十几道难度大的早期平面几何题
1、已知∶如图FG是⊙O的弦，E是FG的中点，
过E的作两弦AC、BD，ACBD交FG于K、H.
求证∶EK=EH(蝴蝶定理)
2、已知∶如图AB是⊙O的直径，直径上有两点
M、N且MO=NOP是AB上的一点.
求证∶CF是⊙O的切线
3、已知∶如下左图所示⊿ABC中AC=BC∠C=30°
∠BAN=50°∠ABN=60°
求证∶∠BMN=30°
4、已知∶如图锐角三角形⊿ABC,在AB、AC上向外作正⊿ABE和正⊿ACF取AE中点M，FC中点N，D为BC上的一点且BD=3DC
求证∶⊿MDN的三内角分别为90°、60°、30°
5、已知∶如图梯形ABCD中∶DC∥ABAF=DC且
求证∶(1)BE=GD
(2)若ABC的面积为S，求以CF、BE、AG
为三边的三角形面积
6、已知∶AB是⊙O的直径,AD=aDC=bBC=c
四边形ABCD内接于⊙O
求证∶AB是方程
7、已知∶如图在直角梯形ABCD中∠B=∠C=Rt∠
AB=a,BC=b,CD=c,A是⊙O的直径.
求证∶tg∠BAE和tg∠BAF是方程
8、已知∶如图AB是⊙O的直径,M是OA的中点,
EDC⊥AB于M,ED=CD,EG切⊙O于G
连BE交⊙O于F.
求证∶BM=(2)EG=9、已知∶如图四边形BGEC中∠EBC＝30°∠GEB＝13°
∠BCG＝26°∠GCE＝51°∠BEC＝73°
求∶∠BGC的度数。10、如上右图AD是⊿ABC的角平分线，
AM是中线，CG⊥AD于E，
交AM于F，
求证∶FD∥AC
∶
1、简证∶作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N
连OE、OK、OH
则OE⊥FGOMKE共圆ONEH共圆
⊿AEB∽⊿DCE∠B=∠C
则⊿BME∽⊿CNE∠BME=∠CNE
又∠BME=∠KOE∠CNE=∠HOE
Rt⊿KOE≌Rt⊿HOEKE=EH
2、简证∶过E作EK∥AB交PF、PG于H、K
取EG的中点D,连DO、DH、DF、EF
先证MO=ONMN∥EK
则EH=HKED=DG∴HD∥KG
∴∠EFH=∠G=∠EDH
故EFDH四点共圆则∠OFD=∠HED=∠OCG
∴OCFD四点共圆则∠CFP=∠CDO=Rt∠
∴PF⊥CF又F在⊙O上
∴CF是⊙O的切线.
3、简证∶作∠MAE=60°交BC于E交BM于D，
连EM、DN则可得:
⊿ABD和⊿DME都是正三角形.
∴AD=BD=ABMD=ME=DE
4、简证∶作NH⊥AC于H，连HM、AN
则⊿CAN和⊿NHC均为含有30°角的直角三角形.
则
∴HD∥AB
∠MAN=∠NHD⊿MAN∽⊿NHD∴DN=
∠MND=∠ANH=60°
则⊿MDN是直角三角形∴⊿MDN的三内角分别为90°、60°、30°.5、简解∶(1)连DE并延长与AB交于P,
(2)由可知
连BD
∴∵CF=ADBE=GD
故所求三角形面积=
==S－6、简证∶∠BCE=∠DABRt⊿CEB∽Rt⊿ADB
∴
cos∠DCB=－cos∠EDB=－
∴∴
故AB是方程
7、证明∶作OM⊥EF于M,则EM=FM
故OM是直角梯形的中位线.∴BF=FC
设CD交⊙O于N连AN
∵AB是⊙O的直径.则ANCD∴AN∥BC
∴CN=ABCF·CE=CN·CD=AB·CD=a·c
∵tg∠BAE=tg∠BAF=
∴tg∠BAE＋tg∠BAF=
tg∠BAE·tg∠BAF=
∴tg∠BAE和tg∠BAF是方程
8、解∶(1)连OD,OM=MA==∠ODM=30°
又MD=MC=∴
∴∠BEM=∠ODM=30°则BM=
(2)EG切⊙O于G,∴=EF·EB
∵BE=2BM=∴EF=
又
∴
9、解∶作E关于BC的对称点D，连BD、CD，∠EBC＝30°
故⊿BDE是等边三角形。
作CA∥BD交EG于A，过AB、CD
由对称性可知∶⊿EAB≌⊿ECD
∴∠GAB＝∠AEB＋∠ABE＝13°＋13°＝26°
∵∠GCB＝26°∴A、G、B、C四点共图
∴BGC＝BAC＝180°－60°－13°＝107
10证明∶
|
|
