2014年学而思杯六年级真题及详解(数学)

2014年学而思杯六年级真题及详解(数学)

2014

年六年级学而思综合能力测评（学而思杯）解析

 

一、填空题

A

（本大题共

10

小题．每个小题

5

分，共

50

分）

 

1.

 

下面四个图形中，阴影面积占总面积一半的图形有

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

个．

 

 

①

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

②

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

③

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

④

 

【考点】计算，分数定义

 

【难度】☆

 

【答案】

2 

【分析】图形①和④

. 

 

 

2.

 

杨老师按零售价买了

6

本相同的练习本，用了

24

元．如果按批发价购买，每本将便宜

2

元，这样

可以多买

．．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

本．

 

【考点】应用题，基础应用题

 

【难度】☆

 

【答案】

6 

【分析】零售

6

本

24

元，则每本

4

元，即批发价为

4

2

2

元，可以买

24

2

12

本，多买

6

本

. 

 

 

3.

 

用

2

、

0

、

1

、

4

这四个数字可以组成

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

个没有重复数字的四位数．

 

【考点】计数，乘法原理

 

【难度】☆

 

【答案】

18 

【分析】乘法原理，

3

3

2

1

18

. 

 

 

4.

 

下面的竖式中，被除数是

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

．

 

1

0

6

0

□

□

□

□

□

□

□

□

□

 

【考点】数字谜，除法数字谜

 

【难度】☆

 

【答案】

116 

【分析】

由第三行是

10

得出除数只能是

2

或

5

，

又由于第五行尾数是

6

，那么除数只能是

2

，

第五行是

16

，则商是

58

，被除数是

116. 

 

5.

 

下图中，大长方形的长是

40

厘米，长是宽的

2

倍．那么阴影面积是

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

平方厘米．

（

取

3.14

）

 

 

【考点】几何，圆与扇形，图形的分割与剪拼

 

【难度】☆

 

【答案】

400 

【分析】图形中小正方形边长是

10

厘米，阴影部分正好可以拼成四个小正方形

. 

4

10

10

400

. 

 

 

6.

 

甲、乙两所小学，甲校的人数是乙校人数的

2

5

，甲校的女生人数占全校人数的

40%

，乙校男生人

数占全校人数的

60%

．如果将甲、乙两校合并，女生人数占总人数的

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%

．

 

【考点】应用题，分百应用题

 

【难度】☆

 

【答案】

40% 

【分析】

设甲乙两校人数分别为

2

份和

5

份，

则女生共

2

40%

5

(1

60%)

2.8

，

占

2

.

8

(

2

5

)

4

0

%

. 

 

 

另外，实际上，从甲乙两校女生都占各自的

40%

即可得出结论

. 

 

 

7.

 

下图中，长方形

ABCD

的长为

16

厘米，宽为

10

厘米，

E

、

F

分别是

AB

、

BC

的中点，那么，三角

形

DEF

的面积是

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

平方厘米．

 

F

E

D

C

B

A

 

【考点】几何，三角形面积

 

【难度】☆☆

 

【答案】

60 

【分析】用总面积减去三个白色三角形的面积，

1

1

1

16

10

16

5

8

10

8

5

60

8.

 

某项工程，如果甲单独做，

12

天完成；如果乙单独做，

24

天完成；如果要求

10

天完成任务，并

且要求甲、乙两人合作的时间尽可能少，那么甲、乙合作

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

天．

 

【考点】应用题，工程问题

 

【难度】☆☆

 

【答案】

4 

【分析】设工总

24

份，则甲每天做

2

份，乙每天做

1

份，尽量不合作的话则尽量让做得多的甲做，即

全程只有两种状态：甲做、甲乙合作，则甲

10

天都在做，共做

20

份，乙需要做

4

份，即合作

4

天

. 

 

 

9.

 

将

8

个相同的球分给甲、

乙、

丙、

丁、

戊五个小朋友，

每人得到

1

个球或

2

个球，

那么共有

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

种

分法．

 

【考点】计数，排列组合

 

【难度】☆☆

 

【答案】

10 

【分析】有

2

人得到

1

个球，

3

人得到

2

个球，

2

5

C

10

. 

 

 

10.

 

将

5

个自然数排成一列，从第三个数开始，每个数等于前面两个数的和，那么这

5

个数中，最多

有

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

个质数．

 

【考点】数论，质数与合数，数论中的最值

 

【难度】☆☆☆

 

【答案】

4 

【分析】注意到

2

、

3

、

5

、

8

、

13

中有

4

个质数，接下来论证不可能有

5

个质数

. 

 

 

由于第三个数加第四个数等于第五个，这三个数不能都是奇数，必有一偶，这个偶数如果是

2

的

话则它前面的数必然不能都是质数，所以这

5

个数不可能都是质数

. 

 

 

二、填空题

B

（本大题共

5

小题．每个小题

8

分，共

40

分）

 

11.

 

两位数

ab

比一位数

a

少

1

个约数，那么

ab

最大是

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

．

 

【考点】数论，数论中的最值

 

【难度】☆☆

 

【答案】

97 

【分析】极端分析，

9

a

有三个因数，则

ab

有两个因数，只能是个质数，

97. 

12.

 

将

10

个棱长为

1

厘米的立方体如下图摆放，

那么，

这个立体图形的表面积是

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

平方厘米．

 

 

【考点】几何，立体图形三视图

 

【难度】☆☆

 

【答案】

36 

【分析】画出三视图，三个方向的面积都是

1

2

3

6

，

(6

6

6)

2

36

. 

 

 

13.

 

甲乙两车分别从

A

、

B

两地同时出发，

相向而行．

出发时，

甲、

乙两车的速度之比是

5:

4

，

相遇后，

甲的速度增加

20%

，乙的速度增加

50%

，他们到达目的地后都立即返回，再次相遇的地点距离第

一次相遇地点

20

千米．那么，

A

、

B

两地的距离是

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

千米．

 

【考点】行程，比例法解行程，多次相遇

 

【难度】☆☆☆

 

【答案】

180 

【分析】相遇后两人的速度比变为

[5

(1

20%)]:[4

(1

50%)]

6:

6

1:1

，将全程分为

9

份，则第一

次相遇两人共走

9

份，其中甲走了

5

份，第二次相遇两人共走

18

份，其中甲走了

9

份，即第二次

相遇时甲共走

5

9

14

份，两次相遇地点相距

1

份，所以全程距离为

2

90

180

千米

. 

 

 

14.

 

有一个三位数

abc

，满足如下性质：由

a

、

b

、

c

所组成的没有重复数字的三位数中，最大的三位数

与最小的三位数之差恰好等于

abc

．那么，这个三位数

abc

是

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

．

 

【考点】数论，位值原理

 

【难度】☆☆☆☆

 

【答案】

495 

【分析】如果

a

、

b

、

c

中没有

0

，设最大三位数

M

xyz

，则最小三位数

N

zyx

，

99(

)

M

N

x

z

，

即

99(

)

abc

x

z

是

99

的倍数，

注意其中

x

是

a

、

b

、

c

最大的一个，

而

z

是

a

、

b

、

c

中最小的一个，

枚举

99

的倍数，有

495

99

(9

4)

满足条件；

 

 

如果

a

、

b

、

c

中有一个

0

，设最大三位数

0

M

xy

，则最小三位数

0

N

y

x

，

99

90

M

N

x

y

，

即

99

90

abc

x

y

，注意其中

a

、

b

、

c

中有一个

0

，另外两个分别为

x

和

y

（

x

y

），通过枚举

x

来算出

c

，发现没有符合条件的三位数；

 

 

如果

a

、

b

、

c

中有一个

0

，则只能组成一个三位数，显然不满足条件

. 

 

 

综上，只有一个三位数

495

满足条件

. 

 

 

15.

 

将一张正方形纸片，按下图方式进行操作：将正方形的四个顶点向内折叠至正方形中心，然后将

新得到的图形的四个顶点再次向内折叠至中心．最后将纸片完全展开，原正方形四条边与所有折

痕所组成的新图形中，共有

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

个正方形

．．．

．

 

第二次向内折：

第一次向内折：

？

展开

 

【考点】计数，几何计数

 

【难度】☆☆☆☆

 

【答案】

11 

【分析】展开后的图形如图所示：

 

 

计数其中正方形的个数，共有

11

个

. 

 

 

第

II

卷（解答题

 

 

共

60

分）

 

三、解答题（本大题共

5

题

. 

解答过程请写在答题纸上、试卷作答无效

）

 

16.

 

计算及解方程（每题

4

分、共

16

分）

：

 

（

1

）

3

3

4

3

4.4

16

2

4

8

15

 

（

2

）

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

6

8

10

12

14

16

 

（

3

）

1

1

9

1

6

12

20

30

 

（

4

）

1

29

1

2

12

x

x

 

【考点】计算，分数计算，公式类计算，裂项计算，分数方程

 

【难度】☆☆

 

【答案】

30

、

816

、

1

2

、

5

x

 

【分析】（

1

）

3

3

4

15

15

32

3

4.4

16

2

(4.4

2)

6

6

24

6

30

4

8

15

4

4

5

 

 

（

2

）

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

4

6

8

10

12

14

16

2

8

9

17

816

6

 

 

 

或

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

6

8

10

12

14

16

4

16

36

64

100

144

196

256

816

 

 

（

3

）

1

1

9

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

6

12

20

30

2

3

3

4

4

5

5

6

2

4

4

3

3

6

2

 

 

 

或

1

1

9

1

1

9

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

6

12

20

30

12

20

30

3

4

4

5

5

6

3

6

2

 

 

 

或

1

1

9

1

10

5

27

2

1

6

12

20

30

60

60

60

60

2

 

 

（

4

）

1

29

1

6(

1)

(29

)

12

7

35

5

2

12

x

x

x

x

x

x

 

 

17.

 

列方程（组）解应用题（

6

分）

 

小英的玩具个数是小丽的

5

倍，

如果小英把

6

个玩具送给小丽，

那么小丽的玩具个数就是小英的

2

倍了．请问：小英、小丽原来各有玩具多少个？

 

【考点】应用题，列方程（组）解应用题

 

【难度】☆☆

 

【答案】

10

、

2 

【分析】标准格式如下

 

解：设小丽原有

x

个玩具，则小英原有

5

x

个玩具，

 

 

根据题意，得

 

 

 

 

 

6

2(5

6)

x

x

 

 

解得

 

 

2

x

 

 

 

 

 

 

 

5

5

2

1

0

x

 

答：小英原有

10

个玩具，小丽原有

2

个玩具

. 

 

 

18.

 

如果一个数能被它前两位数字按序组成的两位数整除，

则称这个数为

“

好数

”

．

例如：

120

的前两位

数字按序组成的两位数是

12

，

120

能被

12

整除，所以

120

是

“

好数

”

．请问：

 

（

1

）四位数中，最小的

 

“

好数

”

是多少？（

4

分）

 

（

2

）若存在连续

98

个自然数都不是

“

好数

”

，那么这

98

个数中，最小的那个数最小可能是多少？

（

6

分）

 

【考点】数论，数论中的最值

 

【难度】☆☆☆

 

【答案】

1000

、

9901 

【分析】（

1

）极端分析，

1000

能被

10

整除

. 

 

 

（

2

）注意到

0

xy

、

00

xy

都是好数，所以这连续

98

个数至少是

4

位数，由于连续

n

个自然数中必

然有一个数能被

n

整除，

所以这些数的前两位不能是

10~98

，

所以最小的情况只可能是

9901~9998. 

 

 

 

19.

 

请回答下列问题：

 

（

1

）是否能将

1

～

8

排成一个圈，使得相邻两个数字的和都是一位数？如果能，请写出一种，如

果不能，请说明理由．

（

3

分）

 

（

2

）请将

1

～

8

从左到右排成一行，使得相邻两个数字的和都是一位数．写出

1

种即可．

（

3

分）

 

（

3

）第

2

问中，将

1

～

8

从左到右排成一行，相邻两数字之和都是一位数，那么共有多少种不同

的排法？（

6

分）

 

【考点】组合，计数，构造与论证

 

【难度】☆☆☆

 

【答案】不能、

81634527

、

16 

【分析】（

1

）不能，因为

8

要和两个数相邻，而

8

只有和

1

相邻才能得出一位数的和

. 

 

 

（

2

）所有情况如下：

 

 

81634527 

81635427 

81453627 

81543627 

 

 

72634518 

72635418 

72453618 

72543618 

 

 

81726345 

81726354 

81724536 

81725436 

 

 

63452718 

63542718 

45362718 

54362718 

 

 

（

3

）

81

一定在一侧，即

81

（左右可颠倒，

2

种情况），剩余的

6

个格中，

7

一定在

最左或最右，且只能与

2

相邻，

2

种情况，剩余的

4

个格中，

6

一定在最左或最右，且只能与

3

相

邻，

2

种情况，最后

4

和

5

随意排，

2

种情况，共

2

2

2

2

16

种

. 

 

 

20.

 

如图，大正方形格板是由

64

个

1

平方厘米的小正方形铺成的，

A

、

B

、

C

、

D

是其中四个格点．

AD

与

BC

相交于点

E

．

 

E

B

D

A

C

 

（

1

）三角形

ACD

的面积是多少平方厘米？（

4

分）

 

（

2

）在其它格点中标出一点

F

，使得三角形

ABF

的面积恰等于

2

平方厘米，这样的点

F

共有几

个？（

4

分）

 

（

3

）

:

CE

EB

是多少？（

4

分）

 

（

4

）三角形

ABE

的面积是多少平方厘米？（

4

分）