正态分布的前世今生(二)
发表于 2012年10月10号 由 rickjin
三、最小二乘法，数据分析的瑞士军刀 第二个故事的主角是欧拉(Euler), 拉普拉斯(Lapalace),勒让德Legendre) 和高斯(Gauss),故事发生的时间是十八世纪中到十九世纪初。十七、十八世纪是科学发展的黄金年代，微积分的发展和牛顿万有引力定律的建立，直接的推动了天文学和测地学的迅猛发展。当时的大科学家们都在考虑许多天文学上的问题。几个典型的问题如下：
这些天文学和测地学的问题，无不涉及到数据的多次测量，数据的计算与分析；十七、十八世纪的天文观测，也积累了大量的数据需要进行分析和计算。很多年以前，学者们就已经经验性的认为，对于有误差的测量数据，多次测量取平均是比较好的处理方法，虽然缺乏理论上的论证，也不断的受到一些人的质疑。取平均作为一种异常直观的方式，已经被使用了千百年,在多年积累的数据的处理经验中也得到一定的验证，被认为是一种良好的数据处理方法。 以上涉及的问题，我们直接关心的目标量往往无法直接观测，但是一些相关的量是可以观测到的，而通过建立数学模型，最终可以解出我们关心的量。这些天文学的问题大体都可以转换为描述如下的问题：有我们想估计的量 如何通过多组观测数据求解出参数 但是面临的一个问题是，有 以上求解线性矛盾方程的问题在现在的本科生看来都不困难，就是统计学中的线性回归问题，直接用最小二乘法就解决了，可是即便如欧拉、拉普拉斯这些数学大牛，当时也未能对这些问题提出有效的解决方案。可见在科学研究中，要想在观念上有所突破并不容易。有效的最小二乘法是勒让德在 1805 年发表的，基本思想就是认为测量中有误差，所以所有方程的累积误差为 累积误差 = 我们求解出导致累积误差最小的参数即可。 勒让德在论文中对最小二乘法的优良性做了几点说明：
对于最后一点，从统计学的角度来看是很重要的一个性质。推理如下：假设真值为 求解 由于算术平均是一个历经考验的方法，而以上的推理说明，算术平均是最小二乘的一个特例，所以从另一个角度说明了最小二乘方法的优良性，使我们对最小二乘法更加有信心。 最小二乘法发表之后很快得到了大家的认可接受，并迅速的在数据分析实践中被广泛使用。不过历史上又有人把最小二乘法的发明归功于高斯，这又是怎么一回事呢。高斯在1809年也发表了最小二乘法，并且声称自己已经使用这个方法多年。高斯发明了小行星定位的数学方法，并在数据分析中使用最小二乘方法进行计算，准确的预测了谷神星的位置。 扯了半天最小二乘法，没看出和正态分布有任何关系啊，离题了吧？单就最小二乘法本身，虽然很实用，不过看上去更多的算是一个代数方法，虽然可以推导出最优解，对于解的误差有多大，无法给出有效的分析，而这个就是正态分布粉墨登场发挥作用的地方。勒让德提出的最小二乘法，确实是一把在数据分析领域披荆斩棘的好刀，但是刀刃还是不够锋利；而这把刀的打造后来至少一半功劳被归到高斯，是因为高斯不单独自的给出了造刀的方法，而且把最小二乘这把利刀的刀刃造得无比锋利，把最小二乘打造为了一把瑞士军刀。高斯拓展了最小二乘法，把正态分布和最小二乘法联系在一起，并使得正态分布在统计误差分析中确立了自己的定位，否则正态分布就不会被称为高斯分布了。 那高斯这位神人是如何把正态分布引入到误差分析之中，打造最小二乘这把瑞士军刀的呢？看下一个故事。 《正态分布的前世今生(二)》有 1 条评论
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