Unity 中的旋转

3dC 2016-08-29

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参考

1、关于万向节死锁

2、【Unity技巧】四元数（Quaternion）和旋转

一、Unity中的Rotation

在unity中，旋转的表示的常用方法之一，是一个三维向量（x、y、z）：

图1、Unity中的旋转

实际上这是欧拉角。这三个分量分别是绕x轴、y轴、z轴旋转的角度。

要对一个object进行旋转，还可以通过代码：

[csharp]view plain copy

transform.Rotate(x, y, z);

这里，如果看过《坐标系》一文，就会产生以下两个疑问：

1）x轴、y轴、z轴指的是那组基？是世界坐标系下的xyz轴，还是本地坐标系下的xyz轴？

2）旋转的正方向是如何确定的？

下面分别讨论。

二、旋转轴：静态欧拉角和动态欧拉角

首先回答第一个问题：到底哪个是旋转轴。这又要分为 3种情况。

1、旋转轴：Editor 中 Transform的旋转数值

对这个情况来说，其显示的旋转轴既不是世界坐标系的坐标轴，也不失本地坐标系的坐标轴。Editor中transform的旋转轴是父节点的坐标轴。这点在editor中看的非常明显，因此不再赘述。

2、旋转轴：在script中使用 rotate 函数，在 Space.Self 中旋转

Rotate 函数有两个入参：

[csharp]view plain copy

public void Rotate(Vector3 eulerAngles, Space relativeTo = Space.Self);

第二个入参的取值有两种：Space.Self 或者 Space.World。我们先看默认的 Self 的情况。使用下面的一段简单的代码来进行测试：

[csharp]view plain copy

public class TestRotate : MonoBehaviour {
public Space rotateSpace;
// Update is called once per frame
void Update () {
if (Input.GetKeyDown(KeyCode.R))
transform.Rotate(new Vector3(0, 10, 0), rotateSpace);
}
}

场景中进行测试的是一个圆柱体，其父节点的旋转为（30，30，0），圆柱体初始的旋转为（30，0，0），每次按下R键，就会在Space.Self 下绕 Y轴旋转10度，则结果为：

图2、在Space.Self中旋转

可以看到，圆柱体是绕着本地坐标系的Y轴旋转的。使用Space.Self进行旋转，旋转轴就是本地坐标系的坐标轴。

3、在script中使用 rotate 函数，在 Space.World 中旋转

下面测试 Space.World

图3、在Space.World中旋转

注意到这里 Parent 的 Y轴并不是 world 的 Y 轴，而这里的圆柱体明显是绕着世界坐标系下的 Y 轴旋转的，所以如代码所述，使用Space.World旋转，旋转是绕着世界坐标系的坐标轴旋转的。

4、静态欧拉角和动态欧拉角

前面说到的旋转轴的问题，在数学上有对应的概念。这就是所谓的静态欧拉角和动态欧拉角。

所谓静态欧拉角，就是其旋转轴使用的是静止不动的参考系。动态欧拉角，使用的是刚体本身作为参考系，因而会随着刚体的旋转而旋转。

因此，再看看前面的三种情况，使用Space.World旋转，以及 Editor 中的旋转，是静态欧拉角；使用Space.self，是动态欧拉角。

三、旋转的正方向

由于上面的代码是每次使得圆柱绕Y轴旋转10度，因此从上面的动图就可以看到，是符合左手规则的，即以左手大拇指指向旋转轴，则四指指向为正方向。

这其实是当然的：unity的本地坐标系和世界坐标系都是左手坐标系，当然应该使用左手法则。

图4、旋转的正方向

四、旋转的顺序

我们之前使用的旋转是一个vector3，包含x、y、z三个向量，分别对应着对 X旋转轴、Y旋转轴、Z旋转轴进行旋转。这里就又产生了一个问题：他是如何绕着这三个轴旋转的呢？

我们也分为静态欧拉角和动态欧拉角的情况讨论。

1、静态欧拉角

这种情况对应着上面的editor中显示的旋转，以及使用Space.World进行的旋转。即使旋转轴保持不变，旋转的顺序也决定了最后的旋转效果，我们来看下面的例子：

现在有一个物体摆放在世界中，现在我们要让他旋转角度（90，90，0）。现在有两种方法。

1）首先绕世界坐标系的x轴旋转90度，再绕世界坐标系的y轴旋转90度


初始状态	绕x旋转90度	再绕y旋转90度

2）首先绕世界坐标系的y轴旋转90度，再绕世界坐标系的x轴旋转90度


初始状态	绕y轴旋转90度	再绕x轴旋转90度

3）旋转顺序的影响

可以看到，结果完全不同！

其实从数学上也是可以理解的。在坐标系一文中我们说到，坐标系变换就相当于乘以变换矩阵，现在的旋转，实际上就是坐标系变换。而矩阵乘法是不满足交换律的，因此旋转的顺序不能交换，否则会得到不同的结果。

对于旋转的顺序，一般没有定式，需要明确指出其顺序。对此有一个专门的术语，称为顺规。如果在这个坐标系中的旋转，先绕x轴旋转，再绕y轴，最后再绕z轴，则称之为X-Y-Z顺规。以此类推。

对于Unity，从文档中可以看到，使用的是Z-X-Y顺规，这是一种常用的顺规，可以一定程度上避免万向节锁（这一概念我们会在下面讨论）。因此在unity中，使用静态欧拉角旋转（90，90，0），会得到第1小节中的情况：

图5、Unity中静态欧拉角的旋转顺序

2、动态欧拉角

动态欧拉角除了上面说到的顺规问题，还有一个额外的疑问：比如一个物体，初始状态记为A，以zxy顺规旋转（90，90，0），由于没有z轴旋转，第一步当然是绕着当前的x轴旋转90度，此时状态记为B，那么第二步要绕着y轴旋转90的时候，是绕着初始状态A时的y轴旋转，还是绕着此时的B状态下的y轴旋转呢？

首先来看两者的区别：

1）以初始状态A时的y轴旋转：


初始状态	绕x轴旋转90度	绕A状态的y轴旋转90度

2）以状态B下的y轴旋转：


初始状态	绕x轴旋转90度	绕B状态的y轴旋转90度

3）unity中的情况：

那么实际中使用的是什么方式呢？运行以下代码，会看到结果如下：

[csharp]view plain copy

transform.Rotate(new Vector3(90, 90, 0), Space.Self);

图6、Unity中动态欧拉角的旋转顺序

可以看到和情况1）相同，所以确认结果为1）。

如果分两次旋转，运行以下代码：

[csharp]view plain copy

transform.Rotate(new Vector3(90, 0, 0), Space.Self);
transform.Rotate(new Vector3(0, 90, 0), Space.Self);

则效果就和效果2）相同了。

图7、在Unity中，使用动态欧拉角两次旋转

最终结论是：每次使用Space.self进行rotate时，都是绕着调用时刻的坐标轴进行旋转的。

3、静态欧拉角和动态欧拉角的等价形式

这里展开讨论一下，静态欧拉角和动态欧拉角是可以相互转换的。具体的数学公式可以参考这篇博客。

其结论就是：在Space.World中旋转以 Z-X-Y 归顺旋转角度（x、y、z），等价于在Space.Self中分别顺次旋转（0，y，0）、（x，0，0）、（0，0，z）。

从代码上来说，就是以下两段代码等价：

[csharp]view plain copy

private void Rotate_World(float x, float y, float z) {
transform.Rotate(x, y, z, Space.World);
}
private void Rotate_Self(float x, float y, float z) {
transform.Rotate(0, y, 0, Space.Self);
transform.Rotate(x, 0, 0, Space.Self);
transform.Rotate(0, 0, z, Space.Self);
}

五、万向节锁（Gimbal Lock）

1、什么是万向节锁

在讨论欧拉角旋转的时候，一个绕不开的话题，就是万向节锁。

对万向节锁的定义可以参考这个视频。简单来说，就是两个旋转轴发生了重合。如下图：

旋转（90，0，z）

旋转（90，y，0）

可以看到绕Y轴和绕Z轴旋转产生的效果是相同的，都是在同一个平面旋转。即 Y 轴和 Z 轴产生了共线。

乍一看这很难以理解：在Editor中旋转是使用的是静态欧拉角，旋转轴是固定的，他们两两正交，怎么可能会共线？

首先我们从直观上来解释。这就要说到上面最后一小节的静态欧拉角和动态欧拉角的互相转换。注意到Unity中的旋转是 Z-X-Y 规顺，其和使用动态欧拉角 Y-X-Z 规顺进行旋转等价。而经过动态欧拉角（0，y，0）、（90，0，0）的旋转之后，Z 轴就和初始状态的 Y轴共线。因此这个时候，绕着 Z 轴旋转，就和在世界坐标系下绕着 Y 轴旋转产生的效果类似了。

从数学上也可以解释这个问题。这里可以参考CandyCat的文章：

可以看到第三维不会产生变化，这就是旋转分量的缺失。

2、如何产生万向节锁

从上面的过程就可以看到，要产生万向节锁，只需针对规顺的中间的那个坐标轴，进行90度的旋转，就会使得规顺前后两头的坐标轴产生共线。对于Unity中使用的Z-X-Y规顺，这个中间的坐标轴就是X轴。

3、万向节锁的问题

很多文章中都会提到，产生了万向节锁之后，就会导致丢失一个旋转分量。但实际上，就算产生了如上的万向节锁，看似不能在绕着原来的世界坐标系的Z轴旋转，但只要调用 Rotate（0，0，z，Space.World），就仍然可以让该物体旋转，并不会让物体无法旋转。

实际上，万向节锁真正的问题出在做插值动画的时候。

比如，起始状态如下，产生了万向节锁：

图8、初始状态

现在想要让他旋转到以下状态：

图9、结束状态

那么理想的情况如下：

图10、期望的旋转

但是，注意到由于万向节锁的存在，中间旋转角度（x、y、z）需要产生跳变，那么如果使用普通的插值，就会要从（90，0，0）到（150，90，90）进行插值，那么效果如下：

图11、用欧拉角进行插值

可以看到，物体会沿着一条弧线进行旋转。这就是万向节锁的问题。

4、在欧拉旋转中尽力规避万向节锁

前面说到，产生万向节锁的关键是规顺的中间的那条坐标轴。只要不绕着这个坐标轴旋转90度，就不会发生旋转分量丢失的问题。这就是为什么大多数软件都将 X 轴作为中间的那条坐标轴的原因：常见的旋转插值是对Camera进行的，而如果绕着X轴旋转90度，则意味着正向上，或是正向下，这两种情况都是非常少见的。也就是说，相比于Y轴和Z轴，绕X轴旋转90度是非常少见的。这样就可以尽量的避免万向节锁。

但这终归是指标不治本的方法，另一种完全解决这个问题的方法，就是不再采用欧拉角表示旋转，这就是我们下面要讨论的四元数。