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狭义相对论质点动力学隐含古老悖论：芝诺飞矢不动邓晓明2014年10月26日engineerdxm@sina.com摘要：从三维角度对狭义相对论质点动力学理论提出质疑。证明与受力质点随动的“瞬时惯性系”所要求的，质点相对惯性系S“瞬时速度不变”是古希腊芝诺飞矢不动悖论的翻版。关键词：狭义相对论；质点动力学；洛伦兹变换；瞬时惯性系；芝诺悖论；飞矢不动悖论中国分类号：O412.1前言
该文是对笔者《狭义相对论中的绝对理论初探》[1]一文的补充。在文[1]中，已经证明“四维力”及“四维加速度”不是狭义相对论的物理对象。四维纯数学推理证明不涉及哲学上的纠结，泾渭分明，证明本身的对与错很容易被判定。文[1]中的结论体现在三维表述上，就是直接否定“对经典牛顿力学的相对论改造”。为了增加对论文[1]所得结论的受众面，便于从不同角度理解，本文将以传统的三维形式再一次对狭义相对论质点动力学理论进行质疑。证明“瞬时惯性系”隐含芝诺飞矢不动悖论洛伦兹变换是否适用于质点动力学的关键是如何定义惯性系。为了更准确叙述共同体的
主流观点，不妨寻找现有国内外最具权威的论著。国际知名的经典当属誉有“相对论圣经”及“黑宝书”之称的，Misner，Thorne和Wheeler（MTW）三人合著的《Gravitation》[2]，而国内的则应该是刘辽等所著的《狭义相对论》[3]。既然是中文写作，直接摘录刘辽老师等的论述：“如果粒子相对于某一惯性系S做加速运动，而惯性系不能具有加速度，所以瞬时惯性系只是在某一瞬时随着粒子一起运动，在不同时刻的瞬时惯性系不同---这就是“瞬时”的意思。也可以这样理解：在粒子的运动轨迹上存在许多惯性系，其速度等于粒子在某时刻的瞬时速度，分别为v，vvd?，...，粒子在不同时刻处于不同的惯性系中。”[3]（98页）。这段陈述的关键是：粒子在任意时刻的速度v相对惯性系S都体现为“瞬时不变”（否则就是加速系），在此前提下才有“瞬时惯性系”的概念。笔者将证明，正统理论的这一核
心思想隐含古希腊芝诺（Zeno，公元前约340-265年）所给出的飞矢不动悖论。直接引入百度百科对芝诺飞矢不动悖论的叙述[4]：“芝诺提出，由于箭在其飞行过程中的任何瞬间都有一个暂时的位置，所以它在这个位置上和不动没有什么区别。”有许多版本，
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读者也可自己查找其它表述。据有文献称，这是个哲学悖论，其魅力就在于，明明知道它是错的，但却无法证明。笔者并不认同，毕竟芝诺是两千多年前的古人，其表述不可能像今天这样严格。如运动是相对的，没有明确给出参照系的概念。笔者认为，芝诺飞矢不动悖论唯有用微积分概念才能诠释。参见图1(a)，假设飞矢相对坐标系，沿mn弧线作抛物运动。在一瞬间Δt由m点飞到了n点。其移动的距离用mn弦线近似表达为(t)Δt)(tΔrrr???。因为瞬时Δt可以任意小，极限情况下有0(t)}Δt)(t{limΔlim0Δt0Δt??????rrr。芝诺飞矢不动悖论的数学解释为：因为0Δt?，所以0Δ?r，即没有位移（没有移动），体现在悖论思维中，位矢(t)r“瞬时
不变”，即为“不动”。如果在m点“不动”，而mn弧线段是由无穷个点构成的集合，飞矢又如何逾越无穷而到达n点呢？
笔者认为芝诺悖论对数学的启迪应该是深刻的，即数学的最基本元素应该是点还是趋于一“点”的线元、面元或体元？或一个几何对象，如庞加莱猜想中三维球面上趋于一“点”的圆？点是否具有结构？显然位矢(t)r的矢端代表的是一个纯粹的，没有结构的数学点，而0Δ?r则是一个空间线元“点”，即两个无限接近，以至于“重合”的“点”。同理0Δt?代表一个时间线元“点”，两者都是无穷小量。由于时空是个连续域，线元“点”0Δt?及0Δ?r不是割裂
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的，从分析的角度讲，两者同时存在，说明矢函数(t)r的矢端曲线在定义域内处处连续。因为极限0Δlim0Δt??r不是一个能够有效描述运动，可被定义的物理量（只是一种思辨）。线元“点”，即同阶无穷小量0Δt?及0Δ?r之间的关系才是刻画飞矢运动的物理量。如果定义Δt(t)Δt)(tlimdt(t)d(t)0Δtrrrv?????为速度，则可描述飞矢运动的趋势和能力。此时位移矢量（mn弧长）又可近似写为Δt(t)Δvs?，其极限为0Δt(t)limΔlim0Δt0Δt????vs，即当0Δt?时，0Δt(t)Δ??vs，此时没有位移，芝诺即认为“不动”。因为瞬时速度(t)v是飞矢相对坐标系在某时刻所固有的速度（与射出的初速度，飞行的时间，风阻力及引力等有
关），这就是Cauchy（柯西1789-1857年）当年反驳“飞矢不动”悖论的关键所在。0Δt?只是人为的思辨，而自然的时间Δt是连续增大的，因为飞矢具有速度(t)v，所以飞矢自然要飞出mn弧线轨迹，最终坠地。不能用无穷小量0Δt?替代0Δt?，因现实中0Δt?，只有在0(t)?v时，飞矢才相对坐标系不动。所以说飞矢“不动”是悖论，“位矢(t)r瞬时不变”这个带有欺骗性的概念是不成立的。恰恰相反，位矢(t)r，其模和方向，每时每刻都在连续变化，其矢端描述了飞矢连续的飞行轨迹曲线。参见图1(b)，与质点随动的坐标系mS~，相对惯性系S，从m点沿微小的mn弧线运动
到n点，表示为nS~。从坐标系mS~到nS~这一过程，其姿态，即刚性标架在不断地发生变化（注：不是受曲率和绕率约null的基本三面形）。传统理论认为，轨迹上处处存在，如一个相对惯性系S“瞬时速度(t)v不变”的“瞬时惯性系”mS~。笔者将null示，“瞬时速度(t)v不变”就是芝诺飞矢不动悖论的翻版。经微小时间间nullΔt，坐标系从mS~变化到nS~，null自相对惯性系S的速度分别为(t)v及Δt)(t?v，参见图1(c)，速度的改变为(t)Δt)(tΔvvv???。因为Δt可以任意小，极限情况下有0(t)}Δt)(t{limΔlim0Δt0Δt??????vvv。因为0Δt?时，0Δ?v，即认为在m点速
度没有变化。显然这就是共同体所null认的存在“瞬时速度(t)v不变”的数学null据。参见图1中的文null及公式，时间及速度线元“点”0Δt?及0Δ?v同样不是割裂的，两者同时存在，说明矢性函数(t)v在定义域内处处连续。0Δlim0Δt??v同样是一个不能有效
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描述速度改变，可被定义的物理量（只是一种思辨）。线元“点”0Δt?及0Δ?v之间的关系才是刻画速度变化的物理量。定义加速度为Δt(t)Δt)(tlimdt(t)d(t)0Δtvvva?????。null要说明的是，这nullnull是运动学意义上的定义，所以不nullnullnullnull的null论（不应将其nullnull限于牛顿意义上加速度与力的关系）。在微小的时间间null内，可将速度的改变近似写为Δt(t)Δav?，其极限为0Δt(t)limΔlim0Δt0Δt????av，即当0Δt?时，0Δt(t)Δ??av，此时速度null似没有改变。因为瞬时加速度(t)a是质点相对惯性系S在某时刻所固有的加速度（这是笔者将Cauchy思null再度发null），0Δt?只是人为的思辨，而自然时间的流null则null定Δt
连续变大。不能用无穷小量0Δt?替代0Δt?，因现实中0Δt?，只有当0(t)?a时，质点相对惯性系S的速度才不变。因为受力质点0(t)?a，与受力质点随动的坐标系mS~，相对惯性系S的速度(t)v，其模和方向，无时不刻都在连续变化。所以说“瞬时速度(t)v不变”就是芝诺飞矢不动悖论的翻版。飞矢不动悖论及“瞬时速度(t)v不变”悖论的数学本质为：（1）用思辨，即不可定义的“物理量”描述物体的运动null态。如0Δlim0Δt??r及0Δlim0Δt??v是两个nullnullnull于null的无穷小量，由无穷小量与无穷大量的关系可知，在物理意义上等同于发null。因此两者不能说明位
移不变及速度不变。为便于理解不妨用速度这个物理量加以说明。null然速度的定义也是null过极限理论给出的Δt(t)Δt)(tlim(t)0Δtrrv????，但它可nullnull于某个nullnull实数。nullnullnull惯它的“null位时间所运动的距离”这一概念，但(t)1v也是有物理意义的概念，即“运动null位距离所用的时间”；（2）割裂了时空。用思辨的0Δt?作为null因，将0Δ?r及0Δ?v作为结果，即没有在时间和空间的关系基null上描述运动。速度(t)v和加速度(t)a这两个物理量正是基于时空关系null刻画物理nullnull，明确给出只有0(t)?v，0(t)?a时，位移矢量(t)r及速度矢
量(t)v才相对参照系不变；（3）nullnull了时空的连续性。数学分析将同时nullnull0Δt?，0Δ?r及0Δ?v作为函数连续性的充要nullnull。在0(t)?v及0(t)?a时，位移矢函数(t)r及速度矢函数(t)v都随自然增长的时间t每时每刻连续变化。众所null知，刻画质点运动的这
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三个物理量的关系为22dt(t)ddt(t)d(t)rva??。对狭义相对论质点动力学提出质疑如果与受力质点随动的坐标系mS~相对惯性系S“瞬时速度(t)v不变”这一概念不成立，null么就不存在“瞬时惯性系”。参null文[1]，此时将只有在惯性系之间变换所出现的因子写为22v/c(t)v11γ??，232221(t)}{v(t)}{v(t)}{v(t)v(t)????v(1)是不能被接受的，自然对其求null也是无意义的)(cγ}/c(t)v11{dtddtdγ
23v22vav????(2)由于洛伦兹变换是狭义相对论的理论内核，所以由(1)及(2)式引出的“对牛顿nullnull定null的相对论改造”是null得nullnull的。dtdpf????(t)}{γdtdm(t)}{mdtdv0vv}dt(t)dγdtdγ(t){mvv0vv?(3)dtdγcm)(mcdtddtdε(t)v202????vf(4)该两式被称作“相对论质点动力学方程null”。将(2)式代入(3)及(4)式，nulldt(t)dva?，并注意0vmγm?
，得其解析式avavfm)m(cγ22v???(5))m(γ2vavvf???(6)将(6)式代入(5)式得avvffmc2???(7)该式是出现在文献或null科书中的null见形式。显然(3)，(4)及(7)式都是“狭义相对论质点动力学”的核心定null。如果不存在“瞬时惯性系”，null么“狭义相对论质点动力学”将被证null。
更为null人nullnull的是，被null体过度nullnull的null因nullnull著名公式2mcε?也是null得nullnull的。笔者在文[1]中null将其作为一种null号nullnull论。这并不nullnull大量实null对以洛伦兹变换为内核的这null理论（nullnull还称狭义相对论）的nullnull结果。因为笔者null过四维动量矢量的模，得到了nullnull经典
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定null的本质形式，2mcε?在其中nullnull是一种可有可无的形式null号。nullnull读者结合文[1]中的null论null理解本文的陈述。null续的nullnull由于以洛伦兹变换为内核的这null理论已经得到nullnull学及粒子物理学等大量实null的null证，如果“狭义相对论质点动力学”被证null，笔者猜null，这null理论的适用nullnull将nullnull至与其实null相称的nullnull学及粒子物理学等null域。牛顿力学不可能被相对论改造。null实上在牛顿力学的null观nullnull内，从null就没有做过，也不可能得到与其相称的，狭义相对论性实null的nullnull。以null文献及null科书中出现的被相对论改造null牛顿定null的形式null号也是纯思辨的结果。null因nullnull所提
出的“狭义相对性null理”似null将不再成立。参null文献[1]nullnull明.狭义相对论中的绝对理论初探.国科null区null国null科null成果nullnullnullnullnullnull年nullnull月nullnull日nullhttp://blog.tech110.net/batch.download.php?aid=35329[2]MTW.Gravitation.W.H.FreemanandCompany.1973.[3]刘辽等.狭义相对论.科学出版null.2008年nullnull版.2011年nullnull次nullnull.[4]百度百科.飞矢不动.引用时间2014年10月22日.http://baike.baidu.com/view/189785.htm
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