奥妙神奇的量子世界| 众妙之门

文小刚 （麻省理工学院终身教授、格林讲席教授）

艺术发现创造我们感知中的美。科学探索揭示大自然中的奥妙和神奇。而这些奥妙和神奇所产生美感，是科学家潜心激情作研究的动力。在这篇文章中，我们将介绍量子世界的奥妙和神奇。这些奥妙和神奇，是如此地超出我们日常的经验和感受，我们无法用日常的语言来描写它们。我们需要引入新概念新名词，如波粒二象性、测不准原理、量子比特、玻色子费米子、电子云等等。在这篇文章中，我们将比较详细地介绍这些新概念新名词，由此一窥我们这个身在其中、非常熟悉，但又如此不可思议的世界。我们希望为读者拨开量子世界神秘的面纱，让我们一起来体会欣赏量子世界之美。

什么是粒子?

牛顿力学的根基

物理的研究对象是世界上各种各样的存在，而粒子是存在的基本形态。这是因为其它的物质都可以认为是由粒子组合的。

粒子这一存在，可以有很多状态。如粒子可以有不同的位置，用三个数（三个方向的坐标）来描写。这马上就产生一个问题：这三个数是不是对一个粒子的状态的完备描写？是不是代表一粒子状态的全部信息？为了回答这个问题，我们需要问，知道了这三个数，知道了粒子的位置，是不是就能确定粒子将来的运动轨迹？答案是不能够。所以描写粒子位置的这三个数不是粒子状态的全部信息，只代表部分信息。要完全的描写一个粒子的状态我们需要六个数：三个数是位置，三个数是速度（速度在三个方向上的分量）。这六个数完全描写了粒子的状态，决定了粒子将来的运动轨迹。也就是说如果我们知道现时刻(时刻t)的粒子状态：，我们就可以通过牛顿定律得到下一时刻（时刻）的粒子状态：

其中是粒子所受的力。上面就是牛顿力学的基本内涵。我们看到牛顿力学是建立在对粒子存在和对其状态描写的基本认知之上。加上对状态演化的描写(也就是对将来的预言能力)，我们就得到了一个完整的物理理论。

牛顿（左）、麦克斯韦（右）

粒子不是粒子，波不是波

可是上面对粒子存在的基本认知，和对其状态的描写，仅仅是我们头脑中的一个想象，一个模型。通过对微小粒子（如电子）的细致精确的实验，我们发现，真实的粒子完全不像上面描写的那样。牛顿力学并没有描写我们这个世界中真实存在的粒子。

名正则言顺。为了区分这些不同的概念，我们把上节所描写的粒子叫做经典粒子，而把我们世界中真正存在的粒子叫做量子粒子。这样我们就可以清楚地说：经典粒子在我们这个世界中并不存在，其纯粹是我们头脑中所想象的东西。而在我们世界中真正存在的粒子是量子粒子。      

普郎克（左）、爱因斯坦（右）

我们对量子粒子的认识，始于普郎克对黑体辐射，也就是高温物体发光光谱的研究。麦克斯韦之后，大家都认为光是一种波。但普郎克发现，为了解释高温物体发光光谱，他必须假设光波的能量不是连续的。光波的能量只能取一些离散的值。具体地说，频率为f的光的能量只能是hf的整数倍，其中h就是有名的普郎克常数。这相当于要求光波的振动幅度只能取一些离散的值。为什么一个波的振动幅度只能取一些特殊的离散值，这是非常不可思议的。

图1  光电效应实验：把两个金属电极密封在抽真空的玻璃管中。在两个电极之间加一个电压。当光照到一个金属电极上，被冲出的电子要克服两个电极之间的电压差，才能走到另一个电极，在廻路中产生电流。所以调节两电极之间的电压，就可以测出被冲出电子的最大能量。人们发现电子的能量和光的强度无关，但和光的频率有关。

后来爱因斯坦引入了光子的概念，来解释这一光波能量量子化的现象。光子不仅能解释黑体辐射光谱，同时也解释了新的光电效应。所谓光电效应就是当光照射在金属表面时，会从金属中冲出电子。人们吃惊地发现，被冲出电子的最高能量和光的强度无关，光强只影响被冲出电子的数量。被冲出电子的能量只和光的频率有关（图1）。当我们把光的频率增加Δf 时，被冲出电子的能量也增加hΔf 。如果我们把光看作一束粒子，其每个粒子带的能量为hf ，我们就很容易解释观测到的光电效应：金属中的电子吸收一个光子，获得hf 能量。光的频率增加Δf 时，电子获得的能量也增加hΔf ，这正是我们观测到的现象。所以光电效应告诉我们光是一束粒子，每个粒子的能量由光的频率决定：E=hf 。通过光和电子的散射，我们甚至还能确定这些粒子的动量。我们发现粒子的动量p由光的波长λ唯一决定：p=h/λ。有趣的是，同一个普郎克常数h，同时出现在能量频率关系中和动量波长的关系中。我们又回到早期牛顿的光的粒子说。

光到底是粒子还是波？其实波性和粒子性存于一身，正是量子粒子的特性。这之所以可能，是因为在我们这个世界中，存在这一基本概念和我们以前的想象完全不同。下面我们就来仔细解释一下什么是量子存在，什么是量子粒子。

什么是量子存在? 什么是量子粒子？

量子力学的根基

量子粒子这个真实的存在，也有不同的状态。那这些不同的状态是用什么数据来描写的呢？首先量子粒子也有不同的位置。我们用记号来描写粒子在位置这一个状态。

但我们世界中存在的量子粒子，还允许一种不可思议的存在状态，这就是两个状态的叠加态。比如说和是一个量子粒子两个可能的不同状态，一个代表粒子在位置，另外一个代表粒子在位置。那么这两个状态的叠加态 ，也一定是量子粒子的一个可能的状态。这就是量子力学中的叠加原理。在这个叠加态中，粒子又在位置又在位置，它又不在位置又不在位置。我们的世界就是这样一个奇奇怪怪的量子世界，这种莫名其妙的叠加状态是真实存在的。这种没有经典对应不可思议的状态，我们通常称它为量子态。

这类莫名其妙的量子态还有很多种，除了之外，也是一个可能的量子态，代表了一个粒子可能存在的另一个状态。更广义的状态还可以是，其中和是两个复数。

上面仅仅是讲了两个位置的叠加态。我们还可有所有不同位置的叠加态：

其中代表对所有的位置求和。我们发现一个量子粒子的不同的叠加态，是用不同的复函数来描写的。这种类型的叠加态是完备的，其代表了一个粒子所有可能的量子状态。所以一个粒子的量子状态，被一个复函数来完全描写。这种对粒子状态的描写，形成了量子力学的基础。

一个函数描写了一个在空间上的分布。可这是对一个波的描写。我们发现，由于量子理论中的叠加性，对一个量子粒子状态的描写，相当于对一个波的描写。这就是有名的波粒二象性，而复函数也被叫做是波函数。我们看到，量子力学的真正革命之处，就在于其修改了存在这一基本概念。这也是量子力学很难理解的根本原因。量子力学的内涵不在于量子化离散化，而在于对存在的重新识知。这样看来，量子力学这个名字，有点名不正言不顺，没有抓往最关键的内涵。“波动力学”或者“矩阵力学”这两个名称可能更准确。

海森堡测不准原理

 
海森堡

根据上面的描写，我们知道，如果波函数只在一点不为零，而在其它位置都为零，那这样一个波函数就描写了一个处于这个位置的粒子（图2a）。那什么是波函数描写速度为的粒子呢？速度为的粒子其动量为，其中m是粒子的质量。它对应于波长为λ=h/p的波：（图2b）。我们注意到这个波函数处处不为零，粒子出现在所有地方，位置非常不确定。这就是有名的海森堡测不准关系：一个粒子速度确定了，其位置就不确定；一个粒子位置确定了，其速度就不确定。我们找不到一个波函数，它又有一个确定的位置，又有一个确定的速度。也就是说位置速度都确定的粒子根本就不存在。

测不准关系是神奇的量子叠加原理的一个推论。一个有完全确定速度的粒子状态，是所有不同位置的粒子状态的一个叠加。一个有完全确定位置的粒子状态，是所有不同速度的粒子状态的一个叠加。所以速度的完全确定就导致了位置的完全不确定。而位置的完全确定又导致了速度的完全不确定。不管多么别扭，这就是我们的真实世界。

图2：（a）一个位置完全确定的波函数。（b）一个速度完全确定的波函数。（c）一个位置有点儿不确定速度也有点儿不确定的波函数。这个波函数，描写了我们日常说的，同时有位置有速度的粒子。其实粒子的速度位置都有点不确定。速度位置都完全确定的状态根本不存在。因为波函数是一个复数函数，这里蓝线是波函数的实部，红线是波函数的虚部。

上面对一个粒子的量子描写，好像完全是胡说。一个粒子明明可以同时有位置和速度，这不仅仅是我们日常的经验，也是实验的观察。说粒子不可以同时有位置和速度，有悖于已有的实验观察。其实这里并没有矛盾。量子力学说的是，位置速度都完全确定的东西不存在。但位置有点不确定，速度也有点不确定的东西，还是可以存在的。这样一个状态是由图2c中的波函数所描写的。我们日常经验中所谓同时有位置和速度的粒子，其实是位置和速度都有些不确定的粒子。只不过这个不确定很小，以前没有注意到。但这个小小的不确定性彻底颠覆了经典力学的看法。我们不能用六个数，来刻画一个粒子的状态，我们必须用一个波函数来刻画一个粒子的状态。这个变化太大了，彻底改变了我们对世界的认知。

粒子的波性和薛定谔方程

图3  单缝和双缝实验展示了我们世界中真实粒子的波动性

我们世界真实粒子的这种波动性，可以通过双缝实验来验证（图3）：我们让一束电子通过两个窄缝，观察窄缝后屏幕上电子的强度分布，其由波函数的绝对值平方给出。如果我们挡住一条缝，我们会观察到一个强度分布，如果我们挡住另一条缝，我们会观察到另一个强度分布。但如果两个缝都打开，让我们吃惊的是我们看到的不是上面两个强度分布的和，而是一个有附加干涉条纹的强度分布。这和通过双缝的水波所产生的干涉条纹一模一样（图4）。我们特别注意到，在量子世界中，两种可能性的叠加，有时反而使可能性减少，甚至可以减少到零变成不可能。经典粒子可能性的叠加总是概率叠加，可能性不会减少，只会增加。而量子粒子可能性的叠加是波的叠加，叠加后的可能性有时增加，有时减少，甚至有时可以变成零。

图4  波通过双缝后的干涉条纹

通过对干涉条纹的仔细分析，我们发现电子所对应的波的波长，是由电子的动量（动量就是质量乘速度）来决定的：λ＝h/p，和光子的波长动量关系一模一样。这样德布罗意就猜测，所有粒子都是波，所有波都是粒子。他们的波长动量的关系都是p=h/λ。受到光的能量频率关系的启发，德布罗意进一步猜测，所有粒子所对应的波的频率，也都是由其能量给出的f=h/E。

德布罗意（左）、薛定谔（右）

波函数是对一个粒子状态的完备描写。也就是说知道现在这一时刻的波函数，我们就能知道下一时刻的波函数：

上面也可以写成微分方程的形式：

这就是有名的薛定谔方程，它描写了一个粒子的态（波函数）如何随时间变化，给出了量子力学的预言能力。这一对粒子状态及其随时间演化的新描写，就是所谓的量子力学理论。这种对粒子存在的新认知，导致了我们对大千世界的新认知，导致了一个新的量子世界观。

一个质量为m的粒子的能量和动量，有一个确定关系E=p²/2m。由于能量频率关系和动量波长关系，这就导致了当我们把粒子看作是波的时候，其频率和波长也有一个关系f=h/2mλ²。由薛定谔方程所解出来的波，其频率波长正好满足这一关系。其实历史上，薛定谔正是利用这一关系来凑出他的方程。

什么是量子比特？

量子叠加原理是量子力学的灵魂。这里我们用一个更简单的系统来进一步的介绍量子叠加原理。在经典物理中，最简单的系统就是一个比特。一个比特只有两个态：0和1。而量子叠加原理告诉我们：任何两个态的叠加也是一个可能的态。所以一个量子比特，不仅有和两个态，还有它们的任意叠加态：

这里和是两个复数，被称之为叠加系数。我们发现一个量子比特可以有无穷多个不同的状态，这些状态由两个复数和来刻画。

其实事情还没有这么简单。这两个复数对量子比特状态的刻画不是一一对应的，而是多对一的。两对复数和其实描写的是同一个量子态，如果它们之间有如下的关系的话

其中c是一个任意的复数。所以一个量子比特不同的态对应于一个球面上的点。这就是量子比特状态的布洛赫球表征（图5）。经典比特1和0两种状态对应于南北两极。而量子比特可以处在这两种态的任意叠加态上，由球面上的其它点表示。这些点表达了这么一个又不是0又不是1，但又是0又是1的虚无缥缈的状态。在量子世界中好像连逻辑这一基本推理工具都要被修正了。

图5：布洛赫球：一个量子比特不同的量子态，一一对应于一个球面上的点。我们可以用一个电子的两个自旋态，来实现一个量子比特：自旋向上对应于0态，自旋向下对应于1态。那么自旋向上和自旋向下的叠加态，也就是球面上的其他点，对应于自旋指向那个方向的量子态。比如是一个指向水平x方向的自旋态，而是一个指向水平反x方向的自旋态。自旋向上的态也可以看成是和两个态的叠加：。

图6  如何把一只可爱的猫，变成一只薛定谔猫

量子比特这不是0不是1，又是0又是1奇怪的状态是有名的活猫死猫悖论的来源。想象在一个密封的盒子中，有一只猫、一瓶毒药、一个榔头，和一个量子比特探测器（图6）。我们给探测器一个量子比特，让其测量。如果量子比特是处于1态的话，榔头就会落下，放出毒药，我们就会得到一只死猫。如果量子比特是处于0态的话，榔头就不会落下，猫还是活的。如果量子比特是处于0和1的一个叠加态，那么过了一段时间，这只猫到底是死的还是活的？按照量子理论，这只猫应该是处于一个不死不活，又死又活的状态。而这种状态的猫还有一个学术名字，叫薛定谔猫（图7）。它还有一个数学符号。

图7  对不死不活又死又活的薛定谔猫的艺术描写

有人会说薛定谔猫这个东西是不可能存在的。量子力学得出它，反映了量子力学中的叠加原理是错的。可另一方面我们的确看到了电子束的干涉现象。我们必须用量子叠加原理来解释这一干涉现象。也许薛定谔猫真的存在。这是一个很好的实验方向。我们应当设计具体的实验，来验证薛定谔猫是否真的存在。当然，人们可能不会真的用猫来做实验，我们可以用有不同宏观状态的体系来代替猫。

图8  量子力学的平行宇宙解释

也有人觉得，不死不活，又死又活这个概念太难接受。于是引入了一个，我个人认为，更难接受的概念：平行宇宙。活猫死猫分别进入了自己的平行宇宙（图8）。是死是活就看你是处于哪个宇宙中。这就是量子力学的一个平行宇宙解释。这不同于标准的对量子波函数的几率解释。

我们看到，一个最简单的量子系统，量子比特，已经是这么一个怪兽。这一怪兽，可以有无穷多个状态，所以比经典比特的0，1两个状态，有更强大的表达能力和计算能力。因此量子比特是强大量子计算的基础。量子叠加原理还能导出量子纠缠的概念。这是强大量子计算的另一个基础。这里我们就不细说了。

眼见为实

电子真的是波吗？通过扫描隧穿显微镜（图9第一幅），我们还真能直接“看”到电子的波。扫描隧穿显微镜有一个很尖的针尖，针尖顶上只有一个原子。这个针尖在金属表面扫描，可以看到一个个原子（对应图9中的小尖包）。甚至可以拨动一个个原子，组成各种图形。

仔细的读者可以发现在原子的周围，有缓缓的波形，这就是金属中的电子波。金属中的电子十分不安分，跑来跑去，即使在绝对温度零度时，也停不下来。原子周围缓缓的波形，就是运动中的电子，碰到金属表面的原子，所形成的的干涉现象（驻波）。我们可以根据驻波的波长λ，来估算金属中电子跑动的速度：v=h/λm_e，其中h是普郎克常数，m_e=9 x10²⁸g是电子的质量。从图9中，我们可以读出λ＝14x10^-8cm。我们得出电子的速度为v=5x10⁵m/s。这比空气中的音速快了一千五百倍。为什么即使在绝对温度零度时，金属中的电子还要如此疯狂的跑来跑去，不停下来休息休息？其实这来源于电子的费米性，电子根本停不下来！这个故事我们将在以后的文章中介绍。

图9  扫描隧穿显微镜，及其“看”到金属表面的原子，以及金属中跑动的电子和原子干涉所形成的驻波。