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第四天 轴对称法求两线段和最小问题 先和老师来做一道题 例：如图菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为 ． 考点：本题主要考查了对称点法求 两线段之和最小 问题及菱形的性质； 解题分析：首先，由四边形ABCD是菱形，AB=2，可知AB=BC=CD=AD=2，点B、D关于直线AC对称，点A、C关于直线BD对称； 其次，∵∠BAD=60°，∴（根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）△ABD和△CBD都是等边三角形；又∵E是AB中点，∴AE=BE=1，（根据三线合一）如果连接DE，则有DE⊥AB，∠ADE=∠BDE=30°；（这些东西是我们读完题后，心中自然要有的基本信息）； 最后求PE+PB的最小值，选择能用到的信息解题。 解题方法过程： 解：（因为点B关于直线AC的对称点为D）连接DE，交AC于点P，此时PE＋PB和最小（两点之间线段最短），即为线段ED．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，又∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∵E是AB的中点，AB=2，∴DE⊥AB （三线合一），AE=1/2AB=1， 总结与拓展 本题的关键是求 在一条直线上的动点到两定点间距离和最小 的问题，那么对于这样的题我们是有一个基本模型的： 在直线的同侧有两点A和B，在直线上找到一点P，使PA+PB最小。 方法是作其中一个点的对称点，如图1，比如作A点的对称点A’，再连接A’B，与直线l的交点P即为所求。 证明：根据轴对称的性质，l垂直平分AA’，∴PA’=PA，∴PA+PB=PA’+PB，根据两点之间线段最短，可知P即为所求。 验证：假如P在其他的位置，连接P’A、P’B、P’A’，依然有P’A=PA’，但此时在△A’P’B中，A’P’+P’B>A’B，∴A’B是最短的。） 拓展：最值型试题历年来是中考数学的热点，备受命题者的青睐，尤其在轴对称图形中容易出这样的题,能很好地考查学生综合运用能力。另外还有一种求两线段差最大的问题： 如图2，在直线的两侧有两点A和B，在直线上找到一点P，使PA-PB最大。方法是作其中一个点的对称点，比如作B点的对称点B’，再连接AB’延长，与直线l的交点P即为所求。 证明：根据轴对称的性质，l垂直平分BB’，∴PB’=PB，∴PA-PB=PA-PB’=AB’最大， 验证：假如P在其他的位置，连接P’A、P’B’、P’B，依然有P’B=P’B’，但此时在△AP’B’中，AP’-P’B’<> 总结：所以最终总结一下 对称点法 求 两线段之和最小（或差最大） 问题： 1.找到动点所在直线 2.两定点位于直线同旁（两侧）， 3.选择最合适的定点作对称点，找到最小值（或最大值） 4.综合其他知识，求出最小值（或最大值） 平行四边形及特殊平行四边形知识点总结到此结束，欢迎订阅，因为学习才刚刚开始。 |
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