每日一题[246] 统一变量

在处理含有参数的导数问题时，通常的作法都是用参数表示所求式子中的零点、极值点、极值等等．但有时直接用参数表示有困难、或者无法用参数表示时，也可能考虑转化变量，但此时一定要注意新设变量的取值范围．

已知函数 有两个相异极值点 、 ，且 ，求证： ．

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证明    根据已知，函数 的导函数

由题意 有两个极值点，于是

解得

由韦达定理，得

于是可以将 化为单一变量的函数．为了避免出现根号，可以选 为变量，即利用代换

得

并记右边关于 的函数为 ，其中 ，取值范围是 ．

不难注意到欲证明不等式即

因此我们只需要证明 在 上单调递减．

事实上，函数 的导函数

于是命题得证．

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