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完美突破立体几何题

2016-05-22  徐老大1

完美突破立体几何题

高考真题体验

高考常考题型精析

高考热点分类突破

高考押题精练

高考选择题小技巧

高考定位

立体几何证明题,是高考必考题,证明平行、垂直关系是主要题型,特别是垂直关系尤为重要.掌握判定定理、性质定理并能灵活运用是解题的根本.学会分析推理的方法和证明技巧是提升推理能力的关键.

 高考真题体验


常考题型精析

题型一 空间中的平行问题

方法总结

证明平行关系的方法

(1)证明线线平行的常用方法:

①利用平行公理,即证明两直线同时和第三条直线平行;

②利用平行四边形进行转换;

③利用三角形中位线定理证明;

④利用线面平行、面面平行的性质定理证明.

(2)证明线面平行的常用方法:

①利用线面平行的判定定理,把证明线面平行转化为证明线线平行;

②利用面面平行的性质定理,把证明线面平行转化为证明面面平行.

(3)证明面面平行的方法:

证明面面平行,依据判定定理,只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可,从而将证明面面平行转化为证明线面平行,再转化为证明线线平行.

题型二 空间中的垂直问题

方法总结

(1)证明线面垂直的常用方法:

①利用线面垂直的判定定理,把线面垂直的判定转化为证明线线垂直;

②利用面面垂直的性质定理,把证明线面垂直转化为证明面面垂直;

③利用常见结论,如两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.

(2)证明面面垂直的方法:

证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面过另一个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中点、高线或添加辅助线来解决.

题型三 空间中平行垂直的综合问题

方法总结

(1)立体几何中,要证线垂直于线,常常先证线垂直于面,再用线垂直于面的性质易得线垂直于线.要证线平行于面,只需先证线平行于线,再用线平行于面的判定定理易得.

(2)证明立体几何问题,要紧密结合图形,有时要利用平面几何的相关知识,因此需要多画出一些图形辅助使用.

(3)平行关系往往用到三角形的中位线,垂直关系往往用到三角形高线、中线.

高考热点分类突破
热点一 空间线面位置的判定

空间线面位置关系判断的常用方法

(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题;

(2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,并结合有关定理来进行判断.


方法总结

解决空间点、线、面位置关系的组合判断题,主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况,以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断,必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中.

热点二 空间图形的折叠问题

平面图形经过翻折成为空间图形后,原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化,这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键.一般地,在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化,解决这类问题就是要根据这些变与不变,去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值,这是化解翻折问题的主要方法.






方法总结

(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口;

(2)存在探索性问题可先假设存在,然后在此前提下进行逻辑推理,得出矛盾或肯定结论.

 高考押题精练

押题依据 空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容,也是高考命题的热点.此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇,意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力.


押题依据 空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容,也是高考命题的热点.此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇,意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力.


'若两平面平行,则平面内任何一条直线必平行于另一个平面'是真命题,故选C.


押题依据 空间直线和平面的平行、垂直关系是立体几何的重点内容,也是高考解答题的热点,结合探索性问题考查考生的空间想象能力、推理论证能力,是命题的常见形式.





 高考选择题小技巧

例1.(2015·北京)α,β是两个不同的平面,m是直线且m?α.则'mβ'是'αβ'(     )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件        D.既不充分也不必要条件

常规思路:

解析 m?α,mβ 推不出 αβ,但m?α,αβ?mβ,

mβαβ的必要而不充分条件.答案选B.

小技巧1:高考中对于这类选条件的题,可以直接排除充要条件和既不充分也不必要的选项了,考到概率几乎不可能,当然这类题也会很简单,学霸可以秒杀,但对于学渣,如果你不会,那你就用这种方法来提高概率了.再举一道例题.

2.已知直线l⊥平面α,直线m∥平面β,则'αβ'是'lm'(      )

A.充分不必要条件               B.必要不充分条件

C.充要条件                          D.既非充分也非必要条件

 运用Mr.Yang讲的方法,直接排除C、D两个选项,在A、B里面选一个(仅适用于学渣).

正确解法:

∵直线l⊥平面α,αβ,

∴直线l⊥平面β,

又∵直线m∥平面β

lm;但直线l⊥平面α,直线m∥平面β,且lm时,αβ可以相交,

故'αβ'是'lm'的充分不必要条件,选A.

 小技巧2:秒杀三视图

对于高考选择题中三视图求体积或者面积的题,如果三视图中其中两个图为三角形(只看外轮廓线)不管第三个图是什么图形,你可以直接观察四个选项:面积选有2倍关系其中小的那个选项,体积就选成3倍关系小的那个选项.如果没有3倍关系的选项,就选与3有关的,比如分母为3.(注意是椎体).

有人可定会说,这不科学啊,这完全就是蒙啊.Mr.Yang告诉大家,高考的目的是想把考生划分出个369等来,对于三视图这类简单题大家都会做,那考查的就是大家细不细心的问题,在算面积时大家往往会忘记乘以二分之一,算椎体体积时忘记乘三分之一,所以如果三视图问题是算椎体体积,就直接看选项,看看哪两个选项是成三倍的关系,然后在这两个选项里面选择小的那个选项.大家可以试着去验证.


这道题是2012年高考北京卷理科第7题.不用算,观察选项,可以发现A、C有2倍关系,好了,答案直接是是小的那个,A选项.大家可以按正常解法验证答案是否为A.

 立体几何部分的题就先讲这些,如果哪位同学还有问题,可在后台微信Mr.Yang,也可加Mr.Yang的个人扣扣1327291240,在不忙的前提下会一一为你解答.

高考选择题的应对策略

解答高考数学选择题既要求准确破解,又要快速选择,正如《考试说明》中明确指出的,应'多一点想的,少一点算的'. 因此,在解答时应该突出一个'选'字,尽量减少书写解题过程,一定要避免一看到题就蒙头算到底,在对照选项的同时,多方考虑间接解法,依据题目的具体特点,命题人的思路,灵活、巧妙、快速地选择解法,以便快速智取.


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