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均值不等式应用误区例析

 启程的男孩 2016-08-29

例1. 求函数

的最值。

错解:

故y有最大值

错因:均值不等式应用的条件不具备。均值不等式

成立的前提条件是

,如果

时,

。在运用均值不等式时,首先要观察其条件是否允许直接使用,否则,就需要分情况讨论。

正解:当x>0时,

当x<>

例2. 求

的最小值。

错解:

错因:均值不等式应用时另一边不是定值。在运用均值不等式时,不等式的另一边必须为定值,而题中所得

并非定值。在解题过程中,合理的“拆、拼、凑”是常用的解题技巧。

正解:

当且仅当

时,取得最小值

例3. 

的最小值为_________________。

错解:

错因:上述解法忽略了均值不等式等号成立的条件,当

,即sinx=2时才取得等号,而事实上sinx=2是不成立的。

正解:

(当且仅当sinx=1,即

时,取得等号)

(当且仅当sinx=1,即

时,取得等号)

故函数的最小值为

启示:①均值不等式具有将“和式”转化为“积式”,或“积式”转化为“和式”的功能;

②创设应用均值不等式的条件、合理拆分或拼凑因式是常用的解题技巧;

③“和定,积最大;积定,和最小”应用此结论求值应注意“一正、二定、三相等”。

例4. 已知x,

,且x+y=5,若lgx+lgy

恒成立,则k的最小值是___________。

解析:因为x,

所以

(当且仅当x=y时取得等号)

点评:通过不等式产生最值,使恒成立问题获解,此法是求解恒成立问题的一种重要的方法。

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