会“金蝉脱壳”的数

数论中有许多题材使人沉湎其中，往往乐而忘返。所以，这门学科自古以来，就吸引着人们去探索。

通俗性与公证性是数论的两大特点。这就是说，有些题目，虽然其推证方法与导出过程极其复杂深奥，可是它的结果却是人人都能理解解、都能欣赏、都能鉴别的。这就象磁铁一样，有一种无形的吸引力，把越来越多的业余爱好者吸引了过去。

现在请看两组自然数，每组各有三个数，每个都是六位数字。把这两组数分别相加，就会发现它们的和是完全相等的。即：

123789+561945+642864＝242868+323787+761943

这样的性质，自然算不上什么稀罕。可是要知道它们各自的平方和也是相等的，那就是说：

123789²+561945²+642864²=242868²+323787²+761943²

如果您不信，就算一算吧！算过之后，你也许会伸出舌头，说一声：“妙呀！”

且慢，真正的妙事还在后头呢！请把每个数的最左边一位数字抹掉，你会发现，对剩下的数来说，上述的奇妙关系仍然成立，即：

23789+61945+42864＝42868+23787+61943

23789²+61945²+42864²=42868²+23787²+61943²

事情真怪。让我们再抹掉每个数最左边的一位数字试试看吧！通过计算，上述性质依然保存着：

3789＋1945+2864＝2868+3787+1943

3789²+1945²+2864²=2868²+3787²+1943²

现在我们真索性一不做、二不休，继续干下去了。我们发现，尽管每次抹掉最左边的一位数字，可是这种奇妙的性质总是“原封不动”地保存下来：

789+945+864＝868+787+943

789²+945²+864²=868²+787²+943²

89+45+64＝68+87+43

89²+45²+64²=68²+87²+43²

直到最后剩下个位数，这一“性质”依旧“巍然不动”：

9+5+4＝8+7+3

9²+5²+4²=8²+7²+3²

这就像“金蝉脱壳”一般，脱到最后一层，金蝉却还是货真价实的金蝉，其“个性”可谓“至死不变”矣。

现在我们还是从原来的两组数出发，可是这一次却“反其道而行之”，即指把两组数的数字逐个逐个地从右边抹掉。

经过这样剧烈变动，这种性质总不见得保持下来了吧？可是，与人们预料的相反，这种性质居然还是保存了下来：

12378+56194+64286＝24286+32378+76194

12378²+56194²+64286²=24286²+32378²+76194²

…………

直到最后抹得只剩下个位数时也是如此：

1+5+6＝2+3+7

1²+5²+6²=2²+3²+7²

这类问题在数论上叫做“等幂和问题”，在国内外，它一直吸引着大批爱好者，但至今仍未能彻底解决。

【内容简介】
本书各章均由提要和习题解答两部分组成，前者列出了相应于各市的定义、定理，而后者则给出了全部习题的解答。此外还有对于习题及答案中一些疏漏的订正，以及对某些有关问题的介绍和讨论。全书共二十章。原书部分章节无习题(如第十八章，第一章中的§2 , §3 , §4等)，本书将这些章节略去。但目录中仍列出了第十八章的名字。
本书适合数论爱好者参考阅读。