五行说的数学论证
胡化凯著中国科学技术大学自然科学史研究室
内容提要
五行说是中国传统哲学的重要理论，对古代科学文化的许多方面都有过重要影响。本文通过数学论证表明，五行说不仅满足唯一性，而且是中国古代一种特殊的公理化体系。对五行说这种特性的揭示，有助于正确分析和评价中国古代一系列与其相关的科学文化现象。
长期以来，学术界多只把五行说作为一种哲学理论看待，认为金木水火土代表五种宇宙构成元素，相生和相克关系是古人对大量经验事实的总结，五行说是古代一种朴素唯物的自然观。经过深入研究后，我们认为，五行说的科学内涵远不止于此，它是一种思维水平相当高的严密理论体系。利用现代数学方法可以证明，由木火土金水构成的五行体系，是满足生克循环条件下，所含元素数量最少的唯一体系；而且五行之间所包含的各种相互关系，可用数学运算统一地表示出来。这一切都显示出，由木火土金水及其相关命题组成的体系具有准公理化性质。认识到五行说的准公理性质，对于中国古代科学文化史研究有重要意义。
一、五行体系唯一性的数学证明
所谓五行体系的唯一性，是指由木火土金水组成的体系，既满足生克循环条件，又满足所含元素数最少的要求。五行说认为，木火土金水五元素之间既循环相生又循环相克，即木生火，火生土，土生金，金生水，水生木；木克土，土克水，水克火，火克金，金克木。为了实施数学证明，我们用符号a、b、c、d、e、f……表示满足生克关系的元素（相当于五行的各元素），并用集G表示，G=｛a，b，c，d，e，f……｝⑴
G是一个无限集合。运用离散数学可以证明，由五个元素构成的集合是满足生克循环条件的最小集合。证明的方法是，把生克关系表示成偶序集，再用图论和矩阵表示这种关系集；根据集表示和图论得出的结果，与生克关系的要求进行比较，从而找出最小集合。
按照五行生克关系，以木火土金水（或abcde）排列为序，相邻两元素之间应有相生关系（如a生b，b生c），相隔一位的两元素之间应有相克关系（如a克c，c克e），且生克关系各自循环。因此G中的元素应满足四个条件：正向邻位相生，⑵
正向隔一位相克，⑶
生克各自循环，⑷
数量越少越好，⑸
若用有序偶（a，b）表示“a生b”，用（a，c）表示“a克c”关系，则相生和相克关系均可表示成有序偶集。采用这种方式，相生关系集S和相克关系集K可分别表示为S＝｛（a，b）（b，c）（c，d）（d，e）（e，f）……（x，a）｝⑹
K＝｛（a，c）（c，e）（e，g）（g，i）（i，k）……（y，a）｝⑺
式中x和y分别表示生克关系开始循环时的元素。S和K均为满集，否则不能把各元素间的生克关系全部表达出来。根据离散数学理论，S和K集合可用有向图和矩阵表示，且S与K的图应满足同构关系，S与K的矩阵应满足和同关系。这是离散数学模型对生克完备对应关系的反映。
考虑到五行各元素之间生克关系是单向不可逆的，因此有序偶表示应有（a，b）≠（b，a）⑻
（a，c）≠（c，a）⑼
根据以上定义，具体证明如下。
由条件⑶知，集G的元素数最小应大于2，否则无法满足“隔一位相克”的要求。现分奇数和偶数两种情况讨论。
大于2的最小奇数是3，设G由3个元素组成，即
运用与上述同样的方法可证明，偶数个元素组成的集合虽然能满足条件⑵，但均不满足条件⑶和⑷。具体地说，偶数个元素构成的相克有序偶集均不是满集，未能把相克关系全部表示出来；S和K的图表示均不满足同构关系；S与K的矩阵表示也均不满足和同关系。因此可得出结论：满足条件⑵、⑶、⑷、⑸的集合不可能由偶数个元素组成。
由上述可见，G（，5）是同时满足条件⑵、⑶、⑷、⑸的唯一集合。而G（，5）正是五行说的离散数学模型表示，因此命题得证。
由木火土金水构成的五行体系，在满足生克循环性要求下，是所用元素最少的唯一体系。五行说唯一性的证明，揭示出中国古人关于这一理论的思维符合现代科学的思维经济性原则，即用尽可能少的概念对尽可能多的事物作尽可能完备的描述。据比我们应对五行说及其相关理论的数理优越性有正确的评价。〔1〕占人模仿五行模式对自然界各种事物进行分类，形成了一系列五元化的科学概念体系，如用青赤黄白黑五色表示所有的色彩，用角徵宫商羽五音表示所有的乐章，把所有的味觉分为酸苦甘辛咸五味，把人在内的各种动物分为鳞羽倮毛介五类等等。从思维经济的观点看，这种五分法有一定的优点。中医学对五行说的运用最为充分，从基本概念的形成到具体治疗原则的确定，处处都贯串着五行生克关系的逻辑主线。从五行唯一性来看，中医学是企图用尽可能少的基本理论统一描述人体生命现象这一复杂内容，符合思维经济性要求，在一定意义上具有现代科学的一般特征。〔2〕此外，从唯一性特征出发，分析五行说的自然观和方法论意义，也可看出其应有的科学价值。
可以设想，中国古代的思想家们不会清楚地意识到五行说满足唯一性，但他们不自觉地做到了这一点。由此提示我们，应当注意发掘中国古代科学文化遗产的深层内涵，以便对其加以合理利用并作出公允的评价。
二、五行关系的数学运算表示
五行关系有四种，除了相生关系和相克关系外，还有乘侮关系和被生关系。五行相克是属性制约关系，它只考虑了事物的质，而未考虑事物的量，因此不是一种必然性关系，在现实中会出现当克而不克，当胜而不胜的现象。只有同时考虑质和量的共同作用而确定的关系才更加合理。五行乘侮关系便是古人在相克关系基础上，进一步计及量的作用而提出的。《素向·五运行大论》云：“气有余，则制已所胜，而侮所不胜。气不足，则已所不胜侮而乘之，已所胜轻而侮之。”这是对五行乘侮关系的集中概括。乘，为乘势治服对方；侮，有弱小被侮或持强凌弱之义。五行中任何两个有制胜关系的成员如AB之间，当从属性和数量上看都是A胜B时，称为A乘B；当从属性上看是A胜B，但从数量上看A弱B强时，便会出现A被B侮的现象，称为B侮A。相乘说在注意到属性制胜关系的同时，强调了量的重要性，从而把量与质摆在同等重要的地位，相乘与相克是同一种关系；相侮说则更进一步突破了事物质的规定性，把量提到了首位，它纯粹是一种由数量决定的反克关系。此外还有五行被生关系，如木被水生，水被金生等等。所以五行关系总共有生与被生，克（乘）与反克（侮）四种。我们不知古代是否曾有人对五行的全部关系作过专门研究，但从大量有关史料看，他们已充分认识到五行关系只有四种，这一点则是可以肯定的。
根据高等数学的群表示理论，五行循环关系可表示成一个五元循环群G（，5）｛木，火，土，金，水｝。为方便运算，我们以数字1、2、3、4、5分别代表木、火、土、金、水，则五元群可表示成G（，5）＝｛1，2，3，4，5｝
由此可用群的自映射运算表示所有的五行关系。考虑到五行关系的循环性，最简单的自映射运算是五进位制加法运算，即（G（，5），+）→（G（，5），+）。
1、相生运算表示
五行相生关系可表示为生成元为1的五进位制加法运算，以S表示相生映射，则有相生运算关系
即1→1+1＝2，木生火；
2→2+1＝3，火生土；
3→3+1＝4，土生金；(
4→4+1＝5，金生水；
5→5+1＝1，水生木。
2、相克（乘）运算表示
五行相克关系可表示为生成元为2的五进位制加法运算，以K表示相克映射，则有
即1→1+2＝3，木克土；
2→2+2＝4，火克金；
3→3+2＝5，土克水；
4→4+2＝1，金克木；
5→5+2＝2，水克火。
3、相侮运算表示
五行相侮关系可表示为生成元为3的五进位制加法运算，以R表示相侮映射，则有
即1→1+3＝4，木侮金；
2→2+3＝5，火侮水；
3→3+3＝1，土侮木；
4→4+3＝2，金侮火；
5→5+3＝3，水侮土。
4、被生运算表示
五行被生关系可表示成生成元为4的五进位制加法运算，以B表示被生映射，则有
即1→1+3＝4，木被水生；
2→2+4＝1，火被木生；
3→3+4＝2，土被火生；
4→4+4＝3，金被土生；
5→5+4＝4，水被金生。
生成元为5的加法运算是五元群的自还原运算，即n→n+5＝n，它不表示任何关系。可以证明，在一个五元循环体系中，只可能构成四种相互关系。因此，以上四种运算所表示的便是五行说的全部关系，它们构成了一个完备的体系。
五行体系的全部关系可用五元循环群的自映射运算表示。从数学上看，循环群具有动态稳定性，它是一种动态稳定结构的数学模型。由此说明，五行关系也具有动态稳定性。动态稳定关系是可控制性的基本条件之一。五行说在古代人体生命科学中的运用较为成功，而人体即是一个动态稳定性控制结构。由此我们猜测，五行说在生命科学中应用获得成功，其原因之一很可能与五行体系和人体结构有着相似的动态稳定控制属性有关。
用群映射理论描述五行关系，意在借助数学方法发掘五行说的理性内涵，使我们对其属性有更充分的认识和理解。上述循环群的自映射运算向我们表明，五行生克乘侮关系构成一个完备的体系；五行体系具有动态稳定性特点。
三、五行体系的准公理性质
根据上述五行唯一性和五行关系完备性的数学证明，我们可进一步认为，五行体系是个准公理系统。公理是无需证明的、假定为真的命题。公理系统是这样的系统：从一些基本概念和基本命题出发，依据特定的演绎规则，推导出一系列定理，从而构成一个逻辑完备的理论体系。对照五行体系，木火土金水为基本概念，五行之间邻位相生、隔一位相克、隔二位相侮等是特定的演绎规则，五行相生、相克、相侮和被生关系便是由基本概念和特定规则推导出的一系列定理，它们构成一个演绎体系。
古希腊，欧几里德在《几何原本》中建立了第一个公理系统。由于用公理化方法建立的理论体系，逻辑严谨，形式简洁，而内涵却十分丰富，因此公理化方法成为理论科学家最为欢迎的方法之一。1899年，希尔伯特（D·Hilbert1862—1934）提出了公理系统的三个判据：独立性、完备性和相容性（无矛盾性）。此后人们认为，一个命题系统只要满足这三个条件，就是公理体系。五行体系即满足这三个条件。
独立性是要求公理系统中无多余的基本概念及命题，也即要求系统中的成员（基本概念及命题）越少越好。前已证明，由木、火、土、金、水五元素组成的系统，是满足生克循环条件下所含元素最少的唯一集合，它们所对应的关系命题也最少。这正是公理体系的独立性所要求的。
完备性是要求公理体系中的概念和命题完全自足，它们能把所涉及的全部关系都揭示出来。由前面的五行关系演算可知，五行体系的四种相互关系已全被古人揭示出来，它们构成一个完备体系。这说明五行说的内容也满足完备性要求。
相容性是要求公理体系各成员之间不能相互矛盾，也即不能由一命题导出与另一命题相矛盾的结果。从全部五行关系来看，它们之间不存在矛盾。因此，五行体系各成员之间是相容的。
综上所述，五行说满足（或近似满足）公理化条件，因此我们可视其为公理系统或准公理系统。说“准公理系统”，因为它既不是数学的，也不是实验物理的逻辑公式，而是一套哲理性思维公式，是一套从甚为广泛的经验归纳而来的、表现复杂关联的非线性系统特性的公式。
认识到五行说的准公理性质，有助于我们正确评价中国古代的科学认识水平和理论思维能力。古人自觉地把五行应用于各个认识领域，用其描述事物的生克制化相互作用，揭示事物的周期性运动过程，模拟复杂系统的动态稳定性结构等，从认识方法来看，古人是把五行说作为一个普适性的基本公理在广泛运用。
我们认为五行体系具有公理化性质，并非是故意抬高古人的理论思维水平，由上述证明可看出，五行体系确实基本上满足公理化的要求。秦汉时代取得了一系列科学认识成果，除五行公理体系外，还如元气混一论的宇宙生成学说，整体系统性的有机论自然观，阴阳对立统一思想，五行抽象符号模式，执机控制的认识方法，同类相感的基本观念等等，它们都体现了当时的科学认识水平。五行说的准公理化性质表明，尽管我国古代在自然科学研究方面不如西方那样注重于用演绎方法构造理论体系，但并不能认为中国古人的思维活动完全没有对公理化的追求。企图使自己的理论体系简洁完美和逻辑严密是人类理性创造活动的共性之一，西方古代在这方面表现的较为明显，中国古代相对弱一点，但不是没有。五行说即是中国古人创造的一个特殊的公理体系。
本文得到李志超教授和张秉伦教授的指导和帮助，谨此深致谢意。
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