一些物理和数学中基本概念的直观理解 我们经常读到物理学和数学中的基本概念和基本结果,如果我们不是正好在那个专业,很难理解。 下面, 我想直观地描叙一些基本概念。我于物理,数学均是外行,请大家多多指正。 广义相对论是我们经常读到和听到的概念。什么是广义相对论?如果你用力压床垫,床垫就会弯曲,也就是说,用力和弯曲是等价的。在广义相对论里,重力用曲率来表达,而黎曼几何则是弯曲空间的理论。所以,做几何的人, 会经常提到广义相对论。 量子力学是当代物理学的基础。量子力学,英语是 quantum mechanics. Quantum 是巨大的意思。你看到一个刚出生的婴儿,过了十年,再一次见到,孩子有了巨大的变化。一个电子,每秒钟绕原子核好多亿圈。也就是说,一眨眼的功夫,电子已经绕着原子核走了很多圈,可能已经发生了很多事情,已经可能发生了巨大的变化。所以,描述微观粒子(都动得很快)的科学叫做量子力学。 量子力学使用的数学方法是泛函分析。泛函是普通函数的推广。普通的函数,有一条描述函数变化的轨迹,而泛函只有分布。假如你高中毕业,二十年后才和老同学相聚,发现原来差不多的同学现在的状况很不一样,你并不知道他们二十年间具体的情况,只能说,过去一样的,现在分布很广了。泛函分析源于量子力学,一眨眼的功夫,微观粒子已经产生了很大变化,你没法知道它的具体轨迹,只能知道它的分布,是为泛函,而非函数。有人也许会问,能否把测量的密度不断增加?但是一个观测者,或者观测者使用的仪器,相对于一个电子,是一个笨重无比的庞然大物,根本无法持续跟踪电子的行踪。 人们讲到漂亮的理论,经常提到狄拉克方程。什么是狄拉克方程?那个时候,量子力学刚产生不久,原子内部,电子的速度很快,特别是大原子的内层电子,速度极快,需要考虑相对论效应才能准确描述,狄拉克就把量子力学和相对论放在一起考虑,这就是狄拉克方程。因为量子力学和相对论是两个非常基本的理论,结合在一起可以推导出很多预言,好些后来被证实了,所以经常被人提起。狄拉克方程说明,一个建立在坚固物理基础上的数学理论,即使非常奇怪,也能给出很符合实际的预见。 金融数学是一个应用广泛的理论,狄拉克的思想对金融数学也有间接但很重要的贡献,大家在理论力学中学过哈密尔顿系统和拉格朗日系统,而量子力学的早期理论是建立在哈密尔顿系统上的,狄拉克的问题是,量子力学可否建立在拉格朗日系统上?后来,费曼受到启发,创建了量子力学的路径积分方法,对工程,金融,经济和生物理论均有很多帮助。 为什么路径积分方法对经济和生物理论均有很多帮助?一个生物系统,如果下一代的平均数目高于上一代,这个系统就有前途。同样,一个企业,如果营业额的平均数目高于成本,这个企业就有前途。能够计算未来的平均值,对于生物和经济理论至关重要。而路径积分方法提供了非常一般的计算平均值的方法。 http://blog.sciencenet.cn/blog-2912119-986348.html |
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