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2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ）（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（ ） A．（﹣3，﹣ 2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（ ） A．1 B． 3．（5分）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（ ） A．100 B．99 C．98 D．97 4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） A． 5．（5分）已知方程 A．（﹣1，3） B．（﹣1， 6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是
A．17π B．18π C．20π D．28π 7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ） A． 8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ） A．ac＜bcB．abc＜bac C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc 9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（ ）
A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x 10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4 A．2 B．4 C．6 D．8 11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为（ ） A． 12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤ A．11 B．9 C．7 D．5
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分. 13．（5分）设向量 14．（5分）（2x+ 15．（5分）设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为 ． 16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c= 18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°． （Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC； （Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X的分布列； （Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值； （Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？
20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E． （Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程； （Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围． 21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有两个零点． （Ⅰ）求a的取值范围； （Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心， （Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切； （Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．
[选修4-4：坐标系与参数方程] 23．在直线坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．
[选修4-5：不等式选讲] 24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|． （Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象； （Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．
2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ）（理科） 参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（ ） A．（﹣3，﹣ 【考点】交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】计算题；定义法；集合． 【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案． 【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3）， B={x|2x﹣3＞0}=（ ∴A∩B=（ 故选：D 【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．
2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（ ） A．1 B． 【考点】复数求模．菁优网版权所有 【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数． 【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可． 【解答】解：∵（1+i）x=1+yi， ∴ 故选：B． 【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．
3．（5分）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（ ） A．100 B．99 C．98 D．97 【考点】等差数列的性质．菁优网版权所有 【专题】计算题；定义法；等差数列与等比数列． 【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案． 【解答】解：∵等差数列{an}前9项的和为27， ∴9a5=27，a5=3， 又∵a10=8， ∴d=1， ∴a100=a5+95d=98， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．
4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） A． 【考点】几何概型．菁优网版权所有 【专题】概率与统计． 【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案． 【解答】解：设小明到达时间为y， 当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时， 小明等车时间不超过10分钟， 故P= 故选：B 【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．
5．（5分）已知方程 A．（﹣1，3） B．（﹣1， 【考点】双曲线的标准方程．菁优网版权所有 【专题】计算题；转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围． 【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4， ∴c=2，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1， ∵方程 ∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0， 解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）． 故选：A． 【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．
6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是
A．17π B．18π C．20π D．28π 【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离． 【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积． 【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉 可得： 它的表面积是： 故选：A．
【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．
7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ） A． 【考点】函数的图象．菁优网版权所有 【专题】图表型；分析法；函数的性质及应用． 【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案． 【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|， ∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|， 故函数为偶函数， 当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B； 当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣ex， ∴f′（x）=4x﹣ex=0有解， 故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．
8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ） A．ac＜bcB．abc＜bac C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc 【考点】不等式比较大小；对数值大小的比较．菁优网版权所有 【专题】函数思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用；不等式． 【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案． 【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1， ∴函数f（x）=xc在（0，+∞）上为增函数，故ac＞bc，故A错误； 函数f（x）=xc﹣1在（0，+∞）上为减函数，故ac﹣1＜bc﹣1，故bac＜abc，即abc＞bac；故B错误； logac＜0，且logbc＜0，logab＜1，即 0＜﹣logac＜﹣logbc，故﹣blogac＜﹣alogbc，即blogac＞alogbc，即alogbc＜blogac，故C正确； 故选：C 【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．
9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（ ）
A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x 【考点】程序框图．菁优网版权所有 【专题】计算题；操作型；算法和程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：输入x=0，y=1，n=1， 则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2， 则x= 则x= 故y=4x， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4 A．2 B．4 C．6 D．8 【考点】圆与圆锥曲线的综合；抛物线的简单性质．菁优网版权所有 【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可． 【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4 |DE|=2 xA= |OD|=|OA|，
解得：p=4． C的焦点到准线的距离为：4． 故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．
11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为（ ） A． 【考点】异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；空间角． 【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可． 【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n， 可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°． 则m、n所成角的正弦值为： 故选：A．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤ A．11 B．9 C．7 D．5 【考点】正弦函数的对称性．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；三角函数的图像与性质． 【分析】解法一：根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣ 解法二：根据已知可得ω为正奇数，结合（x）在（ 【解答】解法一：∵x=﹣ ∴ 即ω=2n+1，（n∈N） 即ω为正奇数， ∵f（x）在（ 即T= 当ω=11时，﹣ ∵|φ|≤ ∴φ=﹣ 此时f（x）在（ 当ω=9时，﹣ ∵|φ|≤ ∴φ= 此时f（x）在（ 故ω的最大值为9， 解法二：∵x=﹣ ∴ ∴ 又∵|φ|≤ ∴φ= 由解法一可得：ω=2n+1，（n∈N） ∵f（x）在（ ∴ 解得： 故ω=2n+1≤9， 故选：B 【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分. 13．（5分）设向量 【考点】平面向量数量积的运算．菁优网版权所有 【专题】计算题；规律型；转化思想；平面向量及应用． 【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可． 【解答】解：| 可得 向量 可得m+2=0，解得m=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．
14．（5分）（2x+ 【考点】二项式定理的应用．菁优网版权所有 【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3的系数． 【解答】解：（2x+ 令5﹣ ∴x3的系数2 故答案为：10． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．（5分）设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为 64 ． 【考点】数列与函数的综合；等比数列的性质．菁优网版权所有 【专题】计算题；规律型；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…an，然后求解最值． 【解答】解：等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5， 可得q（a1+a3）=5，解得q= a1+q2a1=10，解得a1=8． 则a1a2…an=a1n·q1+2+3+…+（n﹣1）=8n· 当n=3或4时，表达式取得最大值： 故答案为：64． 【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．
16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 216000 元． 【考点】简单线性规划的应用．菁优网版权所有 【专题】计算题；规律型；数形结合；函数思想；转化思想． 【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可； 【解答】解：（1）甲、乙两种两种新型材料，设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元． 由题意，得 不等式组表示的可行域如图：由题意可得 目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元． 故答案为：216000．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c= 【考点】解三角形．菁优网版权所有 【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形． 【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数； （2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长． 【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC， 整理得：2cosCsin（A+B）=sinC， ∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC ∴cosC= 又0＜C＜π， ∴C= （Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab· ∴（a+b）2﹣3ab=7， ∵S= ∴ab=6， ∴（a+b）2﹣18=7， ∴a+b=5， ∴△ABC的周长为5+ 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°． （Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC； （Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题．菁优网版权所有 【专题】计算题；方程思想；综合法；空间向量及应用；立体几何． 【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC； （Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF． ∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF， ∵DF∩EF=F， ∴AF⊥平面EFDC， ∵AF?平面ABEF， ∴平面ABEF⊥平面EFDC； （Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF， 可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角； 由CE⊥BE，BE⊥EF， 可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角． 可得∠DFE=∠CEF=60°． ∵AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC， ∴AB∥平面EFDC， ∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB?平面ABCD， ∴AB∥CD， ∴CD∥EF， ∴四边形EFDC为等腰梯形． 以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a， 则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（ ∴ 设平面BEC的法向量为 则 设平面ABC的法向量为 则 设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ= = 则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣
【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．
19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X的分布列； （Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值； （Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？
【考点】离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计． 【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列． （Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）= （Ⅲ）由X的分布列得P（X≤19）= 【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22， P（X=16）=（ P（X=17）= P（X=18）=（ P（X=19）= P（X=20）= P（X=21）= P（X=22）= ∴X的分布列为：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18） = P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19） = ∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19． （Ⅲ）由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19） = 买19个所需费用期望： EX1=200× 买20个所需费用期望： EX2= ∵EX1＜EX2， ∴买19个更合适． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E． （Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程； （Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围． 【考点】直线与椭圆的位置关系；圆的一般方程．菁优网版权所有 【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程； （Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围． 【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16， 可得圆心A（﹣1，0），半径r=4， 由BE∥AC，可得∠C=∠EBD， 由AC=AD，可得∠D=∠C， 即为∠D=∠EBD，即有EB=ED， 则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4， 故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆， 且有2a=4，即a=2，c=1，b= 则点E的轨迹方程为 （Ⅱ）椭圆C1： 由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1）， 由 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 可得y1+y2=﹣ 则|MN|= = A到PQ的距离为d= |PQ|=2 则四边形MPNQ面积为S= =24· 当m=0时，S取得最小值12，又 即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8
【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有两个零点． （Ⅰ）求a的取值范围； （Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2． 【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点．菁优网版权所有 【专题】分类讨论；转化思想；分类法；转化法；函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案． （Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，则﹣a= 设h（m）= 【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2， ∴f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a）， ①若a=0，那么f（x）=0?（x﹣2）ex=0?x=2， 函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意； ②若a＞0，那么ex+2a＞0恒成立， 当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数； 当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数； 此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e， 由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点； 当x＜1时，ex＜e，x﹣2＜﹣1＜0， ∴f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e， 令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2， 则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0， 故函数f（x）在x＜1存在一个零点； 即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意； ③若﹣ 当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0， ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0， 即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增， 当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0， 即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减， 当x＞1时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0， 即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增， 故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值， 由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣1]2+1}＜0得： 函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意； ④若a=﹣ 当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0， 即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增， 当x＞1时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0， 即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增， 故函数f（x）在R上单调递增， 函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意； ⑤若a＜﹣ 当x＜1时，x﹣1＜0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0， 即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增， 当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，ex+2a＜eln（﹣2a）+2a=0， 即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减， 当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，ex+2a＞eln（﹣2a）+2a=0， 即f′（x）=（x﹣1）（ex+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增， 故当x=1时，函数取极大值， 由f（1）=﹣e＜0得： 函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意； 综上所述，a的取值范围为（0，+∞） 证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点， ∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1， ∴﹣a= 令g（x）= ∵g′（x）= ∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减； 当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增； 设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）= 设h（m）= 则h′（m）= 即h（m）在（0，+∞）上为增函数， h（m）＞h（0）=0恒成立， 即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立， 令m=1﹣x1＞0， 则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）?g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）?2﹣x1＞x2， 即x1+x2＜2． 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心， （Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切； （Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．
【考点】圆的切线的判定定理的证明．菁优网版权所有 【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明． 【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°= （Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论． 【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK， ∵OA=OB，∠AOB=120°， ∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°= ∴直线AB与⊙O相切； （Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心． ∵OA=OB，TA=TB， ∴OT为AB的中垂线， 同理，OC=OD，TC=TD， ∴OT为CD的中垂线， ∴AB∥CD． 【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．
[选修4-4：坐标系与参数方程] 23．在直线坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程的概念．菁优网版权所有 【专题】计算题；转化思想；数学模型法；坐标系和参数方程． 【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程； （Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=x可得1﹣a2=0，则a值可求． 【解答】解：（Ⅰ）由 ∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆． 化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．① 由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0； （Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ， ∴x2+y2=4x，② 即（x﹣2）2+y2=4． 由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x， ∵曲线C1与C2的公共点都在C3上， ∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程， ①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3， ∴1﹣a2=0， ∴a=1（a＞0）． 【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．
[选修4-5：不等式选讲] 24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|． （Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象； （Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．
【考点】带绝对值的函数；函数图象的作法．菁优网版权所有 【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象； （Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜ 【解答】解：（Ⅰ）f（x）= 由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右： （Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得 当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1； 当﹣1＜x＜ 即有﹣1＜x＜ 当x≥ 综上可得，x＜ 则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，
【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．
参与本试卷答题和审题的老师有：翔宇老师；maths；w3239003；qiss；546278733@qq.com；双曲线；zlzhan；sxs123（排名不分先后） 菁优网 2016年6月30日
考点卡片
1．带绝对值的函数 1．当函数体中包含绝对值，就需要对绝对值内的部分的正负情况进行讨论，因此含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图象进行研究． 2．①形如y=|f（x）|的函数，由于|f（x）|= ②f（x）=a|x﹣m|+b|x﹣n|，（m＜n）的图象是以A（m，f（m）），B（n，f（n））为折点的折线． 当a+b＞0时，两端向上无限延伸，故存在最小值，最小值为min{f（m），f（n）}； 当a+b＜0时，两端向下无限延伸，故存在最大值，最大值为Max{f（m），f（n）}； 当a+b=0时，两端无限延伸且平行x轴，故既有最大值又有最小值，最大值为Max{f（m），f（n）}； 最小值为min{f（m），f（n）}；例如：y=2|x﹣1|+3|x﹣2|和y=2|x﹣1|﹣3|x﹣2|的图象分别为
2．交集及其运算 【知识点的认识】 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B． 符号语言：A∩B={x|x∈A，且x∈B}． A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素． 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集． 运算形状： ①A∩B=B∩A．②A∩?=?．③A∩A=A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B=A?A?B．⑥A∩B=?，两个集合没有相同元素．⑦A∩（CUA）=?．⑧CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集． 命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
3．函数图象的作法 【知识点的认识】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线． 【解题方法点拨】一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）． 【命题方向】一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
4．函数的图象 【知识点的认识】 1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）． 其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 （1）平移变换： y=f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）?y=f（x﹣a）； y=f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）?y=f（x）+b． （2）伸缩变换： y=f（x） y=f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）?y=Af（x）． （3）对称变换： y=f（x）关于x轴对称?y=﹣f（x）； y=f（x）关于y轴对称?y=f（﹣x）； y=f（x）关于原点对称?y=﹣f（﹣x）． （4）翻折变换： y=f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边?y=f（|x|）； y=f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y=|f（x）|．
【解题方法点拨】 1、画函数图象的一般方法 （1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出． （2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． （3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论． 2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法 （1）知图选式： ①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域； ②从图象的变化趋势，观察函数的单调性； ③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性； ④从图象的循环往复，观察函数的周期性． 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项． （2）知式选图： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势； ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性． ④从函数的周期性，判断图象的循环往复． 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项． 注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口． 3、（1）利有函数的图象研究函数的性质 从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． （2）利用函数的图象研究方程根的个数 有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值． 4、方法归纳： （1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点 在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错． （2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点 为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点： ①正确求出函数的定义域； ②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y=x+的函数； ③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程． （3）3种方法﹣﹣识图的方法 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有： ①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题； ②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题； ③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
5．对数值大小的比较 【知识点归纳】 1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较． 2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较 3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
6．函数的零点 【函数的零点】 一般地，对于函数y=f（x）（x∈R），我们把方程f（x）=0的实数根x叫作函数y=f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数． 【解法﹣﹣二分法】 ①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度； ②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）； ④若f（x1）=0，则x1就是函数的零点； ⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b=x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a=x1．（此时零点x0∈（x1，b） ⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4） 【总结】 零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）·f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．
7．利用导数研究函数的极值 【知识点的知识】 1、极值的定义： （1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质： （1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法： 若x0满足f′（x0）=0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】 在理解极值概念时要注意以下几点： （1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）． （2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小． （3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值． （4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有 限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的， （5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．不等式比较大小 【知识点的知识】 不等式大小比较的常用方法 （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法； （4）平方法； （5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法； （8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
【典型例题分析】 方法一：作差法 典例1：若a＜0，b＜0，则p= A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q 解：p﹣q= ∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0， 若a=b，则p﹣q=0，此时p=q， 若a≠b，则p﹣q＜0，此时p＜q， 综上p≤q， 故选：B
方法二：利用函数的单调性 典例2：三个数 A． 解：由指数函数的单调性可知， 由幂函数的单调性可知， 则 故 故选：B．
9．简单线性规划的应用 【知识点的知识】 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 1、二元一次不等式表示的平面区域 一般地，直线l：ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分： ①直线l上的点（x，y）的坐标满足ax+by+c=0； ②直线l一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足ax+by+c＞0； ③直线l另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足ax+by+c＜0． 所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（x0，y0），从ax0+by0+c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．
2、线性规划相关概念
3、线性规划 （1）不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数．由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数． 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示． （2）一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． （3）那么，满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域．其中可行解（x1，y1）和（x2，y2）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行．
4、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： ①首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）． ②设z=0，画出直线l0． ③观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解． ④最后求得目标函数的最大值及最小值．
5、利用线性规划研究实际问题的解题思路： 首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数． 然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解． 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解．
【典型例题分析】 题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （ ） A． 分析：画出平面区域，显然点（0， 解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y=kx+ 因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（ 当y=kx+ 答案：A． 点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域． 注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值 典例2：设x，y满足约束条件： 分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y=0来寻找最优解，求出目标函数的最值． 解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y=0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z=x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z=x+y达到最大值．故zmin=2，zmax=7．
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得． （2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
题型三：实际生活中的线性规划问题 典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ） A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50 分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．
解析 设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知 求目标函数z=x+0.9y的最大值， 根据题意画可行域如图阴影所示． 当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B 点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成： （1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l； （2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置； （3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值 典例4：（1）设实数x，y满足 （2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上 分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成． 解答：（1） （2）依题意得， 故答案为：（1） 点评：常见代数式的几何意义有 （1） （2） （3） （4）
【解题方法点拨】 1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化． 2．在通过求直线的截距
10．等差数列的性质 【知识点的知识】 等差数列的性质： （1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d=0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N+，则am=an+（m﹣n）d； （4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有 as+at=2ap； （5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数． （6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d． （7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1=an+an+2， 2an=an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+） （8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
11．等比数列的性质 【知识点的知识】 等比数列的常用性质 （1）通项公式的推广：an=am·qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l=m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak·al=am·an （3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an·bn}，仍是等比数列． （4）单调性：
12．数列与函数的综合 【知识点的知识】 一、数列的函数特性： 等差数列和等比数列的通项公式及前n项和公式中共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知三求二，体现了方程的思想的应用．解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．
二、解题步骤： 1．在解决有关数列的具体应用问题时： （1）要读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质，舍弃与解题无关的非本质性东西； （2）准确地归纳其中的数量关系，建立数学模型； （3）根据所建立的数学模型的知识系统，解出数学模型的结果； （4）最后再回到实际问题中去，从而得到答案． 2．在求数列的相关和时，要注意以下几个方面的问题： （1）直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程． （2）注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和． （3）求一般数列的前n项和时，无一般方法可循，要注意掌握某些特殊数列的前n项和的求法，触类旁通． 3．在用观察法归纳数列的通项公式（尤其是在处理客观题目时）时，要注意适当地根据具体问题多计算相应的数列的前几项，否则会因为所计算的数列的项数过少，而归纳出错误的通项公式，从而得到错误的结论．
【典型例题分析】 典例：已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an）…是首项为4，公差为2的等差数列． （I）设a为常数，求证：{an}成等比数列； （II）设bn=anf（an），数列{bn}前n项和是Sn，当 分析：（I）先利用条件求出f（an）的表达式，进而求出{an}的通项公式，再用定义来证{an}是等比数列即可； （II）先求出数列{bn}的通项公式，再对数列{bn}利用错位相减法求和即可． 解答：证明：（I）f（an）=4+（n﹣1）×2=2n+2， 即logaan=2n+2，可得an=a2n+2． ∴ ∴{an}为等比数列．（5分） （II）解：bn=anf（an）=a2n+2logaa2n+2=（2n+2）a2n+2．（7分） 当 Sn=2×23+3×24+4×25++（n+1）·2n+2① 2Sn=2×24+3×25+4×26++n·2n+2+（n+1）·2n+3② ①﹣②得﹣Sn=2×23+24+25++2n+2﹣（n+1）·2n+3（12分） = ∴Sn=n·2n+3．（14分） 点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．
13．平面向量数量积的运算 【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为①（ 【例题解析】 例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn=nm”类比得到“ ②“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（ ③“t≠0，mt=nt?m=n”类比得到“ ④“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“| ⑤“（m·n）t=m（n·t）”类比得到“（ ⑥“ 解：∵向量的数量积满足交换律， ∴“mn=nm”类比得到“ 即①正确； ∵向量的数量积满足分配律， ∴“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（ 即②正确； ∵向量的数量积不满足消元律， ∴“t≠0，mt=nt?m=n”不能类比得到“ 即③错误； ∵| ∴“|m·n|=|m|·|n|”不能类比得到“| 即④错误； ∵向量的数量积不满足结合律， ∴“（m·n）t=m（n·t）”不能类比得到“（ 即⑤错误； ∵向量的数量积不满足消元律， ∴ 即⑥错误． 故答案为：①②． 向量的数量积满足交换律，由“mn=nm”类比得到“ 【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
14．复数求模 【知识点的知识】 1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b=0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a=0，b≠0，则a+bi为纯虚数． 2、复数相等：a+bi=c+di?a=c，b=d（a，b，c，d∈R）． 3、共轭复数：a+bi与c+di共轭?a=c，b+d=0（a，b，c，d∈R）． 4、复数的模：
15．几何概型 【考点归纳】 1．定义：若一个试验具有下列特征： （1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示； （2）每次试验的各种结果是等可能的． 那么这样的试验称为几何概型． 2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A?Ω），则P（A）=
16．离散型随机变量及其分布列 【考点归纳】 1、相关概念； （1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示． （2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η=aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量． （3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 （4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．
2、离散型随机变量 （1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示． （2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列． （1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列． （2）性质：①pi≥0，i=1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn=1．
17．二项式定理的应用 【知识点的知识】 二项式定理的应用： （1）求特征项：先求通项公式，再求满足条件的r； （2）求二项式系数及项的系数的问题： ①二次项系数：每项中的组合数 ②项的系数：除去变量以外的部分 （3）证明组合恒等式问题：熟记组合数的各个性质； （4）整除、余数的问题：通常把底数适当地拆成两项之和或之差，再按二项式定理展开推得所求结论； （5）近似计算的问题：一般地，当a较小时，（1+a）n≈1+na *记清二项展开式的特点，熟记二项展开式的通项公式是正确应用二项式定理的关键．
18．程序框图 【知识点的知识】 1．程序框图 （1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形； （2）构成程序框的图形符号及其作用
（3）程序框图的构成． 一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字．
19．正弦函数的对称性 【正弦函数的对称性】 正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）=﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x=kπ+ 【例题解析】 例：函数y=sin2x+2sin2x的对称轴方程为x= 解：由于函数y=sin2x+2sin2x=sin2x+1﹣cos2x= 而函数y=sint的对称轴为 则 则函数y=sin2x+2sin2x的对称轴方程为 故答案为 这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把2x﹣ 【考点点评】 这个考点非常重要，也很简单，大家熟记这个公式，并能够理解运用就可以了．
20．解三角形 【知识点的知识】 在解三角形时，常用定理及公式如下表：
21．圆的一般方程 【知识点的认识】 1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径． 2．圆的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0） 其中圆心（﹣ 3．圆的一般方程的特点： （1）x2和y2系数相同，且不等于0； （2）没有xy这样的二次项． 以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的必要非充分条件．
22．抛物线的简单性质 【知识点的知识】 抛物线的简单性质：
23．双曲线的标准方程 【知识点的认识】 双曲线标准方程的两种形式： （1） （2） 两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；，c2=b2+a2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
24．圆与圆锥曲线的综合 【知识点的知识】 1、抛物线的简单性质：
2、双曲线的标准方程及几何性质
25．直线与椭圆的位置关系 v．
26．由三视图求面积、体积 【知识点的认识】 1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括： （1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度； （2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度； （3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度． 2．三视图的画图规则：
（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐； （2）长对正：主视图和俯视图的长相对应； （3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等． 3．常见空间几何体表面积、体积公式 （1）表面积公式： （2）体积公式： 【解题思路点拨】 1．解题步骤： （1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球） （2）选对应公式 （3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高） （4）代公式计算 2．求面积、体积常用思想方法： （1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解； （2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法； （3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积； （4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法． 【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算． 例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.8﹣2π
B.8﹣π C.8﹣ 分析：几何体是正方体切去两个 解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个 正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2， ∴几何体的体积V=23﹣2× 故选：B． 点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
27．异面直线及其所成的角 【知识点的知识】 1、异面直线所成的角： 直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0， 2、求异面直线所成的角的方法： 求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线． 3、求异面直线所成的角的方法长用到的知识：
28．与二面角有关的立体几何综合题 【知识点的知识】 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角?? 在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O． 3、二面角的平面角求法： （1）定义； （2）三垂线定理及其逆定理； ①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直． ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角． （3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．； （4）平移或延长（展）线（面）法； （5）射影公式； （6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角； （7）向量法：两平面所成的角的大小与分别垂直于这平面的两向量所成的角（或补角）相等．
29．圆的切线的判定定理的证明 【知识点的知识】 1、直线和圆的位置关系： 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线． 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2、切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径（或半径）． 3、由直线与圆的位置关系和切线的性质定理推理总结出切线的判定定理： 切线的判定定理：经过半径（或直径）的外端并且垂直于这条半径（直径）的直线是圆的切线． 注意：“经过半径（或直径）的外端”和“垂直于这条半径（或直径）”这两个条件缺一不可． 4、切线的判定方法： ①直线到圆心的距离等于该圆的半径（直线与圆的位置关系）； ②线与圆有唯一公共点（切线定义）； ③切线的判定定理．
30．简单曲线的极坐标方程 【知识点的认识】 一、曲线的极坐标方程 定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）=0有如下关系 （1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）=0； （2）以方程f（ρ，θ）=0的所有解为坐标的点都在曲线C上． 则曲线C的方程是f（ρ，θ）=0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤： 与直角坐标系里的情况一样 ①建系 （适当的极坐标系） ②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点） ③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式） ④将等式坐标化 ⑤化简 （此方程f（ρ，θ）=0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程 （1）圆心在极点，半径为r，ρ=r． （2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r． ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）=r2．
四、直线的极坐标方程 （1）过极点，θ=θ0（ρ∈R） （2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ=a （3）过某个定点平行于极轴，rsinθ=a （4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）=ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤 1、据题意画出草图； 2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点； 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求．
31．参数方程的概念 【知识点的认识】 参数方程的定义 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变数t的函数，即
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y=f
