式，如果两事件用光信号联接，我们可以给出“类光间隔矢量”或“零间隔矢量”的定义。为方便，其1+1维的形式为：410ctcteesi??或410~t~c~t~c~eesi??。该矢量的特点是：（1）其模等于零00?s或0~0?s；（2）自身与自身垂直，因为000??ss或0~~00??ss。2.4洛伦兹变换的两类表达形式
洛伦兹变换的表达可分为两类。一类是以(20)式为代表的复数形式（有多种表达方式）；另一类则是实数形式（其表达方式是唯一的），参见(28)式，即洛伦兹及爱因斯坦等当年所给出的经典形式。显然这两类表达是等价的。虽然两者的转换符合代数的一般运算规则，但很容易给人造成错觉。例如，将(1)式代入(29)式，并写为如下形式kt/cv1kvx/cv11x~221221????(58)kt/cv11x/cv1ckvt~k221222?????(59)显然，按照一般的运算规则，k可以在(58)及(59)式中取任意值，如光速c，1，或者i都不会
改变洛伦兹变换的性质。并且k可被约掉，还原成洛伦兹变换的经典形式。通过以上证明，我们知道k的取值是唯一的，即22ck??（或cki??）。这好像是一种矛盾。
第15页
下面给出笔者的证明。在“1.3证明方案三”中曾给出结论，(14)及(41)式就是洛伦兹变换的另外一种表达形式。参见(48)，(49)及(50)式，“时空当量”k是由特解λ~??uu所唯一确定的。根据物理实验，cλ?。因此将22ck??（或cki??）代入(14)及(41)式，就确定了与k相关联的所有参数，进而得到洛伦兹变换。如果将任意常数，如ck?，1k?，或者i?k代入(14)及(41)式，所得到的将不是洛伦兹变换。或许正是由于(58)及(59)式这种错觉致使现有文献或教科书放心大胆地使用ct或t~c作为时间轴来讨论问题。2.5质疑时间轴为ct或t~c的Minkowski时空图
时间轴为ctx4?或t~cx~4?的Minkowski时空图是一种直观的辅助分析工具。在现有文献和教科书中颇具影响，它不但给出了诸多“关键”概念，如具有因果关联的“类时区域”，“光锥”及“类空区域”等，而且也是广义相对论所离不开的辅助工具。(56)及(57)式已经明确定义了时空间隔矢量这一底层概念，为方便，仅考察1+1维的情形，可写成411ctxeesi??或411~t~c~x~~eesi??(60)由于仅讨论不变的间隔矢量ss~?，故两者可任选其一，不妨讨论(60)式的第一个方程。由)ct(x)ct(x411411eeeessii?????(61)
这一双线型结构，我们可以得到22122ct)()(xsi?????sss(62)22122(ct))(xs?????sss(63)显然，(62)及(63)式在数学上是等价的。如果将ctx4i?看做一个整体，(62)式则为形式上“椭圆函数”的特例，即两共轭半径相等，都为s的“圆函数”。形式上具有欧氏度规（符合勾股定理），到坐标原点的“等间隔线”为以s为半径的“圆”，由于ctx4i?为虚数，所以本质上为复欧氏时空。考察(63)式，如果将“ct”看做一个整体，并将ctx4?作为时间轴，其实质为双曲函
数，到坐标原点的“等间隔线”为两共轭半径相等，都为s的双曲线。无疑，将ct或t~c作为时间轴而给出的Minkowski时空图，就是以此为蓝本。笔者将证明，这种用ctx4?或t~cx~4?做时间轴所表达的时空图存在不容忽视的困难。
第16页
参见(63)式，当0s2?时，类时间隔为虚数。极端情况下，相对惯性系S静止，且在其原点处的粒子，所联接的两事件的类时间隔在其本身的世界线上，该粒子的世界线就是S系的时间轴本身。此时0x1?，解(63)式得该粒子的（纯时间）间隔为：4xcts???i，显然与人为预设的时间轴ctx4?相矛盾。自此，我们证明了时间轴是唯一的，即ctx4i?或t~cx~4i?。这一例子也是对本文命题的又一次印证。即在四维时空中，洛伦兹时间是虚时间。将ct或t~c作为时间轴所给出的Minkowski时空图，及由此而得到的所有概念都是值得商榷的。
参见图2，以ct为时间轴的“Minkowski时空图”根本就不能正确反映，洛伦兹变换所要求的，时空间隔2s的全貌，即没有类时间隔0s2?的“位置”，而恰恰在0s2?这个区域洛伦兹变换才有意义。图2仅仅是在给定某s时，以时间参数ct为纵轴，1x为横轴的函数关系图。其意义是，如果给定s序列，则可画出“等间隔”双曲线族（类似于等高线）。在0s2?时，表示类光间隔。当0s2?时，类空间隔的每一条“等间隔”双曲线要求，1x的定义域为：ctx1?或ctx1??。由于与光速极限定理相矛盾，所以没有实际意义。关于这一点，有学者似乎有所察觉，但没有给出四维时空中时间轴只能是虚轴这一根本
原因。如黄献民（2013）[9]（69页）指出：“闵氏时空下，若时空间隔为类时，间隔线长是虚数。前一节的讨论（指实双曲函数描述闵氏时空下的旋转变换）回避了这个问题，所以从数学上说并不严格。有必要将旋转变换写成复数的形式，严格讨论......”。不过笔者认为，黄先生在复时空中所涉及的，坐标轴旋转方向的讨论[9]（70~73页），虚角三角函数不是周期函数的断言[9]（76页）及校准线为双曲型的描述[9]（73~76页）等，都是值得商榷的。
第17页
因为复欧氏空间将ctx4i?或t~cx~4i?看做一个整体，形式上与欧氏空间一样。此外利用欧拉公式容易证明，虚角三角函数仍然具有与实数域三角函数同样的周期。一般来讲，在严格的分析中忌讳用图示。如果一定要借用几何直观来做辅助分析工具，那么也只能是拓扑学意义上的示意。因为度量，不是在角度上，就是在线段长度上要变形。此外，由于12??i及ii???1等计算因素的影响，其图示也与真欧几何略有差异。参见图3，笔者所给出的1+1维复欧氏时空示意图，在逻辑上能够直观解释本文所涉及的所有内容。
2.6超光速问题参见(48)，(49)及(50)式，“时空当量”k是由特解λ~??uu所唯一确定的。假如自然界存在一种粒子（快子）的速度cλ?，如果该粒子的λ，与光速c一样，也同时满足(45)及(46)式，那么将存在分别由λ及c所确定的两个不同的变换。无疑，这种情况如果发生将面临理论困难。目前的物理实验揭示cλ?。因此将22ck??代入(14)及(41)式，就确定了与k相关联的所有参数，进而分别得到洛伦兹变换的两种形式(20)及(28)式。如果cv?，两式变换矩阵中的元素将出现奇异；如果cv?（突破“光障”），注意此时v不同时满足(45)及(46)
式，则(20)及(28)式将写为????????????????????????????????????????412222222241xx1/cv1/cvcv1/cvcv1/cvx~x~ii及???????????????????????????????????????tx1/cv1/cvcv1/cvv1/cvt~x~12222222221iiii
第18页
由后式可以看出，我们不可能得到一个实数形式的变换，这也正是断定cv?的原因。2.7需要继续探讨的问题虽然经典实数形式的洛伦兹变换，参见(28)式，与四维复欧氏表达的洛伦兹变换，参见(20)式，是等价的，但在四维时空中，1??i是洛伦兹变换内在逻辑所要求的不可去符号。这里存在两个令笔者困惑的问题：2.7.1我们是否还能像以往一样，简单地认为虚单位仅仅是四维时空表达的一种形式上的需要。如果情况不是如此，那么(20)式中的虚时间又向我们展现了自然的什么信息？如果时间真是虚数，将面临“2.1节”所给出的，虚时间与真实物理时间不相符的困难。此种情况似
乎表明，洛伦兹变换所反映的或许是某实时空点无限小邻域内的某种“复欧氏时空”效应。2.7.2如果洛伦兹变换在“低速”情况下自然“过渡”到伽利略变换，那么这种情况应该在一切逻辑延伸中都成立。试问，如果将伽利略变换也写成四维形式，那么真欧氏空间的伽利略变换与复欧氏空间的洛伦兹变换还能在“低速”情况下统一吗？为便于与洛伦兹变换比较，也将伽利略变换写成1+1维形式。此时，时间间隔和空间距离都是不变量。为协调量纲，设其时间坐标为t~ktkx~x0044???。这里的0k也是一个具有速度量纲的常数，姑且也称作时空当量。因为t~t?，故0k可以为任意实数0kR?。
也将伽利略变换写成矩阵形式，严格意义上是错切（shearmapping）??????????????????????41041xx10kv1x~x~。传统观点认为，当二阶小量0/cv22?时，洛伦兹变换自然过渡到伽利略变换，由(20)式得????????????????????????????????4141xx1cvcv1x~x~ii。比较该两式，不难发现，伽利略变换的时空当量0kR?，可以是任意实常数，牛顿时间tk0R?是实时间，伽利略变换是（实）欧氏空间中的变换；而洛伦兹变换的时空当量Ck?是个虚数，且仅被限定于一个特定值cki?（或cki??）。
Minkowski时间ctiC?是虚时间，洛伦兹变换是复欧氏空间中的变换。两者的空间性质截然不同。因此在四维时空层面上，伽利略变换在本质上不同于洛伦兹变换。3结论在四维时空中，证明了虚时间cti（或t~ci）是洛伦兹变换内在逻辑的推论。虚单位
第19页
1??i不能随意取舍。在四维时空中，洛伦兹变换是且只能是复欧氏空间中的变换。给出了时空间隔矢量这一底层概念的定义。它是不但有模方而且有方向的更为根本的不变量。其空间方向可以是随机的，但时间方向永远是由过去指向未来。时空间隔矢量可以构成复欧氏矢量空间。在四维时空中，实时间ctx4?或t~cx~4?不能随意引入。现有文献及教科书中常见的以ctx4?或t~cx~4?为时间轴的Minkowski时空图，及由此而产生的所有概念都是值得商榷的。此外，尝试性地给出了，仅仅根据狭义相对性原理及所默认的时空均匀性与正交性假设，
推出洛伦兹变换的方法。证明了狭义相对性原理中蕴含“光速不变原理”。光速不变的实验事实仅仅是对狭义相对性原理的验证之一。参考文献[1]Historyofspecialrelativity.Wiki.http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_special_relativity参考日期2014年4月1日.[2]H.Poincare.Onthedynamicsoftheelectron.(原名)Surladynamiquedel’électron.RendicontidelCircolomatematicodiPalermo21:129–176.doi:10.1007/BF03013466.1905/1906.
[3]H.Minkowski.TheFundamentalEquationsforElectromagneticProcessesinMovingBodies.(原名)DieGrundgleichungenfürdieelektromagnetischenVorg?ngeinbewegtenK?rpern.NachrichtenvonderGesellschaftderWissenschaftenzuG?ttingen,Mathematisch-PhysikalischeKlasse:53–111.1907/1908.[4]H.Minkowski.SpaceandTime.(原名)RaumundZeit,PhysikalischeZeitschrift10:75-88.1908/1909.[5]P.G.Bergmann.Introductiontothetheoryofrelativity.Butterworths.London.1958.[6]C.Moller.Thetheoryofrelativity.Page93.ReprintedLithographically.1955.[7]刘辽等.狭义相对论.科学出版社.42页及69~70页.2008年第二版2011年第二次印刷.
[8]郑庆璋等.广义相对论基本教程.中山大学出版社.63~64页.1991年第一版第一次印刷.[9]黄献民.闵氏几何与狭义相对论.国防工业出版社.2013年第一版第一次印刷.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
