|
上接第17章专用滤波器17-1 不需要的卷积是传递模拟信息中的固有的问题。例如，下面的所有例子
都可以模化成卷积：照相机晃动造成的图像模糊、长距离电话中的回音、
模拟传感器和电路中的有限带宽等。去卷积是一个过滤信号过程，去掉
不受欢迎的卷积。
去卷积的目的是重建卷积发生之前已经存在的信号。这通常须要知道卷
积的特性（即，脉冲或频率响应）。当寄生卷积的特性不知道时，可以
通过盲目去卷积来识别。盲目去卷积，往往是个没有通解的难题，其方
法是必须根据具体应用问题来调整的。
在时域中，去卷积几乎不可能理解，但在频域中却是直接了当的。包含
原始信号的任何正弦波，当它通过不希望有的卷积后，可以使得其振幅
振幅和相位的变化。
例如，卷积改变了振幅0.5及相位移30度，那么，去卷积滤波器就必须
放大正弦波 2.0 及相位变化 -30
度。
 我们要举的去卷积例子是一个伽马射线检测器。如图17-3所示，设备由
两部分组成：闪烁物和光检测器。闪烁物是个特殊类型的透明材料，例
如碘化钠或锗酸铋，这些化合物受到伽马射线能量就会产生光猝发成可
见光。光又通过光检测器（如光敏二极管或光电倍增管）转换为电子信
号，检测器产生的每个脉冲类似于具有圆角的单侧指数函数。其形状决
定于所用闪烁物的特性。当伽马射线能量存储到闪烁物时，附近的原子
被激发到较高能级。当这些原子随机退激时就产生可见光的单个光子。
最终结果是一个光脉冲，其振幅衰退延续几百纳秒（碘化钠）。由于每
个伽马射线的到来是一个脉冲，所以，检测器输出的脉冲（即，单侧指
数函数）就是系统的脉冲响应。
图17-4 a）表示检测器由于响应随机到来的伽马射线而产生的
脉冲。我
们从这个输出信号所要提取的信息是每个脉冲的振幅，这些振幅则正比
于其来源：伽马射线的能量。这是有用的信息，因为它能够发现伽马射
线从何处发出。例如可以检测病人的疾病信息、遥远星系的年龄、客机
行李中的炸弹等等。
如果仅仅检测伽马射线，没有问题，但情况往往不是这么简单。如图a），
两个或更多脉冲会重叠，移动了被测振幅。解决这个问题的办法是将检
测器的输出信号去卷积，使得脉冲变窄，避免堆积。理想上应该是每个
脉冲都和它的原始脉冲相像。你会猜到，这是不可能的。因此我们只能
期望脉冲的长度有限、而且明显短于被测原始脉冲。
这个目的如图17-4 b）。
 纵然检测器信号在时域有其信息编码，但多数分析必须在频域中进行，
因为在频域中，问题容易了解。图17-5a）是产生于检测器的信号（我
们已知的）。图c）是我们希望得到的信号（也是已知的）。想要得到
的脉冲是任意选定为像布莱克曼窗的外形那样的、其长度为原始脉冲的
三分之一。我们的目的是求滤波器内核e），它与
a）进行卷积时，产生
信号c）。用公式：如果 a * e = c且给定a和c，求e
。
 如果这些信号用加法或乘法来代替卷积，求解就容易多了：减法就用
“反加”除法就用“反乘”。卷积就不同了，它没有简单的逆运算，它叫
“去卷积”。
卷积在时域信号太难进行直接处理。
幸好，在频域中，问题就容易了。记住，某个域中的卷积对应着另一域
中的乘法。再看看图17-5：如果 b × f =
d，且给定b和d，求f。这是很容
易解的题：滤波器的频率响应 f）是所要脉冲的频谱
d）被检测脉冲的频
谱 b）来除。
由于检测脉冲是对称的，必然有非0相位。就是说，必须用复数除法（即 ，
大小和相位除以另一个大小和相位）。如果你忘记了，第9章讲过频谱之
间的复数除法。然后，所要的滤波器内核e）的求法是以专用滤波器方法
（反DFT、位移、删削、乘一个窗）从频率响应中求出。
去卷积能提供的方法是有限制的。换言之，如果你太过贪心，事情就会
崩溃。
在此例中，贪心就是试图使得理想的脉冲极端地窄。我们来看看会发生
什么。如果理想脉冲较窄，则频谱必须包含更高频率的分量。由于高频
分量在检测脉冲中振幅非常低，所以，滤波器必须在这些频率中有非常
高的增益才行。
例如，图 f）表示某些频率必须乘以系数3来达到理想脉冲
图c）。如果
理想脉冲被弄成较窄，去卷积滤波器的增益在高频中就应该较大。
问题在于，在此情况下，小小的误差都是不允许的。例如，某些频率被
放大30倍，实际需要仅28倍，去卷积信号就可能有麻烦。当去卷积被推
到较高功能级别时，考虑到不希望要的卷积特性就必须明白要有较高的
精确度。在现实世界中往往有许多未知的捣蛋鬼，如电噪音、温度漂移、
设备之间的振动等等。这些因素限制了去卷积的工作情况。
甚至尽管如果不需要的卷积已经被充分了解，但仍然有一个因素限制了
去卷积的功能：噪声。例如，多数不需要的卷积，取低通滤波器的形式，
以减小信号中的高频分量的振幅。去卷积则用放大这些频率来纠正，这
些分量的振幅如果降到系统固有的噪声之下，那么包含在这些频率中的
信息就会丢失，即使用再多的信号处理也无法恢复它。斯人一去不回头。
一路平安！再见！萨哟那啦！想要挽回这些数据，只有放大噪声。作为
一种极端的情况，某些频率的振幅降到 0
。不仅抹掉了这些信息，也会
使得去卷积滤波器对这些频率要采用无穷大的增益。解决办法：设计一
个较弱势的去卷积滤波器，与/或对这些频率中的任何一个，限制到多大
的允许增益。
你能走多远？贪心多少才是太贪？总的决定于你所面临的问题。如果信
号良好而噪声又低，有可能得到重大的改善（认为放大系数是5到10）。
如果信号变化不定，或噪声大，就没有那么好（认为系数1到2）。成功
的去卷积包含大量的试验。如果在某个级别有效，就试试再进一步；试
试就知道什么时候会崩溃。再多的理论也不能绕开这种迭代过程。
去卷积也用于频域编码信号。经典例子是修复老唱片--著名歌剧演员恩
里科.卡鲁索(1873-1921)的唱片。这些录音从现在的标准来看是采用很
原始的设备制作的。最大的问题是长长的管状录音喇叭用来收集声音的
共鸣。当歌唱家的声音正好达到共鸣频率时，录音音量就突然增大。数
字去卷积可以改善这些录音的主观质量，减小音乐的过分响亮点。我们
只讲一般方法；参考
理盲目去卷积》（Proc. IEEE, vol. 63,
Apr. 1975, 页次 678-692.）
 图17-6表示总的方法。原始音频信号的频谱例子如图a）。图b）则表示
录音设备的频率响应，比较光滑，除了一些尖锐的共鸣峰值之外。录制
信号的谱如图c)，等于真谱a）乘以不平坦的频率响应b）。去卷积的目
的是消除不必要的卷积。换言之，去卷积滤波器的频率响应d）必须是b）
的逆反。即，b）中每个峰值被d）中的凹谷抵消掉。如果滤波器设计完
美，则结果信号就会有一个与原始信号相同的谱。
这里有隐情：原始录音设备始终被抛弃不管，而其频率响应b）却很神秘。
换言之，这是一个盲目去卷积的问题；仅仅给出c）那么如何能确定d）？
盲目去卷积问题通常对未知参数用估计或假设来解决。在处理这个例子时，
原始音乐的平均谱假定匹配于当今歌手用现代设备进行音乐演出同样的音乐
时的平均谱。平均谱用第9章的技术来求出：将信号劈分为大量的片段，对
每个片段取DFT，转换为极坐标形式，然后总的平均其大小值。最简单的情
况是，未知频率响应取老的录音的平均频谱，用除法，除以现代录音的平均
频谱。（此方法是由Stockham等人用过的基于更先进的技术，叫做同态处
理，提供了一个更好的录音系统特性的估计）。
|
|
|
