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上一集只是介绍了一部分关于群论的知识，还提到了魔群（猛戳查看上一集），但至于到底魔群是什么呢？为了解除心中疑惑，小编继续给你们介绍！ 意料之外的联系 魔群是在1973年被Fischer和Griess分别独立发现的。虽然它是最大的散在单群，但它并不是最后一个被发现的。实际上，“魔群”这个名字就源于它庞大的体积。魔群的准确元素个数是808017424794512875886459904961710757005754368000000000，也就是大概8*10^53个。与之相比，太阳系的原子个数也就是大约10^57个，仅仅高了两个数量级。如果我们用线性空间和矩阵变换来表示魔群的话，我们至少需要一个196883维的线性空间，才能忠实表达魔群的整体结构。这种表达方式又被称为群的线性表示。 也正是由于魔群如此庞大，所以一开始数学家们并没有直接将它构造出来，而只能指出它的存在性。发现魔群的Griess，也要几个月后，才最终把魔群的元素个数计算出来。而魔群的直接构造，要等到9年后的1982年。那年，Griess提出了一个名为Griess代数的代数结构，而魔群恰好就是这个代数结构的自同构群。换句话说，魔群恰好刻画了Griess代数的所有对称性。值得一提的是，Griess代数的维度是196884，比196883多1。 如果说每一族单群和每一个散在单群代表一种对称性的话，那么魔群一定有着非同寻常的对称性。体积如此庞大的群，却仍然是一个不可分解的单群，这本来就是个奇迹；而且与那些成系列的量产型单群不同，它的结构和对称性还是独一无二的。用个物理上不太恰当的比喻，如果第二大的散在单群是一颗无暇的钻石的话，按照比例，魔群大概就是一颗完全由钻石组成的星球，而且透明得能从一边看到另一边的星空。 如果说如此瑰丽的魔群，仅仅是数学中的一个与世隔绝的孤岛的话，那数学之神未免太浪费了。 而此时，在数学的另一个领域——数论，另一群数学家正在研究一些完全不同的东西。 模形式理论是数论的一个分支，它研究的正是模形式。模形式是复平面上满足一定性质的函数，它们跟一类叫“椭圆曲线”的数学对象密切相关。椭圆曲线是平面上的一类曲线，它经过的整点有一种自然的群的结构，而对这些群的结构的研究可以获得整数的很多性质，包括轰动一时的费马大定理的证明。 在模形式理论中，有一个特殊的函数占据着相当重要的地位，它叫j不变量。它的历史也不短，各种性质已经被数学家们研究得相当透彻了，也为模形式理论的发展立下过汗马功劳。它可以干净利落地展开成如下的傅立叶级数，其中每个系数都是整数： 其中是不是有个数字很眼熟？对，就是第二个傅立叶系数196884，正好是Griess代数的维数，也就是魔群的最小忠实线性表示的维数加1。这仅仅是个巧合，还是有某种内在的联系？ 当John McKay在上个世纪七十年代末将这个发现告诉Conway时（顺带一提，这位就是发明“生命游戏”的那个Conway），他们并不认为这是一个单纯的巧合。如果是3或者5这种小数字，那巧合或许还能解释，但196884的话，说是巧合未免过于牵强，“有某种尚未发现的内在联系”这个解释听起来更加合理。Conway和另一位数学家Norton随后发现，j不变量的其它傅立叶系数也与魔群的所谓不可约表示的维数有着紧密的联系：这些傅立叶系数恰好可以表示成不可约表示维数的一些简单的线性组合。这就远远不是巧合能够解释的问题了。 在这些基础上，Conway和Norton提出了他们的所谓“魔群月光猜想”。他们猜想，存在一个基于魔群的无限维代数结构，通过魔群的不可约线性表示，它恰好给出了j不变量的所有傅立叶系数，而魔群每一个元素在这个代数结构上的作用，都自然地给出了与某个群相关的模形式。这其中牵涉到的数学，即使笔者也无从驾驭，需要长时间的学习，方能领会个中美妙滋味。 “魔群月光”这个名字，奇怪地带着些浪漫色彩，但这不过是错觉。“月光”的原文是“moonshine”，在俚语中的意思毫不浪漫，反而是用作形容那些带点疯狂的主意。这就是当时Conway听到这个巧合之时的反应。即使对于最有想象力的数学家来说，要承认数论中被研究得相当透彻的j不变量，与有限群论这个不太相关的领域中新发现的魔群有着这么紧密的联系，这个主意也未免有些疯狂。 但更疯狂的还在后头。 不久，数学家们构造出了一个被称为魔群模（Monster Module）的特殊代数结构，被认为极有可能是满足魔群月光猜想的那个代数结构。要构造这个代数结构，首先要从一个名为Leech格的代数结构开始（顺带一提，这个代数结构有着特殊的对称性，可以构造出数个散在单群），构造一个24维的环面。在这个环面上的玻色弦理论，通过共形场论中的顶点算子来表达，就是魔群模。换句话说，联系着有限群论中的魔群与数论中的j不变量的魔群模，实际上是一个高维空间中的弦理论，表达的是某个高维空间中的可能的物理理论。 数学的两个不同分支，居然通过理论物理被联系了起来。 接下来的事情，就是证明魔群模的确满足了魔群月光猜想。这项工作在1992年由Brocherds完成，证明同时包含了数学和物理，其中用到了弦论中的No-ghost定理来构造证明中必不可少的一个代数结构，Brocherds也由于这个证明获得了菲尔兹奖。通过这个定理架起的桥梁，数学家们也发现了魔群、模函数和弦理论之间更多的千丝万缕的联系。甚至有人过于疯狂地设想，魔群也许就代表着我们这个宇宙终极的对称性。 如果伽罗华仍然在世的话，会对这种柏拉图式的设想有什么看法呢？不过毫无疑问的是，他一定会赞叹他的后继者在他之后，在他铺设的地基上建起的这些晶莹无暇的数学理论。 不应重现的叹息 有限单群分类定理是有限群理论的一块里程碑，标志了我们对所有有限对称性的系统理解的开端。对于魔群的研究，也引发了数学家对散在单群的兴趣。关于有限单群的各种研究，至今方兴未艾。 在这个关于单群的故事中，最值得关注的就是整个故事的起点，也就是伽罗华。他的研究奠定了整个有限单群研究的基础。超越时代的他，活着的时候是个孤独的研究者，但现在，谁谈到群论又能绕过他呢？ 在数学的天空中，伽罗华宛如一颗匆匆划过的璀璨流星。他的身体太单薄，无法承受时代的狂风；但他发出的光芒，照亮了整个天空，被不同的人以不同的形式记录下来，并将长久不息。以他的名字命名的各种数学概念，已经产生了深远的影响。这使人不禁思考：如果没有那场决斗，他将会做出多大的成就呢？然而，历史没有假设。 这使人不禁想起同为法国人的化学家拉瓦锡的遭遇。在拉瓦锡被构陷上断头台后，数学家拉格朗日的叹息是：“砍下这颗头颅只需一瞬，但百年的等待可能仍不足以使其重现。”一根有智慧的芦苇，需要整个社会长期的积淀产生的土壤，方能破土而出。但芦苇总归是芦苇，命运无常，须臾即可毁去；即便是它脚下的土壤，赤炎燎原，十年亦成焦土。伽罗华的悲剧，现在还在很多地方，以不同的形式，或明或暗地上演着。 via：方弦（科学松鼠会） 在此感谢吴帆老师的指正：前晚推送的《撬动数学界的隐士》中小编把佩雷尔曼的父亲弄错了，其父亲是犹太人，一位电子工程师，可惜小编能力有限无法查询到姓名，非常抱歉。 |
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