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为何说笛卡尔在蜘蛛结网中发现平面直角坐标系

2016-07-07  youxd

我们一起来看一则故事:笛卡尔与蜘蛛。

有一天,笛卡尔生病卧床,但他一直在反复思考一个问题:几何图形是直观的,而代数方程则比较抽象,能不能用几何图形来表示方程呢?同样几何图形可不可以通过代数形式来表达?这里,关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来。

不经意间,他看见屋顶角上的一只蜘蛛,拉着丝垂了下来,一会儿,蜘蛛又顺着丝爬上去,在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”,使笛卡尔思路豁然开朗。他想,可以把蜘蛛看做一个点,它在屋子里可以上、下、左、右运动,能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢?他又想,屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线,如果把地面上的墙角作为起点,把交出来的三条线作为三根数轴,那么空间中任意一点的位置,不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗?反过来,任意给一组三个有顺序的数,例如3、2、1,也可以用空间中的一个点P来表示它们,如图1:

为何说笛卡尔在蜘蛛结网中发现平面直角坐标系

同样,用一组数(a,b)可以表示平面上的一个点,平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示,如图2:

为何说笛卡尔在蜘蛛结网中发现平面直角坐标系

有人觉得在蜘蛛的启示下,笛卡尔创建了直角坐标系扯的有点远。或许这则故事真实性有待查证,但笛卡尔确实创建坐标系。

直角坐标系的创建,在代数和几何上架起了一座桥梁。它使几何概念得以用代数的方法来描述,几何图形可以通过代数形式来表达,这样便可将先进的代数方法应用于几何学的研究。

在参照系中,为确定空间一点的位置,按规定方法选取的有次序的一组数据,这就叫做“坐标”。为了说明质点的位置、运动的快慢、方向等,必须选取其坐标系。在某一问题中规定坐标的方法,就是该问题所用的坐标系。坐标系的种类很多,常用的坐标系有:笛卡尔直角坐标系、平面极坐标系、柱面坐标系(或称柱坐标系)和球面坐标系(或称球坐标系)等。

在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称直角坐标系通常,两条数轴分别置于水平位置与垂直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做x轴或横轴,垂直的数轴叫做y轴或纵轴,x轴y轴统称为坐标轴,它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

为何说笛卡尔在蜘蛛结网中发现平面直角坐标系

坐标系所在平面叫做坐标平面。x轴y轴将坐标平面分成了四个象限,右上方的部分叫做第一象限,其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界,横轴、纵轴上的点及原点不在任何一个象限内。一般情况下,x轴y轴取相同的单位长度,但在特殊的情况下,也可以取不同的单位长度。

对于平面内任意一点C,过点C分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点C的坐标。一个点在不同的象限或坐标轴上,点的坐标不一样。在直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一个有序数对(即点的坐标与它对应;反过来,对于任意一个有序数对,都有平面上唯一的一点与它对应。

为何说笛卡尔在蜘蛛结网中发现平面直角坐标系

如:以数对形式(x,y)表示的坐标系中的点。如(3,-5),“3”是x轴坐标,“-5”是y轴坐标。

特殊位置的点的坐标的特点:

1、x轴上的点的纵坐标为零;y轴上的点的横坐标为零。

2、在任意的两点中,如果两点的横坐标相同,则两点的连线平行于纵轴(两点的横坐标不为零);如果两点的纵坐标相同,则两点的连线平行于横轴(两点的纵坐标不为零)。

3、点到轴及原点的距离:

点到x轴的距离为|y|; 点到y轴的距离为|x|;点到原点的距离为x的平方加y的平方的平方根。

象限

第一象限还可以写成Ⅰ,第二象限还可以写成Ⅱ,第三象限还可以写成Ⅲ,第四象限也可以写成

.第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

对称点

1.关于x轴成轴对称的点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数。(横同纵反)

2.关于y轴成轴对称的点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数。(横反纵同)

3.关于原点成中心对称的点的坐标,横坐标与横坐标互为相反数,纵坐标与纵坐标互为相反数。(横纵皆反)

点的符号

横坐标 纵坐标

第一象限:(+,+)正正

第二象限:(-,+)负正

第三象限:(-,-)负负

第四象限:(+,-)正负

x轴正半轴:(+,0)

x轴负半轴:(-,0)

y轴正半轴:(0,+)

y轴负半轴: (0,-)

x轴上的点的纵坐标为0,y轴上的点的横坐标为0。

原点:(0,0)

1、第一象限中的点的横坐标(x)大于0,纵坐标(y)大于0。

2、第二象限中的点的横坐标(x)小于0,纵坐标(y)大于0。

3、第三象限中的点的横坐标(x)小于0,纵坐标(y)小于0。

4、第四象限中的点的横坐标(x)大于0,纵坐标(y)小于0。

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