芸雅书屋 / 数学 / 极限计算方法总结(高等数学知识点精华总...

0 0

   

极限计算方法总结(高等数学知识点精华总结)

2016-09-25  芸雅书屋
  极限计算方法总结

  《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一,极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多,非常灵活,给函授学员的学习带来较大困难,而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结,然后通过例题给出求极限的各种方法,以便学员更好地掌握这部分知识。

  一、极限定义、运算法则和一些结果

  1(定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。

  说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证

  ,0,当|q|1时,bn,limqlim(3x,1),5lim,0(a,b为常数且a,0);;;等等 明,例如:,,,nx,2n,,不存在,当|q|,1时an,

  (2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格

  定义证明。

  2(极限运算法则

  定理1 已知 ,都存在,极限值分别为A,B,则下面极限都存在,且有 (1)limf(x)limg(x)

  lim[f(x),g(x)],A,B

  (2) limf(x),g(x),A,B

  f(x)A(3) lim,,(此时需B,0成立)g(x)B

  说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。

  3(两个重要极限

  xsinlim,1(1) x,0x

  11xxlim(1,),elim(1,x),e(2) ; x,,,0xx

  说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,

  作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。

  1xxsin333,2xlim(1,),elim(1,2x),elim,1例如:,,;等等。 x,,x,0xx,0x3

  4(等价无穷小

  定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。

  定理3 当时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有: x,0

  xxtanxarctanxln(1,x)sinxarcsinxe,1,,,,,, 。

  g(x)g(x),0说明:当上面每个函数中的自变量x换成时(),仍有上面的等价

  23x2,xe,13xln(1,x)关系成立,例如:当时, , ; , 。 x,0

  1

  1/5页

  x,xf(x),g(x),f(x),g(x) 定理4 如果函数都是时的无穷小,且,,,,则当f(x)g(x)f(x)g(x)01111

  f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)111limlimlimlimlim存在时,也存在且等于,即=。 f(x)x,xx,xx,xx,xx,x00000g(x)g(x)g(x)g(x)g(x)1115(洛比达法则

  定理5 假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时,函数和满足:(1)和的f(x)g(x)f(x)g(x)

  极限都是0或都是无穷大;

  (2)和都可导,且的导数不为0; f(x)g(x)g(x)

  ,f(x)lim (3)存在(或是无穷大); ,g(x)

  ,,f(x)f(x)f(x)f(x)limlimlimlim 则极限也一定存在,且等于,即= 。 ,,g(x)g(x)g(x)g(x)说明:定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要有一条不满足,洛比达

  0,法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足,即验证所求极限是否为“”型或“”型;0,

  条件(2)一般都满足,而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以

  连续使用,但每次使用之前都需要注意条件。

  6(连续性

  x 定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果是函数的定义去间内的一点,则有f(x)0

  limf(x),f(x) 。 0x,x0

  7(极限存在准则

  定理7(准则1) 单调有界数列必有极限。

  {x},{y},{z}为三个数列,且满足: 定理8(准则2) 已知nnn

  y,x,z,(n,1,2,3,?)(1) nnn

  limy,alimz,a (2) , nnn,,n,,

  limxlimx,a 则极限一定存在,且极限值也是a ,即。 nnn,,n,,

  二、求极限方法举例

  1( 用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限

  3x,1,2lim例1 x,1x,1

  22xx(31)2333,,,limlim,,解:原式= 。 x,1x,14xxxx(1)(312)(1)(312),,,,,,

  注:本题也可以用洛比达法则。

  limn(n,2,n,1)例2 n,,

  分子分母同除以nnnn[(,2),(,1)]33lim,lim,解:原式= 。 n,,n,,2nn,2,,1211,,1,nn

  nn(,1),3lim例3 nn,,n2,3

  2

  2/5页

  1n(,),1n上下同除以33,lim,1解:原式 。 n,,2n(),13

  2( 利用函数的连续性(定理6)求极限

  1

  2xlimxe例4 ,x2

  1

  2xf(x),xex,2解:因为是函数的一个连续点, 0

  1222e,4e 所以 原式= 。 3( 利用两个重要极限求极限

  1cosx,lim 例5 2x,03x

  xx222sin2sin122limlim,,解:原式= 。 200x,x,x63x212(),

  2

  注:本题也可以用洛比达法则。

  2

  xlim(1,3sinx)例6 ,x0

  1,6sin1,6sinxx,x,6,3sinxx,3sinxlim(1,3sinx),lim[(1,3sinx)],e 。 解:原式=,0,0xx

  n,2nlim()例7 ,,nn,1

  ,3n,1,3,1nnn,,3,3n,1,3,1n,3,3lim(1,),lim[(1,)],e解:原式= 。 ,,,,nnn,1n,14( 利用定理2求极限

  12xlimsin例8 x,0x

  解:原式=0 (定理2的结果)。 5( 利用等价无穷小代换(定理4)求极限

  xln(13x),lim 例9 2x,0arctan(x)

  22arctan(x)?x,0时,ln(1,3x) 解:,,,, x3x

  xx,3? 原式= 。 lim,32x,0x

  xsinxe,elim例10 ,x0x,sinx

  ,sinxxsinxsinxeeexx(,1)(,sin)lim,lim,1解:原式= 。 ,,x0x0xxxx,sin,sin注:下面的解法是错误的:

  3

  3/5页

  xsinxeexx(,1),(,1),sinlim,lim,1 原式= 。 x,0x,0xxxx,sin,sin

  正如下面例题解法错误一样:

  xxxxtan,sin,lim,lim,0 。 33x,x,00xx

  12tan(xsin)

  xlim例11 x,0sinx

  111222解:, ?当x,0时,xsin是无穷小,?tan(xsin)与xsin等价xxx

  12xsin1xxlim,limsin,0 所以, 原式= 。(最后一步用到定理2) x,0x,0xx

  6( 利用洛比达法则求极限

  说明:当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时,

  洛比达法则还可以连续使用。

  1cosx,lim例12 (例4) 2x,03x

  sinx1lim,解:原式= 。(最后一步用到了重要极限) x,06x6

  ,xcos

  2lim例13 x,1x,1

  ,,x,sin,22,,lim解:原式= 。 x,112

  x,sinxlim例14 3x,0x

  1cosxsinx1,limlim,解:原式== 。(连续用洛比达法则,最后用重要极限) 2x,x,006x63x

  sinxxcosx,lim例15 2x,0xsinx

  解:

  sinxxcosxcosx(cosxxsinx),,,limlim,,原式22x,x,00xx3x,

  xsinx1lim,,2x,033x

  11,lim[]例18 x,0x,xln(1)

  11lim[,],0解:错误解法:原式= 。 x,0xx

  正确解法:

  4

  4/5页

  ln(1,x),xln(1,x),x原式,lim,limx,0xln(1,x)x,xx,0

  1 ,1x11,x,lim,lim,。x,0x,02x2x(1,x)2

  应该注意,洛比达法则并不是总可以用,如下例。

  x,2sinxlim例19 x,,3x,cosx

  1,2cosx0lim解:易见:该极限是“”型,但用洛比达法则后得到:,此极限 x,,3,sinx0

  不存在,而原来极限却是存在的。正确做法如下:

  x2sin1,xlim原式= (分子、分母同时除以x) x,,xcos3,x

  1 = (利用定理1和定理2) 3

  7( 利用极限存在准则求极限

  limxx,2,x,2,x,(n,1,2,?)例20 已知,求 n1n,1n,,n

  xlimxlimx,a{x}解:易证:数列单调递增,且有界(0),由准则1极限存在,设 。对已nnnn,,,,nn

  x,2,x知的递推公式 两边求极限,得: n,1n

  a,2,aa,2a,,1 ,解得:或(不合题意,舍去)

  limx,2所以 。 nn,,

  111lim(?),,,例21 222n,,n,1n,2n,n

  n111n,,,?,,解: 易见: 22222n,nn,1n,2n,nn,1

  nnlim,1lim,1因为 , 22n,,n,,,1nn,n

  111lim(,,?,),1所以由准则2得: 。 222n,,n,1n,2n,n

  上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结,由此可以看出,求极限方法灵活多样,而且许多题目不只用到一种方法,因此,要想熟练掌握各种方法,必须多做练习,在练习中体会。另外,求极限还有其它一些方法,如用定积分求极限等,由于不常用,这里不作介绍。

  5

  5/5页全文完

    本站是提供个人知识管理的网络存储空间,所有内容均由用户发布,不代表本站观点。如发现有害或侵权内容,请点击这里 或 拨打24小时举报电话:4000070609 与我们联系。

    猜你喜欢

    0条评论

    发表

    请遵守用户 评论公约

    类似文章 更多
    喜欢该文的人也喜欢 更多