利用欧拉公式（多面体的顶点数为V，面数为 ，棱数为  。满足  ）推导： （1）正多面体不超过  种； （2）足球由  个正五边形和  个正六边形构成．  证明 （1）假设正多面体的每个面都是正  边形，且每个顶点出发的棱数为  ，那么  于是  代入欧拉公式，有 也即 因此 结合 可知 至少有一个是 ，因此所有可能的正整数解 为 共 组，因此正多面体不超过 种． 事实上，这五种正多面体都可以作出，分别为正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体，如图． （2）假设足球由 个正五边形（黑色）和 个正六边形构成，那么 代入欧拉公式并化简可得 另一方面，考虑所有正五边形的边数之和，有 从而根据两个方程可以解得 因此命题得证． 关于数海拾贝 “数海拾贝”由中国最顶尖的高中数学教研老师兰琦和金叶梅主编。第一个栏目《每日一题》，每天精选一道高中数学好题，从破题的思路，图文并茂的讲解到精辟到位的总结，同学们每天只要花上10分钟认真阅读和思考，一定能在两三个月获得明显的进步，在高考中取得好成绩。如果您想表达自己独到的见解（或有意见及建议） |
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