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广义相对论诞生前夜——纯粹理性的巅峰之作

2016-09-27  新华书店...
摘要
广义相对论是人类思想史上的杰作,是纯粹理性思维的胜利。它是现代宇宙学的基础,与狭义相对论一起构成了现代物理学的基石之一。通往广义相对论之路展现了物理学史上一幅最激动人心最恢弘壮阔的图景。本文介绍了爱因斯坦建立广义相对论的伟大贡献,回顾了广义相对论诞生的历程,探讨了广义相对论对现代物理学的影响,同时也扼要介绍了广义相对论的基本理论。
关键词

广义相对论;爱因斯坦;弯曲时空;科学史


1 引言

去年是广义相对论创建100周年,也是狭义相对论诞生110周年。广义相对论是爱因斯坦继狭义相对论后,对物理学作出的又一巨大贡献,也是他一生科学成就的巅峰[1]。


1915年11月25日,36岁的爱因斯坦在普鲁士科学院报告了“基于广义相对论对水星近日点运动的解释”[2],而后在1916年第7期的物理年鉴上发表了“广义相对论基础”[3]一文,对广义相对论作了系统的阐释,这标志着广义相对论的诞生。广义相对论以其深刻的物理思想、抽象的数学工具以及精确的实验验证,成为物理学史上具有划时代意义的杰作。

广义相对论是一个关于时间、空间和引力的理论,它指出万有引力不同于一般的力,而是时空弯曲的几何效应。爱因斯坦最早提出等效原理,并猜测万有引力的几何起源,他又引入了不为当时物理学家所熟悉的黎曼几何作为自己理论的数学工具,并最终给出了广义相对论的基本方程——场方程,从而构建起广义相对论的理论大厦。爱因斯坦被称为20世纪最伟大的科学家,他以及他所建立的广义相对论深刻影响着物理学乃至数学的发展[4,5],更是科学史上观念性的重大变革[6]。广义相对论是爱因斯坦历经十年独立思考后的纯粹理性之巅峰之作,一个伟大的理论仅由一个人创建起来,这在科学史上是少见的,爱因斯坦也因此备受赞誉。

本文介绍了爱因斯坦创建广义相对论的过程,以及在这一过程中爱因斯坦经历的多次物理思想上的飞跃,从中我们可以了解一般科学研究的方法,这对现实的科学研究具有重要意义。我们还在文中展现了广义相对论的基本理论,同时简要探讨了广义相对论对现代物理学的影响。

2 广义相对论的诞生

2.1 狭义相对论的困难

狭义相对论发表之后,受到了学术界的赞扬,但是也有一些反对的意见,不过爱因斯坦很清楚这些反对的人是因为没有理解相对论。可是很快,爱因斯坦便认识到自己的狭义相对论确实存在问题,而且是很严重的问题,但并非是反对者所谓的问题[7,9,10,11]。他的理论面临着两个严重的困难:一个是“惯性系无法定义”;另一个是“万有引力定律不能写成洛伦兹协变的形式”[7]。

狭义相对论是建立在惯性系的基础上的,然而现在惯性系却无法定义了,这是一个严重的问题。在牛顿理论中,惯性系被定义为相对于绝对空间静止或作匀速直线运动的参考系,但是狭义相对论抛弃了绝对空间,因此上述定义不再有效。爱因斯坦曾尝试利用牛顿第一定律来重新定义惯性系,即一个不受外力的物体在其中保持静止或匀速直线运动状态的参考系为惯性系,但是“不受外力”意味着一个物体能在惯性系中保持静止或匀速直线运动的状态。很明显这种定义造成了逻辑上的循环。可见,惯性系的定义问题是狭义相对论的一个基本困难。

狭义相对论的第二个困难是万有引力不能纳入相对论的框架。当时只知道两种力,一种是电磁力,另一种便是万有引力,狭义相对论把电磁定律写成了洛伦兹协变的形式,即四维时空的张量方程,但是爱因斯坦做了许多尝试,都不能将万有引力写成洛伦兹协变的形式。已知的两种基本作用力中有一个就和相对论不相容,这显然是严重的问题。

2.2 广义相对性原理

在重新定义惯性系的多次努力失败后,爱因斯坦产生了思想上的突破:既然惯性系无法定义,不如取消它在相对论中的特殊地位。在物理学中,定义惯性系是为了体现相对性原理,但是爱因斯坦认为惯性系不是最重要的,重要的是表述物理规律普遍性的相对性原理[8]。于是,他将相对性原理推广到任意参考系,成为广义相对性原理:一切参考系都是平权的,物理定律在任何坐标系下形式都不变,即具有广义协变性[7]。

做这样的推广虽然避开了定义惯性系的困难,但却遇到了新的问题,即如何处理惯性力,惯性力在惯性系中是没有的,但是在非惯性系中却是普遍存在的,惯性力也与普通的力不同,它不起源于物质间的相互作用,因而没有反作用力,同时它还与物质的质量成正比。惯性力的后一个特点使人想到万有引力,引力也是与物体的质量成正比的,这种相似性以及下面将要介绍的马赫原理,促使爱因斯坦猜想惯性力与引力有着相同或相近的本质,因而提出了等效原理。

2.3 惯性力的起源与马赫原理

惯性力不起源于物质之间的相互作用,那起源于什么呢? 这使得爱因斯坦想到了牛顿的水桶实验。在这一理想实验中,牛顿论证了绝对空间的存在,同时还论证了惯性力起源于物体相对于绝对空间的加速。牛顿认为,所有的匀速直线运动都是相对的,我们不可能通过速度来感知绝对空间的存在。但是,牛顿断言,转动是绝对的,或者说加速运动是绝对的。


通过水桶实验,牛顿指出惯性离心力产生于水对绝对空间的转动。牛顿认为,转动是绝对的,只有相对于绝对空间的转动才是真转动,才会产生惯性离心力。推而广之,加速运动是绝对的,只有相对于绝对空间的加速才是真加速,才会受到惯性力。牛顿以此论证了绝对空间的存在[7]。

奥地利物理学家马赫坚持运动的相对性,他反对绝对空间的存在,并对水桶实验给出了自己的阐释。他认为惯性力起源于物体间的相对加速,起源于做相对加速运动的物体间的相互作用。他指出,加速物体受到惯性力,是由于它相对全宇宙所有物质加速,这相当于全宇宙的物质相对它做反向加速,从而对该物体施加一个作用。爱因斯坦赞同马赫的观点,认为不存在绝对空间,所有的运动都是相对的,惯性力起源于受力物体相对于全宇宙物质的加速,起源于物质间的相互作用,这一思想后来被爱因斯坦总结为马赫原理。


马赫原理使爱因斯坦意识到惯性力和万有引力类似,都起源于物质间的相互作用,这促使他猜想惯性力和引力可能有着相同或相近的物理根源,二者可能存在着深刻的内在联系[7,10,12]。

2.4 引力质量与惯性质量

爱因斯坦注意到引力和惯性力还有一点相似,就是二者都与质量成正比。在牛顿力学中,质量有两种定义,一种是用引力效应定义的,另一种是用惯性效应定义的。牛顿认为质量是物质的量,它反映物体产生和接受引力的能力,这样定义的质量称为引力质量m_{g}。牛顿又认为质量与物体的惯性成正比,即质量可视为物体惯性的量度,这样定义的质量称为惯性质量m_{I}。牛顿指出没有理由相信这两种质量是同一个东西。他曾用单摆实验证明了在千分之一的精度范围内引力质量和惯性质量相等[7,11]。牛顿之后,相继有一些实验在更高的精度范围内证明了引力质量和惯性质量严格相等[7]。

爱因斯坦注意到,实验表明引力质量和惯性质量精确相等,这意味着惯性力和万有引力可能正如马赫原理所指出的那样,是有着相似的物理根源的。最终,爱因斯坦认识到,狭义相对论所面临的两个困难很可能是同一个困难,应该放在一起解决。

2.5 等效原理

爱因斯坦在反复思考引力质量和惯性质量相等,以及万有引力和惯性力的相似后,再一次产生了思想上的飞跃,这便是爱因斯坦关于升降机的思想实验。这一思想实验把他引向了等效原理,进而引向了广义相对论的构思。爱因斯坦的等效原理认为,引力场和惯性场局域等效,或者说在无穷小的时空范围内,引力和惯性力是不可区分的。


应当指出,等效原理是一个局域性的原理。引力场和惯性场的等效只在无穷小的时空范围内成立。等效原理可以分为弱等效原理和强等效原理[1]:

弱等效原理:无法用任何力学实验在无穷小时空范围内区分引力场和惯性场。


强等效原理:无法用任何物理实验在无穷小时空范围内区分引力场和惯性场。


需要说明的是,作为广义相对论基础的强等效原理,而不只是弱等效原理[7]。弱等效原理等价于“引力质量和惯性质量相等”,二者可以相互推出,m_{g}=m_{I}有很强的实验基础。强等效原理没有严格的实验检验,但是我们可以认为,广义相对论的任何成功,都可以看作是对强等效原理的支持[1]。

等效原理告诉我们,引力场中一个自由下落的、无自转的、无穷小参考系可以看作惯性系,这在理论上是可以实现的,于是我们看到了明确定义的、在理论上存在的严格惯性系。

2.6 引力是时空的弯曲效应

等效原理意味着引力效应和惯性效应存在着本质联系,进一步讲,当只有引力场或惯性场存在时,任何质点,不论质量大小,都将在时空中描绘出同样的曲线,自由落体实验已经表明了这一点[8]。这就是说,物体在纯引力和惯性力作用下运动,和它的质量和成分无关。爱因斯坦意识到万有引力不是一般的力,当他反复思考这个问题时,他再一次做出了物理思想上的飞跃,他猜测引力可能是一种几何效应,几何效应是与物体的质量、成分无关的,这是一个非常大胆的猜想[12,16-20]。

由此,爱因斯坦认识到万有引力是时空弯曲的表现,由于引力起源于质量,他认为时空弯曲可能起源于物质的存在和运动。这种猜测和黎曼等数学家曾得出的推测是一致的:真实的空间可能不是平坦的,而是弯曲的,而且真实的空间可能不是三维的,而是四维的,或者是更高维的。

物理学家福克曾说“伟大的以及不仅是伟大的发现都不是按照逻辑的法则得来的,而是由猜测得来,换句话说,大都是凭着创造性的直觉得来的。”逻辑推理推出的只会是已有结论的另一种表现形式,而所有真正的科学发现都是猜出来的,然后用实验去验证[15]。

2.7 黎曼几何

爱因斯坦开始思考如何把时空几何和物质运动联系起来,但是困于数学工具的寻找,于是,他求助于他的老友,也是他的大学同学格罗斯曼。那时格罗斯曼已经是苏黎世工业大学的数学教授,应爱因斯坦之求,格罗斯曼放下手中的工作,开始帮助爱因斯坦。在查阅了一批文献后,得知当时一些意大利数学家正在研究和发展黎曼几何和张量分析,这或许对爱因斯坦有用,他建议并帮助爱因斯坦钻研黎曼几何的相关知识。

2.8 走向广义相对论

爱因斯坦推测物质的存在会造成四维时空的弯曲,万有引力正是时空弯曲的表现,由于万有引力只是时空弯曲的几何效应,所以不应把引力看作是真正的力。在纯引力作用下运动的质点都应看作是不受外力作用的自由质点,即质点做惯性运动,应沿着时空中的“直线”行进。弯曲空间中的“直线”即所谓的短程线或测地线,因此,弯曲时空中,自由质点应沿测地线运动。


爱因斯坦认为建立新理论的关键是寻找两个方程,一个是物质如何决定时空弯曲的方程,称其场方程,另一个是描述不受外力的自由质点在弯曲时空中做惯性运动的方程,称其为运动方程。爱因斯坦在格罗斯曼的帮助下很快掌握了黎曼几何,并投入到寻找场方程的努力中,这一尝试耗费了爱因斯坦很长的时间和精力,他设想方程的一端为描述时空几何的项,而另一端是描述物质存在状态的项,曲率项的猜想并不容易,爱因斯坦尝试了很久,但是一直没能得到场方程的正确形式。爱因斯坦到德国后,又与希尔伯特探讨,希尔伯特不愧是一位数学大师,爱因斯坦和他作了短时间的讨论,几个月后爱因斯坦就给出了场方程的正确形式,从而建立起广义相对论。

3 广义相对论的基本理论

3.1 牛顿引力

根据牛顿引力理论,质量为m的物体受到的万有引力为[14]

F=-m\nabla\phi

式中 \phi为牛顿引力势,由泊松方程确定

\Delta \phi=4\pi G\rho

式中\rho为引力源的质量密度,G为牛顿引力常数。在弱引力场中,牛顿理论可以较好地描述引力,但在宇观尺度下,引力的行为将偏离牛顿理论,为了系统地描述引力的行为,我们将引入广义相对论。

3.2 弯曲时空
对于弯曲时空,我们首先介绍黎曼几何的相关知识。在仿射联络空间中引入度量,称此时的仿射空间为黎曼空间。考虑无挠黎曼空间,空间中相邻两点间的距离ds(也称线元)定义为[7,10,14] ds^{2}=g_{\mu\nu}x^{\mu}x^{\nu}

其中g_{\mu\nu}为度规张量,它描述时空的几何性质。由于dx^{\mu}dx^{\nu}是对称的,g_{\mu\nu}必定是对称张量。

四维时空中,空间是三维的,时间是一维的。时间坐标对应的度规分量和空间坐标对应的度规分量的符号相反,取度规的号差为+2,即约定(-,+,+,+)。指标\mu\nu取值为0,1,2,3,重复指标代表求和(爱因斯坦惯例)。


仿射联络(这里指克里斯多菲符号)在描述矢量的平移时定义为[7,10,13,14]

\Gamma _{\mu\nu}^{\lambda }=\frac{1}{2}g^{\rho\lambda}\left( \partial _{\nu}g_{\mu\rho} +\partial _{\mu}g_{\nu\rho} -\partial _{\rho}g_{\mu\nu} \right)

式中\partial _{\mu}是普通微商\frac{\partial }{\partial x^{\mu}}的缩写。克里斯多菲符号对两个下指标是对称的:\Gamma _{\mu\nu}^{\lambda}=\Gamma_{\nu\mu}^{\lambda}

协变微商\nabla_{\mu}可通过下式计算[7,10,14]

\nabla_{\mu}\phi=\partial _{\mu}\phi
\nabla_{\mu}A_{\nu}=\partial _{\mu}A_{\nu}-\Gamma _{\mu\nu}^{\lambda }A_{\lambda }
\nabla_{\mu}A^{\nu}=\partial _{\mu}A^{\nu}+\Gamma _{\mu\lambda }^{\nu}A^{\lambda }
...

其中\phi为标量场,A^{\nu}A_{\nu}分别为协变矢量和逆变矢量。高阶张量的协变微商可以通过上述矢量的协变微商公式计算得到。

黎曼曲率张量由度规张量、克里斯多菲符号及其微商组成。常用的有曲率张量R^{\rho}_{\lambda \mu\nu},里奇张量R_{\mu\nu}和曲率标量R,分别定义如下[7,10,14]

R_{\lambda\mu\nu }^{\rho}=\partial _{\mu}\Gamma ^{\rho}_{\lambda \nu}-\partial _{\nu}\Gamma ^{\rho}_{\lambda \mu}+\Gamma ^{\rho}_{\sigma \mu}\Gamma ^{\sigma}_{\lambda\nu}-\Gamma ^{\rho}_{\sigma \nu}\Gamma ^{\sigma}_{\lambda \mu}
R_{\mu\nu}=R_{\mu\lambda \nu}^{\lambda }
R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}

其中里奇张量是对称的:R_{\mu\nu}=R_{\nu\mu}


自由质点(不受引力、惯性力之外的任何力作用的质点)的运动方程就是黎曼时空的测地线方程[7,10,14]

\frac{d^{2}x^{\mu}}{ds^{2}}+\Gamma ^{\mu}_{\alpha \beta }\frac{dx^{\alpha}}{ds}\frac{dx^{\beta}}{ds}=0

定义四维速度(简称四速),u^{\mu}\equiv \frac{dx^{\mu}}{d\tau },测地线方程也可写为[7,10,14]

\frac{du^{\mu}}{d\tau}+\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }u^{\alpha }u^{\beta }=0

其中d\tau为固有时间,在广义相对论中定义为d\tau=ids(选取光速c=1的自然单位制),不难看出静质量不为零的粒子的四速的模u^{\mu}u_{\mu}=-1

3.3 爱因斯坦场方程

爱因斯坦引力场方程为[7,9,10,11,13,14,21,22]

G_{\mu\nu}\equiv R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\frac{8\pi G}{c^{4}}T_{\mu\nu}

式中G_{\mu\nu}为爱因斯坦张量,是反映时空几何的张量。T_{\mu\nu}是物质场的能量动量张量。也可以在上式右侧添加宇宙项-\Lambda g_{\mu\nu},常数\Lambda为宇宙学常数。上式实际上是十个二阶非线性偏微分方程组成的方程组。方程的左边是时空曲率,表示时空几何的弯曲,右边是物质的能量动量,表示物质的存在状态。场方程表明物质的存在会造成时空的弯曲,场方程和前面给出的运动方程(即测地线方程)一起构成了广义相对论的核心。

4 广义相对论的影响

100年来,广义相对论对现代物理学,特别是现代宇宙学产生了深远的影响。人们开始利用广义相对论去研究宇宙的大尺度结构。关于宇宙演化、黑洞、暗能量和时空理论等也因而成为研究的热点。广义相对论还广泛地被应用于天文学、天体物理学、天体力学、天体测量学等学科。可以说,爱因斯坦的广义相对论让人们对宇宙图景有了全新的认识。

广义相对论还促进了几何学的发展,如整体微分几何、流形理论以及黎曼几何等。同时还催生了统一理论,虽然最终的大统一理论尚未成功,但是强相互作用、弱相互作用和电磁相互作用的统一已取得长足的发展。由于目前还没有完善的引力量子化方案,引力相互作用与其他三种相互作用的统一还有很长的路要走。

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