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第34期三角形内角平分线与外角平分线相交

 xyz3i 2016-06-23
角形中,角的数量关系一般考虑内角和定理,在加上角平分线之后,我们会发现很多有意思的数量关系,让我们一起去探索吧。
知识准备
(1)三角形的内角和定理:三角形的内角和为180°。如图,△ABC中,∠A ∠B ∠C=180°.
(2)三角形的外角的性质:三角形一个外角等于不相邻的两个内角之和。
如图,∠ 1是△ABC的一个外角,则∠ 1=∠ A ∠B
(3)邻补角的角平分线互相垂直,如图,OE与OF分别是一组邻补角∠AOC与∠BOC的平分线,则OE⊥OF.
1
两内角平分线相交
例1
如图,△ ABC中,∠A=80°,∠ABC与∠ ACB的平分线交于O,求∠ BOC的度数.
解析:
想求∠ BOC的度数,考虑使用三角形内角和定理,如图
则只需要求出∠1 ∠2的度数。
∵OB平分∠ABC,OC平分∠ ACB
∴∠1=1/2∠ ABC,∠2=1/2∠ ACB
∠1 ∠2=1/2(∠ ABC ∠  ACB)
=1/2(180°-∠A),
在△ BOC中,
∠ BOC=180°-(∠1 ∠2)
=180°-[1/2(180°-∠A)]
=90° 1/2∠A
这个结论对于任意的∠ A都成立,所以此时∠ BOC=90° 1/2*80°=130°.
这里,我们得出了一个三角形中,两内角平分线所成的角与另一个内角的数量关系:
2
一内角平分线与一外角平分线相交
例2
如图,△ABC 的一个内角的平分线PB与一个外角的的平分线PC交于P,已知,∠ A=60°,求∠P的度数.

解析:
此题很多书上都介绍了一种证明方法,就是直接利用三角形外角之间的关系进行代换,这里我们介绍另一种办法,在例1的基础上,我们已经知道了两内角平分线所成的角与另一个内角的数量关系,
作∠ ACB的平分线与PC交于O,则∠ BOC=90° 1/2∠A,此时∠ BOC也是△PCO的一个外角,∠ BOC=∠PCO ∠P,根据知识准备3,∠PCO=90°,则
∠ BOC=90° ∠P,而∠ BOC=90° 1/2∠A,所以∠P=1/2∠A.则∠P=1/2×60°=30°.
这里,巧妙借助第一种情况的结论,利用三角形外角的性质得到了三角形一个外角的平分线与一个内角平分线相交所成的角与三角形另一个角的数量关系
3
两外角平分线相交
例3
△ABC的两外角∠ CBD与∠ BCE的平分线交于点P,求∠ P与∠A的数量关系.
解析:
能否再次借助例1所得的数量关系呢?不妨作出∠ABC与∠ACB的平分线,交于O,
则由例1可得∠ BOC=90° 1/2∠A,由知识准备3,∠ OBP=∠OCP=90°,在四边形OBPC中,由内角和定理,可得∠P ∠OBP ∠OCP ∠BOC=360°,∠P=90°-1/2∠A.
这里,我们得出了一个三角形中,两外角平分线所成的角与另一个内角的数量关系:
中考直击
(2013 四川达州) 
如图,在△ ABC中,∠ A=m°,∠ ABC与∠ ACD的平分线交于点A1,得∠A1;∠ A1BC与∠ A1CD的平分线交于A2,得∠ A2,……,∠ A2012BC和∠ A2012CD交于点A2013,则∠A2013=________.

后记:数学学习过程中,尝试从不同的角度去思考同一个题目,往往会出现一题多解,而从同一个角度去解决相关的题目,体现多题一解的思想。个人认为多题一解比一题多解更好,体现了化归的思想,把不同的但有些相关的题目寻求同一种或者类似的方法去解决。学习中我们要有意识地这样去思考。


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