例1. 求函数 的最值。 错解: ∴ 故y有最大值 错因:均值不等式应用的条件不具备。均值不等式 成立的前提条件是 ,如果 时, 。在运用均值不等式时,首先要观察其条件是否允许直接使用,否则,就需要分情况讨论。 正解:当x>0时, 故 当x<> 故 例2. 求 的最小值。 错解: 错因:均值不等式应用时另一边不是定值。在运用均值不等式时,不等式的另一边必须为定值,而题中所得 并非定值。在解题过程中,合理的“拆、拼、凑”是常用的解题技巧。 正解: 当且仅当 即 时,取得最小值 例3. 的最小值为_________________。 错解: 错因:上述解法忽略了均值不等式等号成立的条件,当 ,即sinx=2时才取得等号,而事实上sinx=2是不成立的。 正解: (当且仅当sinx=1,即 时,取得等号) (当且仅当sinx=1,即 时,取得等号) ∴ 故函数的最小值为 启示:①均值不等式具有将“和式”转化为“积式”,或“积式”转化为“和式”的功能; ②创设应用均值不等式的条件、合理拆分或拼凑因式是常用的解题技巧; ③“和定,积最大;积定,和最小”应用此结论求值应注意“一正、二定、三相等”。 例4. 已知x, ,且x+y=5,若lgx+lgy 恒成立,则k的最小值是___________。 解析:因为x, 所以 (当且仅当x=y时取得等号) 点评:通过不等式产生最值,使恒成立问题获解,此法是求解恒成立问题的一种重要的方法。 |
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