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数学思想方法是数学知识和技能的本质体现，熟练掌握并灵活运用数学思想方法，可以有效提高分析问题和解决问题的能力，增强数学应用意识． 1．函数模型思想 所谓函数模型思想，就是运用运动变化的观点来研究实际问题中两个变量之间的关系，并通过建立函数模型，利用函数的有关性质解决问题的方法． 例1 某报亭从报社买进某种日报的价格是每份0.30元，卖出的价格是每份0.50元，卖不出的报纸可以按每份0.10元的价格退还给报社．经验表明，在一个月（30天）里，有20天每天只能卖出150份报纸，其余10天每天可以卖出200份．设每天从报社买进报纸的份数必须相同，那么这个报亭每天买进多少份报纸才能使每月所获利润最大？最大利润是多少？ 分析：本题中的数据信息较多．通过阅读理解题意，弄清各个量之间的关系并明确自变量的取值范围，是解决这一问题的关键． 解：设该报亭每天从报社买进x份报纸，所获月利润为y元．由题意得 y=（0.50-0.30）x·10+（0.50-0.30）·150·20-（0.30-0.10）（x-150）·20（150≤x≤200）． 即y=-2x+1200（150≤x≤200）． 因为该函数当150≤x≤200时，y随x的增大而减小， 所以当x=150时，y有最大值， 其最大值为：-2×150+1200=900（元）． 即报亭每天从报社买进150份报纸时，每月所获利润最大，最大利润是900元． 2．数形结合思想 所谓数形结合，就是根据数学问题中条件与结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系与几何图形巧妙地结合起来，通过“形”来直观地表达“数”，利用“数”来精确地研究“形”，从而使问题得到解决的方法． 例2 某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务．甲种使用者每月需缴15元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.3元；乙种使用者不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元．若一个月内通话时间为x分钟，甲、乙两种的费用分别为y1元和y2元． （1）试分别写出y1、y2与x之间的函数关系式； （2）在同一坐标系中画出y1、y2的图象； （3）根据一个月通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠? 分析：这是一道实际生活中的应用题，解题时，必须对两种不同的收费方式仔细分析、比较、计算，方可得出正确结论. 解：（1）由题意可求出y1=15+0.3x（x≥0），y2=0.6x （x≥0）. （2）在同一直角坐标系中画出函数y1、y2的图象（如图所示），它们的交点是（50，30）． （3）由图象可知： 当一个月通话时间为50分钟时，两种业务一样优惠； 当一个月通话时间少于50分钟时，乙种业务更优惠； 当一个月通话时间大于50分钟时，甲种业务更优惠． 3．转化思想 即通过某种转化过程，把要解决的问题，归结为已经解决或易于解决的问题，从而使原来的问题得到解决．数学中的转化思想无处不在，如，将陌生问题熟悉化、将实际问题数学化、将复杂问题简单化、将抽象问题具体化以及解题时从条件到结论的过程等，都体现了转化思想的应用． 例3 某送奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A楼、B楼、C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40米，B楼与C楼之间的距离为60米．已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，要使每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小，取奶站应建在什么位置？ 分析：解决这一实际问题的关键，是将其转化为一次函数问题，从而将距离之和最短的几何问题转化为求一次函数的最小值问题． 解：设取奶站应建在距A楼x米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y米． ①当取奶站建在A、B楼之间，即0≤x≤40时， y=20x+70（40-x）+60（100-x）=-110x+8800，因为y随x的增大而减小，所以当x=40时，y的最小值为4400； ②当取奶站建在B、C楼之间，即40＜x≤100时，y=20x+70（x-40）+60（100-x） =30x+3200， 因为y随x的增大而增大，所以，此时y的值大于4400． 因此，要使每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小，取奶站应建在B楼处． 4.待定系数法 要确定一个代数表达式，可以先用字母表示出式子中未知的系数，再根据条件求出未知的系数，从而确定代数表达式，这种方法叫做待定系数法. 例4 已知弹簧的长度y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm，挂4kg的重物时，弹簧的长度是7.2cm，求这个一次函数的表达式. 分析：题中并没给出一次函数的表达式，因此应设一次函数的表达式为y=kx+b，再由已知条件可知，当x=0时，y=6；当x=4时，y=7.2.求出k,b即可. 6=0+b, 2=4k+b, 解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b.由题意可知，当x=0时，y=6；当x=4时，y=7.2.把它们代入y=kx+b中得6=0+b,7.2=4k+b 所以k=0.3,b=6 . 所以这个一次函数的表达式为y=0.3x+6. |
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