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采样定理详解:3个主要条件只需满足其中任意2个

2016-06-29  goandlove
采样定理

采样定理解决的问题是确定合理的采样间隔△t以及合理的采样长度T,保障采样所得的数字信号能真实地代表原来的连续信号x(t)。


衡量采样速度高低的指标称为采样频率fs。一般来说,采样频率fs越高,采样点越密,所获得的数字信号越逼近原信号。为了兼顾计算机存储量和计算工作量,一般保证信号不丢失或歪曲原信号信息就可以满足实际需要了。这个基本要求就是所谓的采样定理,是由Shannon提出的,也称为Shannon采样定理。


Shannon采样定理规定了带限信号不丢失信息的最低采样频率为


式中fm为原信号中最高频率成分的频率。


采集的数据量大小N为


因此,当采样长度一定时,采样频率越高,采集的数据量就越大。


使用采样频率时有两个问题需要注意。


  • 正确估计原信号中最高频率成分的频率,对于采用电涡流传感器测振的系统来说,一般确定为最高分析频率为12.5X,采样模式为同步整周期采集,若选择频谱分辨率为400线,需采集1024点数据,若每周期采集32点,采样长度为32周期。


  • 同样的数据量可以通过改变每周期采样点数提高基频分辨率,这对于识别次同步振动信号是必要的,但降低了最高分析频率,如何确定视具体情况而定。



采样定理解析


采样定理实际上涉及了3个主要条件,当确定其中2个条件后,第3个条件自动形成。这3个条件是进行正确数据采集的基础,必须理解深刻。


条件1采样频率控制最高分析频率

采样频率(采样速率)越高,获得的信号频率响应越高,换言之,当需要高频信号时,就需要提高采样频率,采样频率应符合采样定理基本要求。


这个条件看起来似乎很简单,但对于一个未知信号,其中所含最高频率信号的频率究竟有多高,实际上我们是无法知道的。解决这个问题需要2个步骤,一是指定最高测量频率,二是采用低通滤波器把高于设定最高测量频率的成分全部去掉(这个低通滤波器就是抗混滤波器)。现实的抗混滤波器与理论上的滤波器存在差异,因此信号中仍会存在一定混叠成分,一般在计算频谱后将高频成分去掉,一般频谱线数取时域数据点的1/2.56,或取频域幅值数据点的1/1.28,即128线频谱取100线,256线频谱取200线,512线频谱取400线等等。


采样过程示意图


抗混滤波器的使用主要是针对频谱分析的,对于涉及相位计算的用途反而会引入相位误差。几乎所有的滤波器的相位特性远比幅值特性差。


为说明该条件,我们举例进行说明。

① 要想在频谱中看到500Hz的成分,其采样频率最少为1000Hz。

② 若采样频率为32点/转,频谱中最高线理论上可达到16X。


条件2:总采样时间控制分辨率

频谱的分辨率(谱线间隔)受控于总采样时间,即


其中△f为频谱分辨率,T为总采样时间。


① 如果采样总时间为0.5秒,则频谱分辨率为2Hz;

② 若区分6cpm(0.1Hz)的频谱成分,则总采样时间至少为10秒;

③ 对于总采样时间为8转的时间信号,频谱分辨率为1/8X。


条件3:采样点数控制频谱线数

解释这个条件,需要对FFT计算频谱的过程有一个了解。如果对于一个2048点的时间波形数据,我们可以获得2048点频域数据——1024线频谱(每条谱线有两个值,直接值和正交值,或者说幅值和相位两个值)。


对旋转机械来说,频谱仅仅画出了FFT复数输出的幅值部分,对于相位部分一般不画,因此频谱中的线数最多为时域点数的一半,考虑到混叠的影响,频谱线数一般会低于时域数据点数。



总结

采样定理是实现正确采样的基准,上述3个条件中,可以根据需要设置其中2个条件,第3个条件就会自动固定。



① 如果采样总时间为0.5秒,想获得3200线频谱,则有


条件2:

条件3:3200线频谱实际需要4096点频谱数据(考虑到混叠问题),8192点时域数据




② 若在频谱上能区分0.2Hz间隔的频率成分,频谱确定为800线,则有


条件2:


条件3:800线频谱实际需要1024点频域数据,2048点时域数据



③ 若在频谱上能区分0.1Hz间隔的频率成分,且能在频谱上最大看到180Hz,则有


条件1:


条件2


因此,按不低于360点/秒的采样速率采集10秒钟,可采集时域数据最少3600点。


为方便FFT计算,数据点数应为2的整数次幂,与3600最接近的数值是4096,由此可获得2048点频域数据,即可获得1600线频谱。1600线、频率间隔为0.1Hz的频谱最高分析频率为160Hz,显然不能满足需要。


4096下一个2的整数次幂的数值是8192,由此可获得3200线的频谱,其最高分析频率达到了320Hz,可以满足要求,可以通过提高采样速率来实现这一要求。



④ 在同步整周期采样时,若采集32点/转,共采集8转,则可获得256点时域数据和100线频谱,有

T=8转

△f=1/T=1/8转=1/8X

fMax=32点/转÷2=16X

f100=100线×0.125转/线=12.5X


用通用的方式表达为:设{xn}(n=0,1,2,…N-1)为一采样序列若每周期等角度采集m点,共采集L周,则有mL=N


设该旋转机械的转动频率为f,则采样间隔为:


变换后的频率分辨率:


显然,工频分量正好处于第L条线上。相应地,kf=k△fL,即第k阶分量也处于整数 △f上,这样就保证了特征频率成分在频谱上的准确定位。采用同步整周期采样可获得的最高分析频率为:


理解了采样定理的实质,我们就会对某些仪器/系统中列出的技术指标有了正确的认识,频谱分辨率并不是衡量采样质量的唯一指标,即400线频谱与400线的频谱之间有可能存在差异;在分析齿轮故障时就不会出现没有啮合频率成分这样的尴尬;在分析开/停车过程时出现分辨率过低问题……

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