详细图解无空间转动固有洛伦兹变换邓晓明2015年11月9日engineerdxm@sina.com由于洛伦兹变换在现代物理学中有至高无上的理论地位（笔者认为，不适用于力学领域[1]），所以花多少时间和笔墨来对其在不同侧面进行了解和展示都不过分。笔者查阅了现有文献或教课书中常用的无空间转动固有洛伦兹变换的推导方法[2][3][4]，感觉过于简述，遗漏了许多细节，本篇将详细地补全推导步骤及对应的图示。事实上这种推导方法并不严格
（严格的推导方法请参阅笔者之前的文章[5]），然而借助几何直观，将有助于加深对洛伦兹变换的理解。参见图1，所谓“无空间转动”是指在三维空间中两惯性系S与S~以任意相对速度常矢????eev~vv???，3,2,1??，作相对运动时，对应的空间轴彼此平行?x(?e)//?x~(?e~)，3,2,1??，即两惯性系之间没有相对转动。
参见图1，为推导无空间转动固有洛伦兹变换，我们要进行的操作是：（1）在三维空间中，（同时）旋转两惯性系S及S~的空间标架，使空间轴1x(1e)及1~x(1~e)与速度常矢v方向一致，得到类似于特殊洛伦兹变换条件；（2）在四维复欧氏空间中，进行特殊洛伦兹虚角旋转，最终得到无空间转动的固有洛伦兹变换。在此需要特别注意：如果两个惯性系以相同的角度旋转（类似于动作协调一致的双人跳水表演时的情形），即彼此没有相对转动，那么这种情况也属于“无空间转动”。参见图1，通过几何关系，我们容易确定：
22211)()(cosvvv???；22212)()(sinvvv???；vvv2221)()(cos???；vv3sin??。因为23222122)()()(vvvv????v，如果设cv??，cv????，（其中c为光速）3,2,1??自然有2322212???????。将?cv?及???cv?分别代入上述三角函数有22211cos??????；22212sin??????(0-1)????2221cos??；???3sin?(0-2)
第1步
参见图1-(c)，及图2-(a)，将初始坐标系?x及?x~分别绕空间轴3x及3~x逆时针旋转?，使两系的1轴都落在由矢量3e及v[参见图1-(a)]所确定的平面上，此时得到过渡坐标系?y及?y~。其坐标变换分别为：XRY??(1-1)XRY~~??(1-2)其中??????????????1000010000cossin00sincos????
?R(1-3)为由简单的解析几何知识所确定的旋转矩阵。过度系及初始系的坐标为：??TyyyyY4321?；??TxxxxX4321?；??TyyyyY4321~~~~~?；??TxxxxX4321~~~~~?。需要注意的是，这种旋转不是单纯的三维空间的旋转，事实上是四维复欧氏空间的四维正交坐标系的整体行为。在三维空间中，我们可以简单地理解为分别绕空间轴3x及3~x所进
行的旋转。如果拓展到四维空间，?角所在的平面也分别正交于时间轴4x(4e)及4~x(4~e)，即在绕空间轴3x及3~x旋转的同时，也在绕时间轴4x及4~x旋转。体现在旋转矩阵(1-3)上，就是这两个坐标对应元素为1，即这两个坐标在旋转中不变。此外，确保(1-1)，(1-2)及下文将要提及的旋转变换得以成立的先决条件为，四维复欧氏空间中的绝对矢量不变，例如时空间隔矢量不变jjjjxxee~~?，4,3,2,1?j。第2步参见图2-(a)及(b)，将过渡坐标系?y及?y~分别绕空间轴2y及2~y逆时针旋转?，使两
系的1轴都与速度矢量v重合，此时得到目标坐标系?z及?z~。其坐标变换分别为YRZ??(2-1)
YRZ~~??(2-2)与上节同理，?角的旋转矩阵为??????????????10000cos0sin00100sin0cos?????R(2-3)??TzzzzZ4321?及??TzzzzZ4321~~~~~?为目标系的坐标。第3步
参见图2-(b)，目标坐标系?z及?z~与相对速度常矢v的关系，完全符合特殊洛伦兹变换条件。此时?2z2~z；?3z3~z。该两系的变换可写为我们所熟悉的形式LZZ?~(3-1)其中??????????????????iiiiLcos00sin01000010sin00cos(3-2)
为常见的特殊洛伦兹变换矩阵。众所周知，其中???ii?sin；???icos(3-3)目标系洛伦兹变换的几何本质为，在四维复欧氏空间中，正交系jz~（4,3,2,1?j）绕?2z2~z及?3z3~z轴，逆时针旋转了虚角?i。第4步将(1-1)式代入(2-1)式得XRRZ???(4-1)
将(1-2)式代入(2-2)式得XRRZ~~???(4-2)(4-2)式的逆变换为ZRRX~~11?????(4-3)
将(3-1)式代入(4-3)式得LZRRX11~?????(4-4)将(4-1)式代入(4-4)式得XRLRRRX????11~???(4-5)(4-5)式即为我们最终需要的，初始系的无空间转动固有洛伦兹变换。第5步我们可由(1-3)及(2-3)两式求得????????????????10000cossinsincossin00cossin0sinsincoscoscos????????????
??RR(5-1)及??????????????????10000cos0sin0sinsincoscossin0sincossincoscos11??????????????RR(5-2)将(3-2)，(5-1)及(5-2)式代入(4-5)式可求得最终的洛伦兹坐标变换为?????????????????????????????????????
4321444342413433323124232221141312114321~~~~xxxxaaaaaaaaaaaaaaaaxxxx(5-3)第6步考虑(0-1)，(0-2)及(3-3)式，(5-3)式变换方阵中元素的具体计算结果为：??????2222211sincossincoscoscos???ia221)1(1???????????????2212sinsincoscossincoscossincos???ia221)1(?????????????cossincossincoscoscos13??ia231)1(?????????iasincoscos
14?1??i?
?????????2221sincossinsincoscoscoscossin???ia221)1(????????????2222222sinsincoscoscossin???ia222)1(1?????????????cossinsinsincoscossin23??ia232)1(?????????iasincossin24?2??i????????cossincoscoscoscossin31??ia231)1(?????????????sinsincossincoscossin
32??ia232)1(?????????2233coscossin??ia223)1(1????????iasinsin34?3??i????coscossin41ia??1??i?????sincossin42ia??2??i????sinsin43ia??3??i???iacos
44???最终的(4-5)式，即无空间转动固有洛伦兹变换可写为：????????????????????????????????????????????????????????????43213213223232231223222222112312212214321)1(11)(1)(1)()1(11)(1)(1)()1(1~~~~xxxxiiiiiixxxx??????????????????????????????????????????????完毕！参考文献
[1]邓晓明.经典牛顿力学拒绝相对论改造.国科社区.国家科技成果网.2015年9月25日.
http://blog.tech110.net/batch.download.php?aid=37896[2]刘辽等.狭义相对论.科学出版社.2008年7月第二版,2011年4月第二次印刷.[3]杨凤梅等.普遍的洛伦兹变换式的两种推导方法.聊城师院学报（自然科学版）.1996年6月第9卷第2期.[4]王峥等.普遍洛伦兹变换及其逆变换的四维矩阵形式.商丘职业技术学院学报.2004年6月第3期第3卷.[5]邓晓明.无空间转动的固有洛伦兹变换的一种新的推导方法.国科社区.国家科技成果网.2015年10月28日.http://blog.tech110.net/batch.download.php?aid=38153
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