高考数学中导数热点问题

导数的热点问题探讨

考情考向分析

利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大.

考真题体

高考真题体验

热点分类突破

热点一 利用导数证明不等式

用导数证明不等式是导数的应用之一,可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值,以及构造函数解题的能力.

总结：用导数证明不等式的方法

(1)利用单调性:若f(x)在[a,b]上是增函数,则①?x∈[a,b],则f(a)≤f(x)≤f(b)②对?x1,x2∈[a,b],且x1x2,则f(x1)f(x2).对于减函数有类似结论.

(2)利用最值:若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m),则对?x∈D,则f(x)≤M(或f(x)≥m).

(3)证明f(x)g(x),可构造函数F(x)＝f(x)-g(x),证明F(x)<>

热点二  利用导数讨论方程根的个数

方程的根,函数的零点,函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念,解决这类问题可以通过函数的单调性,极值与最值,画出函数图象的走势,通过数形结合思想直观求解.

方法总结：

(1)函数y＝f(x)-k的零点问题,可转化为函数y＝f(x)和直线y＝k的交点问题

(2)研究函数y＝f(x)的值域,不仅要看最值,而且要观察随x值的变化y值的变化趋势.

热点三  利用导数解决生活中的优化问题

生活中的实际问题受某些主要变量的制约.解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来,建立目标问题即关于这个变量的函数,然后通过研究这个函数的性质,从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优.

方法总结:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

(1)建模:分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x).

(2)求导:求函数的导数f′(x),解方程f′(x)＝0.

(3)求最值:比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值．

(4)作答:回归实际问题作答.

高考押题精练

押题依据　函数的单调性、极值、最值是导数的典型应用,不等式证明体现了转化与化归的思想,是高考的必考点．