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| 专题一 |
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选填题是一种题型小，知识覆盖面大,解法灵活的试题。要想正确迅速地解答,一方面要有坚实的基本功,另一方面要养成认真审题的习惯,充分利用题目本身结构特征,选取合理解答方案。4【解析】本题如果利用导数研究函数的单调性，再求最值，则求解过程复杂繁琐．结合式子本身的特征，可以先根据已知确定m的值，再将分子化成定值，构造出利用均值不等式求解最值的式子，即可得到结果．由已知可得f(4)＝4，第1讲选择题、填空题的解法选择题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选择支两方面的条件所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏．初选后认真检验，确保准确．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技巧．总的来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做．方法四数形结合法(图解法)方法一直接法方法二特例法方法三排除法(筛选法)方法五估算法目录页例1数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝，且对任意正整数m、n，都有am＋n＝am·an，若Sn0，排除B；当x＝π时，y＝0，可排除C；故选A.答案A例4函数f(x)＝＋2cosπx(－2≤x≤4)的所有零点之和等于()A.2 B.4 C.6 D.8h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)，又x＝1也是函数h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)的对称轴，所以函数g(x)＝(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)的交点也关于x＝1对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.答案C例5解析如图，当△ABC为正三角形时，A＝B＝C＝60°，取D为BC的中点，，答案A例6解析如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形．阴影部分面积比1大，比S△OAB＝×2×2＝2小，故选C项．答案C例7解析利用同角正弦、余弦的平方和为1求m的值，再根据半角公式求tan，但运算较复杂，试根据答案的数值特征分析．由于受条件sin2θ＋cos2θ＝1的制约，m为一确定的值，进而推知tan也为一确定的值，又<θ<π，答案D例8其所表示的图形是以原点O为圆心，1为半径的上半圆(如图所示)．由题意及图形，知直线l的斜率必为负值，故排除A，C选项．答案B当其斜率为－时，直线l的方程为x＋y－＝0，点O到其距离为＝>1，不符合题意，故排除D选项．选B.例9(1)已知a，b，c是直线，β是平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥β，b?β，则a∥b；④若a与b是异面直线，且a∥β，则b与β相交．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4A【解析】①中a⊥b，b⊥c，则a与c可能平行，相交或异面；②正确；③中a与b可能平行或异面；④中b与β可能相交，平行或b?β.故选A.例8(2)如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P、Q满足A1P＝BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为()A．3∶1 B．2∶1 C．4∶1 D.∶1解析将P、Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，则有，故选B.BB例9例10C【解析】取a＝2验证满足题意，排除A、D，取a＝－2验证不满足题意，排除B，故选C.基于填空题的特点，考生在答题时：一方面必须严肃认真，不能有任何差错；另一方面，也要追求快捷解法，提高解题效率．解答填空题的基本要求是：“正确、合理、迅速”．一般来讲，每道题都应力争在1～3分钟内完成．填空题缺少选项提供的目标信息，结果正确与否难以判断，一步失误，全题零分．准确快速答好填空题，基本策略是在“巧做”二字上下工夫，基本方法有：直接求解法，图象法和特例法(特殊值法，特殊函数法，特殊角法，特殊数列法，图形特殊位置法，特殊点法，特殊方程法，特殊模型法等)，归纳法等．其难度不低于选择题，但对考生基本功的考查，又高于选择题的要求．【解析】令a＝－1，b＝，
则ab＝－，ab2＝－
显然－＞－＞－1
故ab2＞ab＞a，选B.
(1)若函数f(x)＝m＋(x－3)的图象恒过点(4，4)，则g(x)＝的最大值是____．故m＋＝4，解得m＝4.故g(x)＝＝＝，因为4＞0，所以4＋＝4(当且仅当4＝，即x＝＝时等号成立)，所以g(x)≤＝4，即g(x)的最大值为4.(1)在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，＋＝6，则＋＝____．【解析】令A＝B(即a＝b)，则C＝，＝＝，＝，＝＝＝又＝2，所以＋＝4.(2)已知函f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f()＝____．【解析】因为xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，所以＝，使f(x)特殊化，可设f(x)＝xg(x)，其中g(x)是周期为1的奇函数，再将g(x)特殊化，可设g(x)＝，则f(x)＝x，f(x)＝x满足题意，则f()＝0.2．如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是()
A．圆
B．椭圆一条直线两条平行线
【解析】当P在无穷远处时，点P到AB的距离是无穷大，又AB长为定值，故面积也无穷大，所以、D不正确，可排除．又设AB边上的高为h，则h为定值，当APAB时，AP＝h，否则AP>h，所以点P的轨迹不可能是圆，可排除故选
【解析】不妨设a＜b＜c.取f(a)＝f(b)＝f(c)＝a＝，b＝，c＝11从而abc＝11，选3．数形结合法(1)已知函数f(x)＝且关于x的方程(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是____________
【解析】由于无法直接求出方程(x)＋x－a＝0的实根，所以把方程的实根问题转化为函数y＝(x)与y＝a－x的图象交点问题，进而利用函数图象直接方程f(x)＋x－a＝0的实根也就是函数y＝f(x)与y＝a－x的图象交点的横坐标，如图所示，作出两个函数的图象，显然当a≤1时，两个函数的图象有两个交点；当a＞1时，两个函数图象的交点只有一个，所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．(2)定义在区间(0，)上的函数y＝6的图象与y＝5的图象的交点为P，过点P作PP轴于点P，直线PP与y＝的图象交于点P，则线段P的长为_______
【解析】此题考查三角函数图象和同角三角函数关系，涉及图象问题，应运用数形结合思想进行转化．如图所示，线段P的长即为的值，且其中的x满足6＝5，解得＝，即线段P的长为4．综合法(1)关于x的不等式a(2－ax)<0在[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为______________．【解析】设f(x)＝(2－ax)，注意到01时，f(x)为减函数，f(x)的最大值为f(1)．当00在[1，2]上恒成立，则有2－2a>0，得a<1，则所求a的取值范围为(0，)．【点评】由于“一次函数和常函数在区间上的图象是一条线段”，故它们在区间上的最值问题只需研究区间端点的函数值的符号，就可确定其在区间上的性质．本题在求解时往往由于忽视定义域，缺少“内层的值域必须在外层的定义域内”的认识而错得a∈0，)∪(1，＋∞)．(2)已知k是常数，若双曲线＋＝1的焦距与k的取值无关，则k的取值范围是__________．【解析】∵(k－5)(2－|k|)<0，或0≤k<2或－25或0≤k<2时，＝a＋b＝|k－5－2＋k|＝|2k－7|，与题意不符，故舍去；当－2b>0)，焦点在x轴上且c＝a－b(c为半焦距)，焦点(±c，0)，＋＝1(a>b>0)，焦点在y轴上且c＝a－b，焦点(0，±c2)双曲线－＝1(a>0，b>0)，焦点在x轴上且c＝a＋b，焦点(±c，0)，－＝1(a>0，b>0)，焦点在y轴上且c＝a＋b，焦点(0，±c)．1．已知函数f(x)＝的图象是一条连续不断的曲线，则函数f(x)的图象在x＝处的切线的倾斜角为()
A.B.C.D.
【解析】先根据条件“连续不断”求m，再利用导数求切线的斜率，然后确定倾斜角的大小．由已知可得f(0)＝2，则m＝2，所以m＝2，则x>0时，f′(x)＝－2，所以f′()＝－1，即切线的斜率为－1，所以切线的倾斜角为，故选
3．函数f(x)的图象是如图所示的折线段OAB，点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(3，0)，定义函数g(x)＝f(x)·(x－1)，则函数g(x)的最大值为()
A．0B．1C．2D．4
【解析】由图可知f(x)＝，所以g(x)＝当0≤x<1时，g(x)≤0；当1≤x≤3时，g(x)＝g(2)＝1，故选
4．若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边的比值为m，则m的取值范围为()
A．(1，2)．(2，＋∞)[3，＋∞)．(3，＋∞)
【解析】考虑直角30°，60，90的情形，则最大边与最小边的比值为2，用运动变化的观念将直角变为钝角有m>2，故选
5．已知向量集合M＝{a|a＝(1，2)＋λ(3，4)，λR}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ(4，5)，λR}，则M∩N＝()
A．{(1，1)}．(1，1)，(－2，－2)}(－2，－2)}．
【解析】方法一：验证向量a＝(1，1)和(－2，－2)是否是M、N中的元素，可排除、B、D，故选方法二：数形结合，M表示过点(1，2)，斜率为的直线，N表示过点(－2，－2)，斜率为的直线，其交点为(－2，－2)，故选
6．a，b，c分别是方程x＋＝3，x＋＝3，x＋＝1的解，则a，b，c的大小关系为()
A．b>a>cB．c>a>b
C．a>b>cD．c>b>a
【解析】注意函数方程之间的对应关系，方程根的问题转化为两函数图象的交点问题，特别是对含指数和对数方程的问题，利用对数图象的分布规律寻求简化的思维切入点，如图在同一坐标系下作出y＝1－x，y＝3－x，y＝，y＝的图象，注意对b>a>c＝1，故选
7．i是虚数单位，复数()的值为()
A．1B．iC．－－1
【解析】＝＝＝故()＝＝，选
8．设不等式组，所表示的区域为A，现向区域A中任意丢进一个粒子，则粒子落在直线y＝上方的概率为____．
【解析】由不等式组画出可行域是边长为2的正方形，其面积为4.
又阴影部分的面积为4－＝3，故该粒子落在直线y＝上方的概率为
9．根据下面的程序框图，若输入a＝4，n＝3，则输出a＝____，i＝____．
【解析】显然i＝3时，a能被n整除，此时循环体运行3次，＝4×1＝4，i＝2→a＝4×2＝8，i＝3→a＝8×3＝24，输出结果a＝24，i＝3.
10．若f(x)＝a(x＋)＋b(x－)ab≠0)是偶函数，则有序数对(a，b)可以是__________(写出你认为正确的一组数字即可)．
【解析】(特例法)因为f(x)是偶函数，则f()＝f(－)，所以a＋b＝a＋b(－)，即a＝－b，所以a，b互为相反数且不为0.
11．三棱锥O－ABC中，已知OA、OB、OC两两垂直，且OA＝2，OB＝3，OC＝4，则三棱锥O－ABC的外接球的体积是____________，球的表面积是______．
【解析】由已知可知，三棱锥O－ABC的外接球即以OA、OB、OC为共顶点的三条棱的长方体的外接球，其直径即为长方体对角线长．所以2R＝＝，所以V球＝＝，S＝4＝29
12．给出下列命题圆(x＋2)＋(y－1)＝1关于点M(－1，2)对称的圆的方程是(x＋3)＋(y－3)＝1；椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为y＝±；顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过(－4，－3)的抛物线方程只能是y＝－；④P、Q是椭圆x＋4y＝16上两个动点，O为原点，直线OP、OQ的斜率之积为－，则|OP|＋|OQ|等于定值20.把你认为正确的命题的序号填在横线上________．
【解析】逐个判断：(－2，1)关于M(－1，2)的对称点应为(0，3)，故不正确；3m2－5n＝2m＋3n，所以m＝8n，故双曲线渐近线方程为y＝±＝±，正确；对称轴可为x轴，也可为y轴，即还可以是x＝－，故不正确；设P(x，y)，Q(x，y)，OP的斜率为k，则OQ的斜率为－，所以y＝kx，y＝－由x＋4y＝16，得x＝；由x＋4y＝16，得x＝，所以|OP|＋|OQ|＝x＋x＋y＋y＝16＋4－＋4－＝24－(x＋x)＝20故正确，所以选.
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