 什么是三线合一在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。简记为三线合一。（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）三线合一证明已知：△ABC为等腰三角形，AB=AC,AD为中线。求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD等腰三角形ABC(AB=AC)等腰三角形ABC(AB=AC).在△ABD和△ACD中：∵ BD=DC（等腰三角形的中线平分对应的边）AB=AC( 在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。简记为三线合一。 （前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用） 已知：△ABC为等腰三角形，AB=AC,AD为中线。求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD 等腰三角形ABC(AB=AC) 等腰三角形ABC(AB=AC). 在△ABD和△ACD中： ∵ BD=DC（等腰三角形的中线平分对应的边） AB=AC(等腰三角形的性质) AD=AD（公共边） ∴△ADB≌△ADC（边.边.边) 可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC(全等角形对应角相等） ∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180度（平角定义） ∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换） ∴AD⊥BC 得证 ① 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。 ② 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。 ③ 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。 如图，①AD⊥BC于D，②AD平分∠BAC，③AD是BC中线 （1）若以①②为条件，求证AB=AC。理由如下： ∵∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD(ASA) ∴AB=AC （2）若以②③为条件，求证AB=AC。理由如下： ∵AD是BC中线， ∴S△ABD=S△ACD， 作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， 又∵AD平分∠BAC， ∴DE=DF， ∴AB=AC（等底等高） （3）若①③，求证AB=AC。理由如下： ∵BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD， ∴AB=AC 综上所述，逆命题成立。 |
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