【吴老师讲数学】2016年中考中的最值问题（二）

上一期我们讲过三种几何最值，大家还记得吗？一、点点线最短；二、点线点最短；三、点线线点最短，相信同学们对这三类题目已经有了较新的认识，那么今天我们来看看另两类的几何最值：一个是造桥选址，一个是面积最值.

一、造桥选址

造桥选址问题是在河的两岸分别有A、B两点，求作一桥使从A到B的路程最短.如图，一般做法是把点A向下平移一个“河宽”到A'，再连接A'B与河有交点M，过M作另一河岸的垂线MN，则MN的位置即为桥的位置（如）.

二、面积最值

面积最值比较特殊，一般可以构造函数，根据函数的最值解决问题，这种方法我们下次在函数最值时再讲，今天要就题论题，讲2016年陕西中考25题第（3）题，应用三角形的两边之和大于第三边，在三角形的三个顶点在一线上时边长有最值来解决.

三、2016年真题

1、（2016.重庆.26（2））如图1，在平面直角坐标系中，抛物线

与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E.

（1）判断△ABC的形状，并说 明理由；

（2）经过B、C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止.点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长.

参考答案及解析：

（1）.△ABC的形状为直角三角形.由函数解析式可求得A、B、C三点的坐标，再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状.

（2）.最短路径的长为：

在此我主要说明一下点N在y轴的什么位置时才能使点Q的路径最短：仔细阅读题意可以发现其实点Q的最短路径就可以看作从点P出发经过y轴与抛物线的对称轴所构成的“河宽”，最后到达点A.根据造桥选址问题的解题策略，先把点P向左平移一个“河宽”到点P'，再连接P'A，则P'A与y轴的交点即为点N的位置.然后分别求得P'、N的坐标，求出点Q的最短路径长为PP'+AP'的和.

2、（2016.陕西.25题（3））问题提出

（1）略

（2）略

 (3)如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90度，EF=FG= √5米,∠EHG=45度.经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF<>< p=''><>

（参考答案：能裁出，所裁得四边形EFGH的面积为

.如图，因为

EG的长度一定，当FG最大时，面积最大.由全等易得四边形EFGO为正方形，构造圆Ｏ，因为∠EOG=∠EFG=90度， ∠EHG=45度，所以点Ｇ在圆O上，由勾股定理构造方程可求得BG=AF=1，所以GC=EC=5,所以点F、O、C三点共线，当点G也在线段FC上时，FG最大，从而求得四边形EFGH的面积.）

四、一展身手

（山东省竞赛题）正△ABD和正△CBD的边长为a，现在把它们拼合起来，如图所示，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足：AE+CF=a.求△BEF面积的最小值.