EM算法

EM算法--应用到三个模型： 高斯混合模型 ，混合朴素贝叶斯模型，因子分析模型

判别模型求的是条件概率p(y|x)，

生成模型求的是联合概率p(x,y)   .即 = p(x|y) ? p(y) 
常见的判别模型有线性回归、对数回归、线性判别分析、支持向量机、boosting、条件 随机场、神经网络等。
常见的生产模型有隐马尔科夫模型、朴素贝叶斯模型、高斯混合模型、LDA、Restricted Boltzmann Machine等。

所以这里说的高斯混合模型，朴素贝叶斯模型都是求p(x,y)联合概率的。(下面推导会见原因)

套路小结： 凡是生产模型，目的都是求出联合概率表达式，然后对联合概率表达式里的各个参数再进行估计，求出其表达式。

下面的EM算法，GMM等三个模型都是做这同一件事：设法求出联合概率，然后对出现的参数进行估计。

 一、EM算法：

作用是进行参数估计。

应用：（因为是无监督，所以一般应用在聚类上，也用在HMM参数估计上）所以凡是有EM算法的，一定是无监督学习.因为EM是对参数聚集

给定训练样本是 样例独立，

我们想要知道每个样例隐含的类别z，使是p(x,z)最大，（即 如果将样本x(i)看作观察值， 潜在类别z看作是隐藏变量， 则x可能是类别z， 那么聚类问题也就是参数估计问题，）

故p(x,z)最大似然估计是：

所以可见用到EM算法的模型（高斯混合模型，朴素贝叶斯模型）都是求p(x,y)联合概率，为生成模型。

 

对上面公式，直接求θ一般比较困难，因为有隐藏变量z存在，但是一般确定了z后，求解就容易了。

EM是一种解决存在隐含变量优化问题的有效方法。竟然不能直接最大化?(θ)，我们可建立?的下界（E步），再优化下界（M步），见下图第三步，取的就是下界

  （总式）

解释上式：

对于每一个样例 i，让Qi表示该样例隐含变量 z 的某种分布，Qi满足的条件是 （如果 z 是连续性的，那么Qi是概率密度函数（因子分析模型就是如此），需要将求和符号换成积分符号即：因子分析模型是如此，这个会用在EM算法的M步求。

比如要将班上学生聚类，假设隐藏变量z是身高，那么就是连续的高斯分布。 如果按照隐藏变量是男女，那么就是伯努利分布（即两点分布：）了。

上总式第1到第2步是分子分母同乘一个数，

第2到3步是：用了jasen不等式： （凸函数图形上表示反为凹函数，记住。）

如图：  。因为第2步log是凹函数 ：，所以f(E(x)) >= E[f(x)].这样就完成了第3步（详情见对应讲义。）

 

至此推导完上面3步公式，下面所有模型都是对上面第3步公式进行参数估计的！！！

---

 

下面 对第三步的Q(z)进行推导：

（见讲义）

所以Q(Z)最终表示： ，其中z只受参数θ影响。

所以EM算法：

（承上启下：在m步中，最终是对参数θ进行估计，而这一步具体到高斯混合模型，则θ有三个参数：mu,phi,sigma代替，即高斯混合模型要推导三个参数，下面会讲）

至此，这就是EM算法所有推导，EM算法推导也只能推导这些步，具体再将这些公式推导下去，就要结合模型了。

 

总结：

如果将样本看作观察值， 潜在类别看作是隐藏变量，   那么聚类问题也就是参数估计问题，只不过聚类问题中参数分为隐含类别变量和其他参数。

对应到EM上，E步估计隐含变量，M步估计其他参数，交替将极值推向最大。

例子：在Mitchell的Machine Learning书中也举了一个EM应用的例子，将班上学生的身高都放在一起，要求聚成两个类。这些身高可以看作是男生身高的高斯分布和女生 身高的高斯分布组成。因此变成了如何估计每个样例是男生还是女生，然后在确定男女生情 况下，如何估计均值和方差，里面也给出了公式。

 

---

---

---

 

二、混合高斯模型：

将EM算法融到高斯混合模型，将上面EM算法的E步、M步的公式再具体推导下去。

 

整个模型简单描述为：

对于每个样例 ，我们先从k个类别中按多项式分布抽取一个，

然后根据所对应的 k 个多值高斯分布中的一个，生成样例，整个过程称作混合高斯模型。

（即对样例x， 最终目的是生成样例x。（？？）即对样例x，从k个类别抽取一个z,从根据z生成x。）

 

特别地，混合高斯模型的

（1）隐含类别标签 ，被认为满足多项式分布，即  (这里只受?参数（即phi）影响)

（2）样例被认为满足 高斯分布，即   (所以μ和Σ分别为样例x的均值和协方差)

  　　　　　　　　　　 补充：服从的多项式分布概率公式为：，即类似C(n,x)*p6^x*(1-p6)^(n-x) 类型

　　所以 上面（1）（2）可知混合高斯模型中， 这里的仍是隐含随机变量。模型细化多了三个变量?，μ和Σ。(即是phi,mu,sigma). 

其中?j就是样本类别中  = j的比率。μj是类别为 j 的样本特征均值，Σj是类别为 j 的样例的特征的协方差矩阵(Σj是一个矩阵！！)。

 

所以由上面（1）（2）合并得，最大似然估计p(x, z)，对数化后如下：

         

 

  （对比一、EM算法里的总式： ，只是参数θ由原化成三个?，μ和Σ）

注意第二步有两个迭加号。第二个迭加号是z(i)=1 直到k个类别。z只有k个类别。

 

 

参考一、中EM算法推导：

所以混合高斯模型：

从EM算法步骤的   变成： （其中M步三个参数的右边公式在下面会进行推导。这里直接先给出参数结果。）

 

1. E步：   每个样例i的隐含类别z(i)为j的概率  可以通过条件概率计算得到。即

　　　　  （E）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（这里贝叶斯公式，分子是z=j一种类别情况，分母是z={1~k}k中类别的累加）　

　　　　1）对上式的分子第一项：（由上面加黄色背景段文字可知）服从高斯分布：，

　　　　　　故 =    。（其中Σ即是）

　　　　2）对(E)式分子第二项（又上面可知） 服从 多项式分布：

           所以分子直接代入即可，所以 可以求得。

 

2.M步：

　　　　先给出最终结果为: ,推导如下：

　　　　　　先看EM算法的M步：

　　

                   （M）

 　　　　　下面对三个参数phi,mu,sigma(?，μ和Σ)分别进行求导:

　　　　　（i）对μi 求导得(固定i，Σi):

　　　　　　　       <--  它是由　　　（据Ng说求的过程不重要？）等于0时所得　

　　           

　　　　　（ii）对i求导(固定μi，Σi）：

　　　　　　　　　　

 

 　　              　　   推导过程用了SVM中的拉格朗日乘子方法：

　　　　　　　　　　因为?i是 隐性随机变量z的多项式分布概率值，又有约束条件   

　　　　　　　　　　又由上面（M）步公式：

　　　　　　　　　　（why?????）

                               所以联合上两式，直接构成拉格朗日乘子：

　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　，   

 

　　　　　（iii）Σ的推导：

　　　　　　　　　　也类似，不过稍微复杂一些，毕竟是矩阵。结果在之前的混合高斯模型中已经给出。

 

 

3.迭代：对上面E,M步进行迭代，最后一定会收敛（证明见讲义）

 　　　　

　　　　　　如图，最终收敛成2个类，这里的样例收敛于椭圆，原因是高斯分布的二维几何图形是一个椭圆，（具体几何图形见下面因子分析，有详解）

 

拓展：

混合高斯模型GMM与K-means比较：

相同点：都是可用于聚类的算法；都需要指定K值。

 

不同点：对GMM来说，引入了概率；GMM可以给出一个样本属于某类的概率是多少。所以高斯混合模型既可以做聚类，也可做概率密度估计

 

---

---

---

 三、混合朴素贝叶斯模型

   混合高斯的例子：文本聚类: 要对一系列的文本聚类成若干主题。（用svm写文本分类是最好的）

　news.google.com就是文本聚类一个应用

　　怎样在文本新闻问题用到EM算法呢?

　　----->混合朴素贝叶斯模型。混合朴素贝叶斯模型有2个：多值伯努利事件模型（文本聚类就是用此）；多项式事件模型。

 

    模型描述为：

　　给定m个样本的训练集合是 ， 每个文本属于(0,1)^n。即每个文本是n维 0或1的向量。

 

　　故= { wordj 是否出现在文本i 里} 

　　我们要对(值是0或1) 进行建模，是隐含随机变量，这里取两个值：2个聚类。

    所以对混合贝叶斯模型，假设  服从参数有伯努利分布（两点分布），即： 图中x换成即可）。

     故每个文本按某概率属于聚类1或者聚类2

     

   同高斯混合模型，混合贝叶斯模型的联合概率是：

　　又     由贝叶斯公式可知：

     p(|) = p(| )     （i）

    p( = 1 | = 0)  =          (ii)

        把上面的z全部换成y,就得到常见的朴素贝叶斯公式：

 一般会前面两个等式右边的x=1，或省去=1，即写成i|y=1 = p(xi | y =1)      i|y=0  = p(xi | y =0) ,默认x取了1  

　　其中p(y=1)表示类别1（例如类别1表示垃圾邮件）的在所有文本的概率。这里xi表示一个单词，取值只有0或者1，表示出现在文本里或者没有出现。

 

 

EM算法步骤：

1.E步：

　　　 这里三个参数phi,mu,sigma,改成，，与?j|z

               将上面（i）（ii）式带入即可求得

2.M步：

　　　　　　　　对比贝叶斯原公式：

 　　　　  =     

　　　　　　　　     这里Wi表示文本来自于类1，分子Σ表示：类1且包含词j的文档个数，分布表示类1的文档总数。所以全式表示：类1包含词j的比率。

 　　     　　　　　　EM算法不能做出绝对的假设0或者1，所以只能用Wi表示，最终Wi的值会靠近0或1，在数值上与0或1无分别。

　　　　

　　　　  =   （分子的横斜是多余的，忽略）

　　　　　　　　　　　　　　全式表示：类0包含词j的比率

     

　　　        j|z         =  

3.迭代上面12步骤，收敛，求出参数估计，带回联合概率，将联合概率排序，由联合概率最高值 ，可得知哪个文本是输入哪个类了。