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在阿尔罕布拉宫的建筑装饰中，人们可以找到平面上所有可能的对称。荷兰画家埃舍尔沉浸在这无尽的对称模式之中，创作出了大量的杰作，将深邃抽象的几何和完美精妙的艺术相结合，揭示了自然的真理，挑战着人类的想象力。对后世数学家来说，对于自然真理的至高致敬形式就是：把定理用新的方法证明出来！
科学的发展宛若一条水势浩荡的洪流，她是由无数涓涓细流汇聚而成，很难说哪一条小溪是真正的源头。自然界中的基本结构都有着惊心动魄的壮美，在人类历史中强烈激发着每一代人的心灵，每一代人都用其特有的方式将其审美体验表达出来，凝结成建筑、音乐、绘画等各种艺术形式，直至现代的数学定理、计算机算法和未来的专用芯片。建筑师、音乐家、画家、数学家、计算机科学家，他们彼此激发，思想交融，横亘千年，跨越时空，共同谱写人类的文明。对于历史长河中的每一个渺小的个体，往往对于自己身处的时代背景和历史角色茫然无知，更多地是出于审美的本能，纵身扑火，留下一瞬。 有这样一段传奇，贯穿了老顾的整个学术生涯，一切缘起于《阿尔罕布拉宫的回忆》。 阿尔罕布拉宫 公元六世纪，信奉伊斯兰文明的阿拉伯帝国崛起于沙漠之间，横扫欧亚大陆，建立了人类历史上东西跨度最长的“大食帝国”。阿拉伯人征服了伊比利亚半岛，在西班牙开始了长达800年的伊斯兰统治。摩尔人在西班牙的最后一座堡垒是格林纳达，位于格林纳达的阿尔罕布拉宫为奈斯尔王朝的缔造者——默罕默德一世所建造。那个时代，整个欧洲笼罩在基督教中世纪的黑暗之中，科学的萌芽被穆斯林文明所发扬光大，西班牙成为世界文明的中心。矗立在阿萨比卡山上的阿尔罕布拉宫成为了伊斯兰建筑的经典之作。
伊斯兰文明禁止偶像崇拜，因此所有的建筑装饰都不容许任何带有生命的具体形象。所有的装饰都是为了彰显神的思想的美丽，而非神的身体的美丽，因此必须用充满智慧的抽象几何模式，特别是各种各样的对称。在阿尔罕布拉宫的建筑装饰中，人们可以找到平面上所有可能的对称。
格林纳达是摩尔人在西班牙的最后一个王朝，阿尔罕布拉宫建造的时候，伊斯兰在西班牙的统治已经岌岌可危。公元14世纪，西班牙光复，伊莎贝拉女王亲帅十万大军，将穆斯林彻底驱离了格林纳达。阿尔罕布拉宫的极致华丽，实际上是格林纳达王朝的一曲绝唱，大限将至，超脱坦然，专注艺术，精神永恒。这一曲天鹅之歌，美艳凄绝，萦绕千年。 塔雷加的轮指 公元1896年的某个傍晚，西班牙伟大的吉他演奏家和作曲家弗朗西斯科·塔雷加来到了格林纳达，夕阳西下，满目苍茫。阿萨比卡山上的阿尔罕布拉宫残垣断壁，悲凉肃穆，但依然优雅神秘。罡风袭掠，芳草萋萋，宛若格林纳达的亡国苏丹，仓皇辞国时回眺阿尔罕布拉宫时发出的叹息。塔雷加惆怅感伤，心绪荡漾，遂一气呵成不朽名曲《阿尔罕布拉宫的回忆》。
乐曲为三段式结构，舒缓悠扬的3/4拍子。A段为淡雅忧伤的a小调，令人心碎的轮指演奏出曼陀铃的音色，宛若阵阵叹息，叹惋生命无常，历史沧桑，昔日雕梁画栋，金碧辉煌，如今野草荒冢，断壁残阳；B段转为明朗的A大调，追忆往昔光辉岁月，雄霸欧亚，睥睨天下，慷慨激越，血脉贲张；C段趋于平和，恩怨情仇，随风而逝，面对宿命，胸襟坦荡。 塔雷加出身贫苦，右眼全盲。他为吉他而生，只手擎天，用吉他开创了音乐世界。《阿尔罕布拉宫的回忆》是塔雷加一生的巅峰之作，他在音乐中充分表达了阿尔罕布拉宫建筑中的对称之美带给他的精神震撼。《阿尔罕布拉宫的回忆》成为全世界古典吉他演奏者轮指技巧的炫技经典。 埃舍尔的天使和恶魔 图7 M.C.Escher自画像（1929） 公元1922年，年轻的荷兰画家埃舍尔（M.C.Escher）旅行到格林纳达，参观了阿尔罕布拉宫，这成为他一生中至关重要的转折点。他为王宫中镶嵌图案的巨大精神力量所震撼，沉浸在无尽的对称模式之中。这激发他创作了大量的杰作，将深邃抽象的几何和完美精妙的艺术相结合，揭示了自然的真理，挑战着人类的想象力。
图9 蝴蝶，M.C.Escher 1950 埃舍尔创造的镶嵌画具有严格的几何对称性，我们可以看出阿尔罕布拉宫的建筑装饰对其深刻持久的影响。“天使和恶魔”一直是埃舍尔所钟爱的主题，他的一生中曾为之创作了三件不朽的作品，
埃舍尔在1941年创作了在欧几里得平面上的天使和恶魔的镶嵌，这一版本最为直观。白色的前景是双翼天使，黑色背景是蝙蝠状的恶魔。当我们凝视天使的时候，恶魔隐身为背景；当我们注视恶魔的时候，天使融为背景。但是，每个人都无法同时既看到天使又看到恶魔。这一点非常具有哲理，天使和恶魔既对立又统一，两者相互克服而又相互依存。真实的世界是由天使和恶魔交织而成，我们应当注视天使而对恶魔视而不见，还是被恶魔摄取魂魄而对天使失去信心？这里，任何两个天使都是同样大小，彼此相差一个平移，旋转和镜像反射，亦即欧氏空间的刚体变换。第二年，埃舍尔用枫木雕刻了球面上天使和恶魔的镶嵌。天使和恶魔相互衬托，对比更为强烈。同样，任何两个天使之间相差一个球面的刚体变换，即三维欧氏空间的旋转加反射。二十年后，埃舍尔技艺炉火纯青，登峰造极，创作出双曲空间中天使和恶魔的镶嵌。从欧氏几何到球面几何，埃舍尔只用了一年，但是从球面几何到双曲几何，埃舍尔花了二十年。对于双曲几何的理解已经超出人类直觉，需要专业的几何训练才能真正领悟。 埃舍尔的天使和恶魔意蕴深刻，完美阐释了三种几何下的对称：球面几何、欧式平面几何以及双曲几何。 清华岁月 1990年代早期的中国大陆，互联网尚未出现，但是古典吉他风靡全国。埃舍尔的艺术作品也逐渐传播。在清华校园中，出现了一群清丽脱俗的音乐爱好者，他们热衷于作词谱曲，吟咏风月，歌颂爱情。更多的清华学子刻苦内敛，研习吉他技巧蔚然成风。从这群人中走出了高晓松、水木年华，更成就了李健。 当时老顾的室友蒋步星是狂热的吉他爱好者。蒋同学堪称数学天才，国际奥林匹克数学金牌得主。为人为学坚韧刻苦，持之以恒。每天磨炼吉他轮指技巧，一曲《阿尔罕布拉宫的回忆》弹得出神入化，余音绕梁。时住九号楼216房间，窗户向北，常年被楼外梧桐的绿荫所遮盖。每当阴霾遮日，细雨霏霏，屋中更是暗淡阴郁，令人愁肠百结。这时，216就会飘出令人心碎的《回忆》。蒋同学指法娴熟，感情充沛，全心投入，经常一曲终了，偷拭眼角泪水。这时，一众室友佯装视而不见，默默无语，内心无比潮湿。 但是，蒋同学的另一习惯却令大家眼眶也潮湿。蒋同学习惯一边磨炼轮指技巧一边苦读数学，经常在216清冷的灯光下枯坐数小时纹丝不动，怀中温柔地抱着吉他，左手轻抚琴柄，右手下意识地轮指，面前摊开一本大开本的油印教材，那是当年北大四大才子之一的陈天权教授亲自翻译并刻印的俄罗斯莫斯科大学数学系卓里奇的《数学分析》。这部教材沉雄博大，立意极高，对于初学者而言，诘屈聱牙，生涩费解。蒋同学经常一个概念苦读数十遍，方才融会贯通，抚琴朗笑。我等愚钝之人依然百思未解，忧愤丛生。每到这时，蒋同学就会用非常质朴的语言一针见血地讲明概念或定理的本质精髓，令大家醍醐灌顶，恍然大悟。继而，蒋同学将轮指练习曲渐变成一段古典吉他名曲的Solo，酣畅淋漓，意犹未尽。 那时，清华校园有许多吉他高手，经常有人前来九号楼216找蒋同学切磋技艺，交流心得。一日，一位和蒋同学惺惺相惜的高手前来，这位高手的轮指技艺炉火纯青，却对蒋同学恭敬有理，一反音乐浪子的狂狷风格。他向老顾解释说，在体温恒定的情况下，他和老蒋的轮指技艺难分伯仲，但是在体温降低之后，蒋同学的轮指频率稳定，技术过硬。对于蒋同学的内在定力，老顾自然久已领教，不胜钦佩。 那时老顾年少无知，无法看出阿尔罕布拉宫的对称雕塑，埃舍尔的镶嵌和令人痛苦万状的微分拓扑之间的深刻联系。后来，我们学习了《抽象代数》，大家对于伽罗华理论的优美如醉如痴。直到这时，老顾才领悟到对称的严格意义。比如，埃舍尔的《天使和恶魔》，这幅图画在平面的某些特殊变换下保持不变，所有这些变换构成一个群。这个群是这幅画对称性的严密描述。画中的任意一点，在这个对称群的作用下得到一系列的像点，这些像点构成了轨道。我们将每条轨道视作一个抽象的点，就会得到原来图画的商空间。如果对称群中的变换没有不动点，则对称群的商空间构成了一个流形。 那时大家都面黄肌瘦，骨相清奇，却又年少轻狂，极端理想主义：只耽于爱情的浪漫我们不屑；没有轮指技巧的吉他曲我们不屑；不够抽象的数学我们不屑；不用汇编加速的编程我们不屑；但是对任何牌子的方便面，来者不拒。在学业上，大家自虐互虐，常年沉浸在 Pleasant Sorrow 之中。邻班是体育试点班，少年们阳光开朗，豪爽率真，敢爱敢恨，快意恩仇。有一次，邻班的朋友问老顾：“为什么你的眼睛里总是充满着淡淡的忧伤？” 多少年后，老顾才意识到一个人的学术品味和终生爱好大多是在大学期间奠定。《阿尔罕布拉宫的回忆》的销魂和埃舍尔《天使与恶魔》的深刻，潜移默化中使得老顾将几何作为终生挚爱，无数次在生命转折的关头，老顾都是毫不犹豫地选择了几何。 哈佛岁月 老顾有幸追随丘成桐先生学习微分几何，对于对称的理解又提升了一个层次。
我们观察图11，人脸曲面映射到平面圆盘上，上面一排的映射将脸上的无穷小圆映到平面上的无穷小圆，这种映射被称为是共形映射，或者保角映射；一般的映射如下面一排所示，映射将脸上的无穷小椭圆映到平面上的无穷小圆，这种映射被称为是拟共形映射。
埃舍尔的《天使和恶魔》实际上描述了自然界的一个异常深邃而优美的基本定理：Poincare-Koebe的单值化定理。如图12所示，任何一个封闭可定向的曲面，实现在三维欧式空间之中，都可以共形地映到一个带有常值高斯曲率的曲面。常值高斯曲率的曲面可以由单位球面，欧式平面或者双曲平面在某个等距对称群作用下的商空间来表示。曲面的环柄数目被称为是曲面的亏格。如左帧所示，亏格为零的曲面可以保角地映射到单位球面上。如中帧所示，亏格为1的曲面可以保角地映射到所谓的平环上面。平面上给定两个方向不同的平移，它们生成一个交换群，作用到平面上，所得的商空间就是平环。右帧显示的是高亏格曲面情形。所有高亏格曲面都可以共形地映到一个双曲曲面。对称群由一些双曲等距变换生成，作用在双曲平面上，所得的商空间就是双曲曲面。我们比较图12的单值化定理和埃舍尔的《天使和恶魔》，可以看到它们的精神实质是完全相同的。 理解单值化定理的刹那，老顾惊骇万分。大千世界，各种各样的曲面千变万化，不可名状，无以穷尽，但是所有的形状最终归结为三种标准曲面中的一种，所有曲面最终都归结为三种几何中的一种：球面、欧氏和双曲。大自然如此统一，如此简单，令人难以置信。但这却是千真万确，颠扑不破的真理，直至天荒地老，直至宇宙尽头。这种激动人心的壮美，令灵魂颤栗，令人生渺小，令思想永恒。作为一位计算机科学家，老顾对于自然真理的至高致敬形式就是：把定理转换成实际算法，把定理的断言计算出来！ 但是，单值化定理异常抽象，其对应的偏微分方程高度非线性，当时不存在成熟的计算方法能够计算单值化度量。从此，老顾踏上了苦苦求索的征程。 当时，老顾对于单值化计算方法的追求完全出于单纯的审美，也不知天高地厚。多少年之后回想，那个年代纯粹数学领域和计算机领域正经历着深刻的革命，数学领域的革命为单值化定理的计算奠定了理论基础；计算机领域的革命为单值化定理提供了计算能力和计算素材的物质基础，并且提供了广阔的应用前景。当时的老顾，因缘际会，正处于两个领域变革的交汇点，占据了有利的天时、地利和人和，从而夙愿得偿，与师长和朋友们发展出计算共形几何的理论和算法体系。但在那个历史时刻，年轻的老顾对于历史的脉络和自身的位置茫然无知。 数字几何技术的革命 公元2000年左右，计算机硬件依随摩尔定律发展，具备了强大的计算功能；软件也日益成熟，特别是出现了两大技术革命，极大地促进了计算机图形学和数字几何的发展。一个是三维扫描技术，一个是通用GPU技术。 在普及型三维扫描技术出现之前，获取三维曲面模型非常困难。大多数三维工业设计是基于CAD的样条技术，或者手工建模，几何和拓扑相对简单。早期的三维扫描技术基于双目立体视觉或者激光扫描，DMD芯片技术的成熟使得基于结构光的扫描技术突飞猛进。DMD芯片将数十万个微小镜片集成到一个芯片之中，从而可以在像素级别精确控制光的强度，这使得基于波动光学原理的光学测量技术大规模普及。一夜之间，大量的三维扫描数据在互联网上涌现，具有复杂几何和拓扑的曲面，唾手可得。 另一个影响深远的技术就是GPU的出现。在GPU出现之前，实时三维渲染只能在昂贵的专用SGI工作站上实现。GPU使得实时三维渲染可以在廉价的个人电脑上实现。特别是Vertex Shader和Pixel Shader技术的引进，使得渲染的效果日益逼真。 这两种技术使得三维数字电影和游戏工业蓬勃发展，数次达到历史巅峰。同时在数字几何的技术层面，提出了前所未有的复杂要求。例如光滑曲面的离散逼近，几何数据的压缩，曲面间的映射，渲染中的纹理贴图等等。在这两个技术出现之前，计算机图形学领域的主要数学工具是线性代数；出现之后，代数拓扑和微分几何成为了主要数学工具。单值化定理起到了不可或缺的核心作用。因此，时代在呼唤着单值化的计算理论，工业化进程为计算共形几何奠定了物质基础。 几何化纲领 在过去的数十年，纯粹数学领域也经历了几场革命。围绕着庞加莱猜想的证明，出现了两大流派：丘成桐先生主导的几何分析流派和瑟斯顿（Thurston）领导的几何拓扑流派。 瑟斯顿和丘先生同为菲尔兹奖得主。瑟斯顿迷恋于曲面单值化定理的简单和谐，出于对美学的强烈信念，他认为曲面的单值化定理应该可以推广到三维流形。如图12所示，所有的曲面都在共形等价的意义下归结为三种标准几何结构，球面几何，欧氏几何和双曲几何，并且曲面所兼容的几何结构取决于曲面的拓扑。比如，如果一个封闭的曲面容许双曲几何，我们可以断言曲面的亏格必然大于1。瑟斯顿紧紧抓住这一思想，提出了极为深刻而宏大的几何化猜想：所有的三维流形可以被分解成素的三流形，所谓素流形就是无法再分解为更简单的流形；所有素流形可以配备八种标准几何中的一种，一个素流形能够配备哪种几何取决于流形的拓扑。瑟斯顿猜想的最简单情形，单联通的流形（即所有圈在流形内都可以缩成一个点）就是庞加莱猜想。
瑟斯顿用一个苹果解释了他的思想。如图13所示，左帧是一个苹果，被三条蛀虫蛀蚀出三条隧道。这些隧道相互勾连，彼此缠绕。根据一些简单的拓扑判断，瑟斯顿断言这个苹果容许一个双曲黎曼度量，使得其边界为双曲曲面。右图显示的是瑟斯顿苹果的双曲几何结构，和曲面单值化的双曲情形相类似（图12右帧），这一几何结构表示成三维双曲空间在某个对称群作用下的商空间。因此这幅图是阿尔罕布拉宫中对称图案的直接推广，因为她是三维的，二维平面无法完全表达其内在的精细结构，我们相信借助VR/AR技术，这种对称会被更多的人所领悟，欣赏。 瑟斯顿的思想支配了拓扑领域长达三十年，其研究手法是组合结构加上几何结构，下面的例子可以很好地说明瑟斯顿研究手法。
如图14所示，给定一个平面图（Planar Graph），我们将平面图三角剖分，从而得到一个组合结构。我们在每个顶点处放上一个圆盘，每条边上的两个圆盘彼此相切，这被称为是一个Circe Packing，如左帧所示。瑟斯顿断言：存在一种circle packing，使得所有的边界顶点处的圆和单位圆相切，并且所有这种circle packing彼此相差一个莫比乌斯变换，如右帧所示。瑟斯顿如下证明，每个三角形有三个圆盘，两两相切，存在唯一的一个圆，过三个切点，同时和此三个圆垂直，我们称之为Power Circle。我们将三维欧式空间的上半空间看成是三维双曲空间，那么xy平面称为无穷远平面，过无穷远平面上的每个圆做一个半球面，则此半球面是一张双曲平面。Circle Packing中所有的圆加上所有的Power Circle决定了许多双曲平面。每张双曲平面将三维双曲空间分成一对双曲半空间，这些双曲半空间的交集是一个三维的双曲凸多面体，具有无穷远尖点。这个多面体的拓扑由三角剖分指定，配备上双曲度量后在三维双曲空间中的等距嵌入彼此相差一个莫比乌斯变换，于是就得到右帧。 由图11，我们知道共形变换将无穷小圆映成无穷小圆。瑟斯顿的Circle Packing将有限圆映成有限圆。瑟斯顿猜想，如果我们将三角剖分无限加细，那么图14中，由Circle Packing诱导的映射将会收敛到光滑的共形映射，即所谓的黎曼映照。这一猜想由沃尔夫奖得主 Sullivan 和Rodin证明。这一方法在计算数学领域开创了计算复变函数方向，在80, 90年代许多数学家研究如何用Circle Packing来计算平面区域间的保角变换。一方面因为没有曲面的数据可供研究，另一方面这个方向的数学家的背景以复变函数居多，没有微分几何学家的加盟，这一方法没有推广到曲面上面。同时，这种方法效率低下，无法计算规模庞大的复杂三角剖分。 瑟斯顿将对称推广到三维流形，将所有素流形归结为八种几何，这一格局气势磅礴，恢弘博大，独领风骚数十年。但是，这一途径难酬众望，没能证明庞加莱猜想。最终证明庞加莱猜想和瑟斯顿猜想的是丘先生所创立的几何分析流派的方法。 Ricci曲率流 丘成桐先生年轻求学时得到两大世外高人的垂青，微分几何大师陈省身先生和微分方程大师Morrey教授。两大高手将毕生绝学倾囊相授，丘先生天纵奇才，将两大高手的内功融汇贯通，独树一帜，创立几何分析学派。在丘先生之前，懂微分几何的人不懂微分方程，懂微分方程的人不懂微分几何。几何分析学派横空出世，雷霆万钧，将无数基本猜想，迎头击破。庞加莱猜想的证明就是几何分析方法的又一力作。几何分析的精髓在于用微分方程来研究微分几何，进而研究拓扑。
哈密尔顿教授，风流倜傥，特立独行，热爱数学和女性，酷爱冲浪。一次，哈密尔顿在圣地亚哥海边冲浪，看到惊涛拍岸，浪花四溅，产生顿悟，提出了Ricci曲率流的光辉思想。这一思想的要义如下：对于给定的拓扑流形，首先任选一个黎曼度量，然后将度量变形，度量的变化正比于曲率，这样曲率就会依随时间演化，最终曲率变成常数，得到标准几何。这一思想，简洁优雅却又强悍凶猛，无坚不摧。 老顾在哈佛读书的时候，哈密尔顿每周都从纽约来到波士顿，和丘先生探讨庞加莱猜测的证明，有时通宵达旦，废寝忘食。所有的人都倾向认为Ricci流会最终证明庞加莱猜测，又都深知其内在的困难。在Ricci流中，曲率依随时间演化的规律可以被描述成是反应-扩散方程，反应项是曲率流的正反馈项，使得曲率可能在有限时间内达到无穷；扩散项是曲率流的负反馈项，使得曲率趋于常数。Ricci流的本质问题是东风压倒西风，还是西风压倒东风。 幸运的是，对于曲面情形，扩散项压倒了反应项，曲率流稳定，收敛于常数，这给出了单值化定理的微分几何构造性证明。而这，正是老顾寻求多年的算法理论基础。不幸的是，对于三流形情形，特别是庞加莱猜想的证明中，有可能曲率在有限时间内爆破，产生奇点。那时，哈密尔顿已经证明了瑟斯顿猜想的绝大部分，但是对于奇点的认识和处理依然在探索之中。 计算共形几何 公元2001年，丘成桐先生在台北主持召开了世界华人数学家大会（ICCM 2001），全世界的华裔数学家济济一堂，宣讲新近成果，思想交流，头脑风暴。其中两位数学家思想碰撞，结出了璀璨的成果。 Bennett Chow教授是丘先生和哈密尔顿共同的学生，在用曲面Ricci流证明单值化定理中，哈密尔顿证明了亏格为正的情形，最为困难的是亏格为零的情形，由Ben Chow完成。这一证明充分显示了他的几何分析实力。另一位是罗锋教授，他是菲尔茨奖得主Freedman的学生。Freedman证明了四维庞加莱猜想，他们倾向于瑟斯顿的几何拓扑方向。Ben Chow代表了Ricci流方向，罗锋代表了瑟斯顿的几何化方向，通过热切的交流，他们融汇了两个方向：他们证明了瑟斯顿的Circle Packing方法和哈密尔顿的曲面Ricci流方法本质是相通的，从而共同撰写了一篇论文，提出了组合的曲面Ricci流的理论。 公元2002年暑期，丘先生在加州理工大学休假（sabbatical），作为学生的老顾跟随左右。在加州大学洛杉矶分校的刘克峰教授在家中为丘先生祝寿，老顾头一次遇到从圣地亚哥赶来的Bennett Chow教授。那时，Ben刚刚完成组合Ricci流的论文，异常兴奋地介绍给老顾。老顾已经知道单值化的计算应该用Ricci流的理论，但是经典的Ricci流理论是建立在光滑流形上面，而在计算机上所有的几何数据都是离散的，连续Ricci流的离散解释正是问题的关键！在桑塔莫尼塔的海滩上，在洛杉矶蓝得令人发晕的苍穹下，老顾理解了罗峰和Ben Chow的理论，开始了新的征程。 后来，老顾驱车到格罗斯大学和罗锋教授会面，开始了长达十数年的合作。我们迅速地发展并完善了算法，运用强大的计算机技术计算所有可能曲面的单值化。特别是如图16所示，我们将理论进一步深化，将单值化算法拓展到带边界的曲面情形。图12和图16，实际上已经涵盖了自然界中所有可能形状。老顾多年的愿望终于实现。
在计算实践中，我们发现计算效率有待提高。那时，佩雷尔曼给出了庞加莱猜想证明的完整图景，他指出哈密尔顿的Ricci流是某个能量的梯度流，这个能量被他称为熵。在离散曲面Ricci流中，我们找到了这个熵能量，在欧氏和双曲几何中，熵能量是凸能量，单值化度量可以用牛顿法求出，从而将计算效率提高了几个数量级。 因为单值化定理是曲面微分几何最为根本的一个定理，共形结构是自然界中至关重要的几何结构，离散曲率流的方法在几乎所有的工程和医学领域都得到了重要应用。老顾的许多朋友陆续加入进来，王雅琳教授，雷诺铭教授，秦宏教授，张松教授，高洁教授，段晔教授，华璟教授，我们一同在计算机图形学，计算机视觉，几何建模，可视化，网络，医学图像等领域开疆拓土。这时，国际上有许多研究机构也在做着类似的研究，竞争激烈，甚至达到残酷的地步。出于对单值化定理的偏爱，老顾团队一直以Ricci流为主要武器。加州理工团队用联络，我们用曲率流；斯坦福团队用热核，我们用曲率流；普林斯顿团队用统计，我们用曲率流；耶鲁团队用流体力学，我们用曲率流。老顾的许多学生也深深地被自然的壮美所吸引，夜以继日，勤奋钻研。他们中的很多人现在也是大学教授了，散布在世界的各个角落，继续传播着几何对称之美。 在过去的十数年间，计算共形几何的思想和方法广泛传播，学术界和工业界纷纷采纳离散Ricci流的算法。西门子公司，GE公司，暴雪公司目前都在使用老顾团队的算法。作为计算机科学研究者，老顾倍觉欣慰，但是作为数学科学研究者，老顾依然觉得严密性欠缺：离散曲面Ricci流解的存在性依然没有严格证明。从工程实践上看，目前的理论尽善尽美，屡试不爽；但是从数学角度上看，经验性的论证无法取代严格理论证明。这反映了工程领域和基础科学领域价值观念的巨大差异。 为了追求心中理想主义，为了建立离散Ricci流的永恒价值，罗锋教授和老顾开始了长达八年的求索。期间，老顾的清华师弟孙剑教授加入了团队。孙剑教授当年主修力学，后在俄亥俄州立学习计算几何，在普林斯顿和斯坦福深造，对于离散几何具有近乎天然的敏感。在孙教授加入之前，大家倾向于认为黎曼度量从属于组合结构，他力主组合结构从属于黎曼度量，在离散Ricci流中三角剖分应该动态调整，保持Delaunay特性。这一洞察彻底改观了整个理论证明过程，我们应用瑟斯顿流派的利器：泰希米勒（Teichmuller）空间理论，一举证明了离散Ricci流解的存在性问题。回首八年，感慨万千：在工业界，为了证明一个已经完美的算法是可靠的，这种行为不可想象，近于迂腐冥顽；在学术界，这种奢侈或者自虐是正常的，人类知识的积累需要严格性的保证，以避免文明的土崩瓦解。八年对于一个学者而言是漫长的，但在历史长河中，只是短暂的一瞬。作为一位数学家，对于自然真理的至高致敬形式就是：把定理用新的方法证明出来！ 尾声 公元2016年3月20日，“看见李健”世界巡回演唱会在纽约林肯中心首站开唱，老顾前去为师弟捧场。聚光灯下，当年的青葱少年已经成长为“音乐诗人”。 文质彬彬的李健，一脸“清华式”的忧郁，质朴单纯的言辞，拘谨木讷的举止，浑身散发着清华男生的气质。这一年，纽约暖冬，一直没有下雪，却在3月20日这一晚飞雪漫天。李健忽然道，台上有点冷，手的温度偏低，可能会影响下一段吉他Solo。台下的老顾莞尔一笑，知道李健将要炫耀轮指技巧。舞台助理端上一杯热水让李健暖手，李健毫无巨星的矫揉造作，直接不顾形象地暖手，令人倍觉亲切。然后一曲《梦一场》的吉他前奏，令人心碎的轮指响起，宛如《阿尔罕布拉宫的回忆》中的叹息，在林肯音乐厅久久回荡。
李健一曲《传奇》，空灵澄澈，缠绵缱绻。《传奇》的词作者，清华84级建筑系的刘兵师兄坐在二楼嘉宾席上。李健替刘师兄抱怨道：中国没有成熟的版权制度，否则师兄何以沦落到在波士顿开幼儿园的地步，并号召大家把孩子送到刘师兄的幼儿园。 老顾觉得李健和刘兵都在音乐领域青史留名，无论现实的生活多么窘迫，他们创造出的精神财富，足以传世。李健为了理想主义，在乐坛蛰伏二十年，不慕财富，不求闻达，从未为了市场而流俗从众，坚守曲高和寡的孤独和寂寞，终于等到云开雾散，一鸣惊人。他的耐心，等来了听众品味的提高，他空灵优雅的音乐终于被主流所接受。李健的忧郁、木讷、轮指、执着、理想主义，无不体现着清华的特色。 2015年的冬季，老顾有机会短期到清华数学科学中心访问。午夜时分，老顾来到九号楼旧址，这里已是残垣断壁，满目苍夷，月色清冷，寂寥无人，寒风凛冽，枯树瑟索。或许是幻听，无际夜色中缥缈地传来《阿尔罕布拉宫的回忆》，令人心碎的轮指在夜风中叹息，昔日的Pleasant Sorrow变成了Deja Vu。老顾梳理着二十年的岁月：从摩尔人的雕饰，到泰雷加的轮指，到埃舍尔的镶嵌，到Poincare-Koebe的单值化定理，到瑟斯顿的几何化纲领，到哈密尔顿的Ricci流，到佩雷尔曼的熵能量，到DMD芯片，到GPU的Pixel Shader，到我们的离散Ricci流算法，历史的涓涓细流融汇流淌，构成了时代的洪流。我们个人的命运被这洪流裹挟，身不由己，虽然卑微渺小，但是依然会留下些许痕迹。楼堂殿宇抵不过时间的侵蚀，终究归为尘土瓦砾，但是精神的审美，自然的结构，亘古长存。相信，那一刻在校园的某个角落，一定有位少年在磨炼轮指技巧，或者在临摹埃舍尔的天使与恶魔，或者在思索单值化定理的证明，或者在体悟几何化猜想，更会有年轻人在复制我们离散Ricci流的算法，在计算机屏幕上感喟自然界最深层次的对称之美。 公元2016年5月，老顾终于得见Pixel Shader之父，彭亮博士。两人在长岛岸边眺望夕阳入海，不经意间，彭博士说了一句：作为一位体系架构师，对于自然真理的至高致敬形式就是：把定理的算法做成芯片...... （老顾将于2016年7月4日至8月29日在清华大学丘成桐数学科学中心教授《计算共形几何》课程。每周一、三下午3:10，于近春园西楼上课，公开免费，欢迎前来。同时，老顾将会访问如下学校，并做演讲：7月1日，大连理工大学软件学院；7月11日，中国科学技术大学应用数学系；7月13日，青岛山东大学计算机系；7月20日，天津大学计算机系。 这篇文章回忆了离散Ricci流的历史由来，这些讲座将详细介绍离散Ricci流的理论，算法和应用，敬请光临。） |
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